相似专项特训卷（含解析）-2025年中考数学二轮复习题

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相似专项特训卷-2025年中考数学二轮复习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．点D，E分别在的边上，，相交于点O，连接．则下列结论错误的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，
3．如图，点处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形四边形，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，为边上的三等分点，点，在边上，，为与的交点．若，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．如图1，用一个带有小孔的板遮挡在屏幕与物之间，屏幕上就会形成物的倒像，我们把这样的现象叫小孔成像．图2是小孔成像原理的示意图，已知，光线交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．已知，且，则 ．
8．如图，在中，在，为边上的中点，将沿翻折至，连接，若，则 ．
9．如图，在正方形中，为CD上一点，连接，过点作于点，若，，则 ．
10．如图，在平行四边形中，是点B关于对角线的对称点，连结交于点E，连结交于点F，交于点G．，，则的面积是 ．
11．凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的 ．
12．如图，矩形，点在线段上，点在线段上，．当的值最小时，线段的长度是 ．
13．如图，在中，，于点A，，则线段长度的最大值是 ．
14．如图，在正方形中，点分别是上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到交于点，对角线交于点，连接，则下列结论：①；②；③若，则四边形是菱形；④当点运动到的中点，；⑤． 正确的是 ．（填写序号）
三、解答题
15．如图，在和中，的延长线经过点C，且，

(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
16．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线经过点C，且与边相交于点E，与的延长线交于点F．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，四边形的周长为52，则的长为______．
17．如图是由小正方形组成的网格，四边形的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图1中，以点为位似中心，将四边形缩小为原来的，画出缩小后的四边形，再在上画点，使得平分四边形的周长；
(2)在图2中，先在上画点，使得，再分别在，上画点，，使得四边形是平行四边形．
18．如图，内接于，为的直径，过点C作的切线，连接，交于点E，交于点F，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
19．如图1，在正方形中，点M，N分别是，上的点，，点E是上一点，将沿折叠，使点B落在N上的点F处．
(1)若，证明：点M是上的中点．
(2)如图2，延长与的延长线交于点G，交于点H，延长交于点P．
①求证：；
②当点E是的中点时，探究与的数量关系，并证明．
20．大秦文明园的雕塑“秦简”，主体宛如凤鸟展翅，喻秦之诞生；造型似旋转上升，喻秦之奋斗．莉莉和数学社团的成员想要用所学过的知识测量该雕塑的高度．小组成员在E处竖立一根长为3.5米的标杆，莉莉站在雕塑与标杆之间的点C处，看雕塑顶端A的仰角为，原地转身再看标杆顶端F的仰角为，发现与恰好互余，此时测得， ．已知莉莉的眼睛到地面的距离．图中所有点均在同一平面内，点B、C、E在水平地面上的一条直线上，点D在上，点H、G分别在上，，，求该雕塑的高度．
21．综合探究
如图（1），在矩形中，，E是的中点，与关于对称，连接．
(1)求证：．
(2)以为直径作．
①如图（2），过点F作于点G，当时，试判断此时与的位置关系，并证明；
②如图（3），当时，求m的值．
《相似专项特训卷-2025年中考数学二轮复习题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A D C B A B
1．A
【分析】本题主要考查了比例的性质，解题关键是通过设出参数，代入代数式求解即可．
【详解】解：∵，
∴设，代入得，
，
故选：A．
2．D
【分析】若，则，得到，根据，得到，再得到，即可判断A；若，则，证明，得到，再得到，得出，即可判断B；若，则，得到，得出，进一步得到，即可判断C；若，则，得到，进一步得出，即可判断D．
【详解】解：A、若，则，
，
∵，
∴，
∴，
∴，故选项不符合题意；
B、若，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项不符合题意；
C、若，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
，，
，
∵，
，
，故选项不符合题意；
D、若，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，故选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查的是相似三角形的应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：由题意得：，，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴，
解得．
∴的长为．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查的是相似多边形的性质、多边形内角和定理，根据相似多边形的性质求出，根据四边形内角和等于计算，得到答案．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了平行线的性质、平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，先利用得到，则根据相似三角形的性质即可计算出，再利用证明，则根据相似三角形的性质即可计算出， 然后利用线段的和差解题．
【详解】解：∵，为边上的三等分点，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴.
故选： A．
6．B
【分析】本题考查了相似三角形的运用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据，得到，得到，由此即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，即相似为，
∴，
∴，
故选：B ．
7．/50度
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，运用相似三角形的性质得到是解此题的关键．
根据，得到，根据三角形的内角和定理求出的度数，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴．
故答案为：．
8．
【分析】连接，延长，交于，过作，交的延长线于，则，依据等边对等角，三角的内角和定理可求出，即可判定，进而得，即可得到，根据，设，则，，根据等面积法得出，根据相似三角形的性质得出，再根据三角形面积公式，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，延长交于，过作，交的延长线于，则，
由折叠可得，，，
∴垂直平分，则
∴，
∵为边上的中点，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵
设，则，
∴，
∵
∴
∴
在中，
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
9．
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，设正方形的边长为，根据勾股定理可求得，再证明，即可求得的值，先求得的值是解题的关键
【详解】解：设正方形的边长为，
则，
，，
，
根据勾股定理可得，，
，
，
则，
，
，
，
，即，
解得（负值舍去），
经检验是原分式方程的解，
，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点．
由翻折得：，，由勾股定理得，可证明，则求出，则，由于，，则，可得，则，即可求解面积．
【详解】解： 由翻折得：，
∵平行四边形
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质．根据，，，，可以判定四边形和四边形均为矩形、，根据相似三角形的性质可知，根据矩形的性质可知，所以可得物体被缩小到原来的．
【详解】解：，，，，
四边形和四边形均为矩形，
，，
，
焦点到物体的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，
，
，
物体被缩小到原来的．
故答案为： ．
12．/
【分析】在右侧作，且截取，连接，则，那么，则当点共线时，最小，即为，过点G作于点，由勾股定理得，由，可得，那么，可证明，则，即可求解．
【详解】解：在右侧作，且截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
当点共线时，最小，即为，如图：
过点G作于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，综合性强，解题的关键在于构造全等三角形进行转化．
13．
【分析】本题考查了线段的最大值．熟练掌握相似三角形的判定和性质，三角形三边关系，是解题的关键．如图，作，使，连接，， ，得，，得，求出，即得取得最大值为．
【详解】如图，作，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵,
∴当点D运动到延长线上时取得最大值，
为．
故答案为：．
14．①②③⑤
【分析】根据正方形的性质可得，从而证明，即可判断①；由折叠的性质可得，再由平行线的判定即可判断②；由可得在同一直线上，从而可得，再根据折叠的性质可得，，再根据菱形的判定即可判断③；设正方形的边长为，则，利用勾股定理求得，证明，可得，从而证得，可得，，即可判断④；证明，可得，从而证明，可得，再证明，可得，进而可得，即可判断⑤．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，故①正确，
∵将沿翻折，得到，
，
∵，
，故②正确，
当时，，
，
，即在同一直线上，
，
，
通过翻折的性质可得，，
∴，，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴平行四边形是菱形，故③正确，
当点E运动到的中点，如图，
设正方形的边长为，则，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
在中，，故④错误，
由折叠的性质可得，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，故⑤正确；
综上分析可知，正确的是①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质及正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用相似三角形判定与性质是解题的关键．
15．(1)见解析；
(2)．
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键．
（1）由，得，则，而，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明∽；
（2）由相似三角形的性质得，而，，，则
【详解】（1）证明：
，
，，
，
，
∽；
（2）解：∵，
，
，，，
，
的长是
16．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是关键．
（1）证明，则，得到四边形是平行四边形，由垂直平分线的性质得到，即可得到结论；
（2）求出，得到证明，则，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵，对角线的垂直平分线经过点C，且与边相交于点E，与的延长线交于点F．
∴，，，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）∵四边形的周长为52，四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴，
∴
故答案为：
17．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查了尺规作图，位似图形，勾股定理，平行四边形的定义，直角三角形的性质等知识，熟练掌握尺规作图和相关知识是解题的关键．
（1）运用位似图形和勾股定理即可作出所求图形；
（2）运用直角三角形的性质和平行四边形的定义即可作出所求图形．
【详解】（1）解：如下图，四边形，点，线段即为所求；
的中点即为点，的中点即为点，的中点即为点，
由图可知，由勾股定理可知：，，依据平行线对应线段成比例和线段，将线段五等分即可求出点．
（2）解：如下图，点，线段，四边形即为所求．
连接网格对角线，交线段于点,此时，所以是直角三角形，且，所以，依据是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
连接网格对角线，交线段于点,此时，连接网格对角线，此时，连接网格对角线，交线段于点,连接交于点，此时，所以四边形为平行四边形，依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
18．(1)见解析
(2)20
【分析】对于（1），连接，根据切线的性质得，再根据直径所对得圆周角是直角得，结合已知条件得，然后根据等腰三角形的性质得，进而得，最后根据平行线的判定得出答案；
对于（2），由（1）知，可得，再根据勾股定理，得，求出，得出，接下来求出，然后说明，根据相似三角形的对应边成比例得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∴.
∵为的直径，
∴.
又∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
设的半径为x，在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．
19．(1)见详解
(2)①见详解；②，证明见详解
【分析】（1）由已知，根据“两直线平行，同位角相等”得，由已知，根据直角三角形中的边角关系得：，由折叠可知：，从而可得结论；
（2）①由折叠可知：，根据正方形的性质得：，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”得：，从而可得，等量代换得出结论；
②设，则，从而根据直角三角形中的边角关系得，由折叠可知：，，从而得到，连接，由“”证明： ，得到：，根据平角的定义可得：，根据“同角的余角相等”得到：，从而得到：，即有，进而得到：，根据 “平行于三角形一边的直线，截其它两边或两边的延长线，所截得的三角形与原三角形相似”证明：，得到：，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
，
若，
则，
由折叠可知：，
，
∴点是的中点；
（2）①证明：∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可知：，
，，
，
，
，
，
；
②解：当点是的中点时，与的数量关系是，
证明如下：
设，
则，
当点是的中点时，，
，
由折叠可知：，，
，
连接，如图：
在和中
，
，
，
，
而，
，
，
即有，
，
，
，
，
，
，
，
，
或．
【点睛】该题是几何综合题，主要考查了正方形的性质，折叠的性质，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，掌握以上知识点．
20．该雕塑的高度为
【分析】本题主要考查相似三角形判定与性质，矩形的判定与性质；根据题意证出，利用相似三角形的性质得出，即可求出结果．
【详解】解：由题意知，四边形、四边形、四边形均为矩形，
∴，
∵与互余，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
答：该雕塑的高度为．
21．(1)见解析
(2)①与相切，见解析；②
【分析】（1）根据对称的性质及线段中点的定义结合三角形内角和定理，平角的定义推出，，即可得出结论；
（2）①与相切，证明如下：如图，连接，解直角三角形求出，，由矩形的性质结合对称的性质得到点F在上，由等边对等角求出，即，即可证明与相切，．②如图，连接，由（1）知，证明，推出，设，则，得到，在中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图，
∵与关于对称，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：①与相切，证明如下：如图，连接，
∵，
∴，，
在G中，，
∴，
∴，
∴，
在矩形中，，
由对称可知，
∵是的直径，
∴点F在上，
∴，
∴，
∴，即，
∴与相切，．
解：②如图，连接，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴（负值已舍）．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定，矩形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形的应用等知识．涉及的知识点较多，难度较大．
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