二次函数专项特训卷（含解析）-2025年中考数学二轮复习题

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二次函数专项特训卷-2025年中考数学二轮复习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．关于抛物线，下列说法错误的是（　　）
A．开口向下 B．与轴交于正半轴
C．对称轴在轴左侧 D．不经过第一象限
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为，则，的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．已知二次函数，的图象经过点、，图象上有三个，，．若当时，均有，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．时，y有最大值
C． D．
5．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，y随x的增大而减小 B．二次函数图象的对称轴是直线
C．方程的解为， D．
6．如图，直线与抛物线交于点，，则不等式的解集为（ ）
A．或 B． C． D．或
7．如图，二次函数与一次函数的图象交于，B两点，则的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．将抛物线：向左平移2个单位，向上平移3个单位得到新抛物线，那么新抛物线对应的函数表达式为_________．
9．设函数与x轴的交点坐标为，若函数，则时自变量x的取值范围是 ．
10．如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，设矩形菜园的面积为（单位：米），的长为（单位：米）则关于的函数关系式是 ．
11．如图，与都是等边三角形，，，三点在同一条直线上．若，点在上移动，则面积的最大值为 ．
12．若二次函数的图象与x轴有两个公共点，且关于y的不等式组，至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ．
13．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，则小球飞出 s时，达到最大高度．
14．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点，是抛物线对称轴上两点（点在点的上方）且，则的最小值为 ．
三、解答题
15．已知二次函数（为常数）
(1)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点．
(2)若函数图象在时，总有随着的增大而先减小后增大，求的取值范围．
(3)若函数图象经过，，，，求的值（用含有的代数式表示）．
16．如图，在等腰 中，，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以C为旋转中心，将逆时针旋转至得到，连接，点F与点C关于对称，连接，，，，
(1)猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
(2)①求四边形面积的最小值；
②当时，求的长度．
17．掷实心球是中招体育考试的选考项目，如图①是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
(1)求抛物线的表达式；
(2)根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
(3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分．
18．如图，抛物线过点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点是第一象限内的抛物线上的一个动点，
①当为抛物线的顶点时，求证：直角三角形；
②求出的最大面积及此时点的坐标；
19．定义：在平面直角坐标系中，如果函数图象上一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点叫做这个函数图象的完美点．
【定义解析】
例如：函数上的点的横坐标与纵坐标相等，我们就称点是函数图象的完美点．
【定义应用】
（1）求反比例函数图象的完美点；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若二次函数的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，面积为，若时，求点D的坐标．
20．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，；
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
《二次函数专项特训卷-2025年中考数学二轮复习题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B A A C A B C
1．B
【分析】本题主要考查了二次函数图形的性质，根据此一一判断即可得到答案；
【详解】解：∵，∴图象开口向下，故选项 A正确，不符合题意；
令，即，∴与轴的交点坐标为，即交于轴的 正半轴，故选项B正确，不符合题意；
，所以对称轴在y轴的左侧，故选项 C正确，不符合题意；
令时，，解得：，，故与轴的交点，，又知道与轴的交点坐标为，所以图象一定经过点第一象限，故选项D错误，符合题意；
故选：D
2．A
【分析】本题主要考查二次函数的性质，由抛物线的解析式可求得答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，
故选：A．
3．A
【分析】本题主要考查了二次函数图形的平移，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图形平移的规律．
根据“上加下减，左加右减”的原则，求出平移前后的二次函数的解析式，即可解答．
【详解】将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为，
所以，，，
故选：A．
4．C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象上的y值与点离对称轴距离与开口方向的关系是解题的关键．
由时，均有可知抛物线开口向上，即，可判定A选项；由抛物线开口向上，再求得对称轴，可知时，y有最小值可判定B选项；当有，可判定C选项；根据二次函数的性质可判定D选项．
【详解】解：∵当时，均有，
∴该抛物线的开口方向向上，即，即A选项错误，不符合题意；
∵二次函数的图象经过点、，
∴对称轴为直线，
∴当，y有最小值，，故B错误；
∴当时，有，C正确；
∵，
∴点到对称轴的距离大于点的距离，即，即D错误．
故选C．
5．A
【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．根据二次函数图象与性质逐一分析各结论即可得解．
【详解】解：由函数图象知，二次函数图象的对称轴是直线，，
当时，y随x的增大而增大，此选项结论错误，符合题意；
二次函数图象的对称轴是直线，此选项结论正确，不符合题意；
抛物线与轴交于和，
方程的解为或，此选项结论正确，不符合题意；
图象开口向下，与轴交于正半轴，
，
，
，
，此选项结论正确，不符合题意；
故选：．
6．B
【分析】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
结合图象可直接得出答案．
【详解】解：由图象可得，不等式的解集为．
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系；根据函数图象可得方程即方程的两个解分别为和，即于轴的两个交点分别为和，
合选项即可求解．
【详解】解：∵二次函数与一次函数的图象交于，B两点，
根据函数图象可得方程即方程的两个解分别为和，
∴于轴的两个交点分别为和，
故选：C．
8．
【分析】此题主要考查二次函数的平移，解题的关键是熟知二次函数平移的特点左加右减，上加下减．
二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：
一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；
二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
先根据“左加右减”的原则求出抛物线向左平移2个单位可得到抛物线，再根据上加下减”的原则可知，将抛物线再向上平移3个单位得到的抛物线．
根据二次函数平移的特点即可求解．
【详解】解：将抛物线：向左平移2个单位，向上平移3个单位到新抛物线，
新抛物线对应的函数表达式为：．
故答案为：．
9．
【分析】根据题意先求得h的值，然后根据二次函数的平移性质求得与x轴的交点，最后根据二次函数性质求得答案即可．
【详解】解：∵函数与x轴的交点坐标为，
∴该函数的对称轴为直线，
解得： ，
则，
那么函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位长度所得，
则函数的图象与x轴的交点坐标为，
∵该函数图象开口向上，
∴时自变量x的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握其图象与性质是解题的关键．
10．
【分析】本题考查的是列二次函数关系式，不等式组的应用，由，，再利用面积公式建立二次函数关系式即可，利用边长的限制条件列不等式组可得x的取值范围．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，二次函数的图象与性质，熟练掌握所给图形的性质，以及利用二次函数的图象与性质求最值是解题的关键．过点作于点，利用等边三角形的性质求出，则，设，表示出，利用二次函数图象的最值求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵与都是等边三角形，
∴，，，
∵，，三点在同一条直线上，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，对称轴为直线，自变量取值范围为，
∴当时，取得最大值，
故答案为：．
12．
【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及解一元一次不等式组，根据题意得到关于a的不等式是解本题的关键．表示出不等式组的解集，由不等式组至少有两个整数解确定出a的取值范围，再根据二次函数的图象与x轴有两个公共点，由判别式求出a的取值范围，然后由a为整数，确定出a的值，进而求和，即可得出结论．
【详解】解：不等式组，
解①得，
解②得，
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组，至少有3个整数解，
∴，
解得，
∵二次函数的图象与x轴有两个公共点，
∴，
解得，
∴，
∵a为整数，
∴，，0，1，
∵，
∴符合条件的所有整数a的和为，
故答案为：．
13．2
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
把函数关系式配方成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：，
∵，
当时，h的最大值为20，
即时，h的值最大，
故答案为：2．
14．
【分析】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得求出，连接，过点A作轴交于点E，连接，证明四边形是平行四边形，得出，结合二次函数的对称性得到，由两点之间线段最短，当三点共线时，有最小值，再根据平行四边形的性质得到，运用两点距离公式列式计算即可作答．
【详解】解：令，则或，
将代入，则，
∴，
∴抛物线的对称轴为，
如图，连接，过点A作轴交于点E，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，
∵点，是抛物线对称轴上两点（点在点的上方），
∴，
当三点共线时，有最小值，最小值为的长，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
15．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）利用一元二次方程根的判别式，即可解答；
（2）利用二次函数的对称轴，且图象开口向上，即可求解；
（3）先将点代入函数中，得到，再把点、点代入函数中，表示的值，进行化简即可求解．
【详解】（1）解：，
该二次函数图象与轴总有两个公共点；
（2）函数图象的对称轴为直线，图像开口向上，
根据题意，得，
解得；
（3）将点代入原函数，得，且，
，
把点、点代入原函数中，
得：，，
．
16．(1)，，证明见解析
(2) 或
【分析】（1）由是等腰直角三角形可得，，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由旋转的性质可得，，进而可得，即，则，利用可证得，于是可得，，则，即，于是结论得证；
（2）①连接交于点，由（1）得，，由勾股定理可得，设，四边形的面积为，则，且，由（1）得，，，由勾股定理可得，由轴对称的性质可得垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，再结合，可得，再结合，可证得四边形是正方形，于是可得，，则，通过求二次函数的最值即可求出四边形面积的最小值；②过点作于点，则，由（1）得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，由勾股定理可得，即，于是可得，，连接，由正方形的性质可得，，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，，由三角形的内角和定理可得，则，进而可得，即，由勾股定理可得，，进而可得，由勾股定理可得，即，解方程即可求出的长．
【详解】（1）解：，，证明如下：
是等腰直角三角形，
，，
，
将逆时针旋转至得到，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
（2）解：①如图，连接交于点，
由（1）得：，，
，
设，四边形的面积为，
则，且，
由（1）得：，，，
，
点F与点C关于对称，
垂直平分，
，，
，
，
又，
四边形是正方形，
，，
，
的最小值为，
即：四边形面积的最小值为；
②如图，过点作于点，
则，
由（1）得：，
，
，
，
又，
，
，
，
如图，连接，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
，
即：，
，，
，
，，
，
，
，
，
解得：或，
或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，轴对称的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，把化成顶点式，二次函数的最值，因式分解法解一元二次方程，等角对等边，等边对等角，线段垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三角形的内角和定理等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17．(1)
(2)没有得满分，见解析
(3)当掷出点的高度至少达到时，可得满分
【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
（1）根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可；
（3）把，代入得解析式，求出，再令即可求解．
【详解】（1）解：设关于的函数表达式为，
把代入上式得，
解得．
∴关于的函数表达式为．
（2）解：该女生在此项考试中没有得满分．理由如下：
当时，即：，
解得，（舍去），
∵，
∴该女生在此项考试中没有得满分．
（3）解：可设．
把，代入得，，
求出．
∴．
∴
答：当掷出点的高度至少达到时，可得满分．
18．(1)
(2)①见解析；②的最大面积为，
【分析】本题考查了二次函数综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）把A、B、C三点坐标代入求解即可；
（2）①作轴于点H，易证和是等腰直角三角形，即可求出；
②先求出直线的解析式，过点P作轴于点D，交于点E，设点，则，故，，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：将点，，代入解析式得：
解得
所以抛物线的解析式为；
（2）解：配方得，
∴点的坐标为，
作轴于点，则，如图1，
所以，
在中，，所以，
所以所以是直角三角形；
②设直线的解析式为，将点、代入得：
解得
∴直线的解析式为，
∵，所以，
设点，过点作轴于点，交于点，如图2所示：
∴，则，
∵，
∴，
∵；
当时，的最大面积为，
当时，，所以.
19．（1）反比例函数图象的完美点是，；（2）（3）．
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图像和性质，一元二次方程根的判别式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）根据完美点的定义设点是反比例函数图象的完美点，得到，即可得到答案；
（2）根据完美点的定义，得到有两个相等的实数根，计算求出的值即可得到答案；
（3）过点B作轴交于E，设，则，过点D作轴交于F，证明，得到，计算求解即可．
【详解】解：（1）设点是反比例函数图象的完美点，
，
或，
反比例函数图象的完美点是，；
（2）二次函数的图象上有且只有一个完美点，
，
即有两个相等的实数根，
，
解得①，
将代入得，
②，
联立①②，得，
（3）由（2）可知，
；
如图，过点B作轴交于E，过点D作轴交于F，
则，
，
设，则，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
（舍），
当时，，
．
20．(1)
(2)
(3)存在，点Q的坐标为或
【分析】（1）由待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出的解析式，设，则，，将转化为二次函数求最值即可；
（3）易得垂直平分，设，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分别作点关于轴和直线的对称点，，直线，与抛物线的交点即为所求，进行求解即可．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，，
∴，
解得：
∴抛物线解析式为：；
（2）解：令，则，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把，代入得：，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，的最大值为；
（3）解：存在：
∵，，点为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
①取点关于轴的对称点，连接，交抛物线与点，则：，，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，
解得：（舍去）或，
∴；
②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点，
则：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作轴，则：，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：（舍去）或，
∴；
综上：点Q的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
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