第16章二次根式能力提升卷（含解析）

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第16章二次根式能力提升卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．设，，则a与b的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列二次根式中，与的乘积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数在数轴上的对应点如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
6．数学活动课上，要用铁丝围一个长为、宽为的矩形框，若不考虑拼接，则需铁丝的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．最简二次根式与二次根式能合并，则 ．
8．若二次根式是整数，则整数的最小值为 ．
9．下面是按一定规律排列的一列数： ，，， 第10个数是 ．
10．对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：．
（1） ；
（2） ．
11．比较大小： ．（用“”或“”填空）．
12．若，那么的取值范围是 ．
13．已知，则的值为 ．
14．如图是一个钢板，上表面长方形面积为，长为，则宽为 ．
三、解答题
15．计算：
(1)
(2)
16．先化简，再求值：的值，其中．
17．已知都是实数，若，则称与是关于的“平衡数”，例：，，，则称2与是关于1的“平衡数”．
(1)与___________是关于2的“平衡数”；
(2)若，判断与是不是关于1的“平衡数”．
18．学习了后，数学老师出了一道化简题：．下面是小亮和小芳的解答过程．
小亮：解：原式；
小芳：解：原式，
，原式，
(1)________的解法是不正确的；
(2)化简：，其中，．
19．综合与实践
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中均为整数），
则有．
这样小明就找到了一种把类似的式子化为完全平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当均为整数时，用含的式子分别表示，得___________．___________；
(2)填空：（___________-___________）2
(3)若，且均为正整数，求的值．
20．探索下列等式规律，并解决下列问题：
【规律发现】
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
【规律探索】
（1）第5个等式：_______；
（2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______；
【规律应用】
（3）计算：．
《第16章二次根式能力提升卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B D D A C C
1．B
【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可．
【详解】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】本题考查分母有理化，代数式之间大小关系的比较．根据题意先计算出，再利用作差法即可比较大小．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
3．D
【分析】本题考查二次根式的混合运算，负整数指数幂，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
根据二次根式的运算法则，依次计算，即可求解．
【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意，
B、，故该选项错误，不符合题意，
C、，故该选项错误，不符合题意，
D、，故该选项正确，符合题意，
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法．分别将各选项与相乘，进而化简求出答案．
【详解】解：A、，是有理数，故此选项正确；
B、，是无理数，故此选项错误；
C、，是无理数，故此选项错误；
D、，是无理数，故次选项错误；
故选：A．
5．C
【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键．根据数轴可得到，，，再根据所给的二次根式的性质即可求解．
【详解】解：由数轴可知，，
，，
；
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的加减混合运算，掌握其运算法则是关键．
根据图形面积的计算，运用二次根式的混合运算法则计算即可求解．
【详解】解：用铁丝围一个长为、宽为的矩形框，
∴，
故选：C ．
7．
【分析】本题主要考查最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握最简二次根式、同类二次根式的定义是解决本题的关键．根据最简二次根式、同类二次根式的定义解决此题．
【详解】解：，
若最简二次根式与二次根式能合并，则，
解得：．
故答案为：．
8．
【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．先根据二次根式的性质将化为，再根据二次根式的定义求出的范围，即可求解．
【详解】解：，
，即，
整数的最小值为，
故答案为：．
9．
【分析】此题考查了数字的变化规律，从被开方数考虑求解是解题的关键，难点在于二次根式的变形．
【详解】解：根据题意可知所给数列为，
则第 n 项为 ，因此第 10 项为．
故答案为：
10．
【分析】本题考查定义新运算，二次根式分母有理化，平方差公式等．
（1）根据题意利用题中例子计算即可；
（2）根据题意先将展开计算，再计算，最后分母有理化即可．
【详解】解：（1）由定义新运算知，
故答案为：；
（2）
，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了二次根式的性质，无理数的大小比较．先根据二次根式的性质将根号外的数字3和4，分别放入根号内，再比较大小即可求解．
【详解】解：，，
∵
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，掌握二次根式中被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式被开方数为非负数列式，求不等式的解集即可求解．
【详解】解：根据题意得到，，，
∴，
故答案为： ．
13．/
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式的求值，根据二次根式有意义的条件，得到，进而求出分式的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二次根式除法的应用，根据长方形的面积公式列式计算即可，掌握二次根式除法运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
∴宽为，
故答案为：．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及完全平方公式，掌握运算法则是解题的关键．
（1）先计算乘法，再进行加减计算；
（2）根据完全平方公式展开，再计算乘法，最后进行加减计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．；
【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：
，
把代入得：原式．
17．(1)
(2)不是关于1的“平衡数”
【分析】本题考查了定义新运算、二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键．
（1）设与是关于2的“平衡数”，根据新定义列出关于的方程，即可求解；
（2）由，利用分母有理化得出的值，再计算与的和，根据新定义即可得出结论．
【详解】（1）解：设与是关于2的“平衡数”，
由题意得，，
解得：，
与是关于2的“平衡数”．
故答案为：．
（2）解：，
，
又，
与不是关于1的“平衡数”．
18．(1)小亮
(2)
【分析】本题考查乘法公式，二次根式的性质以及绝对值的化简，根据给定条件正确运用相关性质进行化简是解答本题的关键．
（1）根据得，所以原式，所以小亮的解法是不正确的；
（2）先根据乘法公式化简得：，再根据，得，所以，，代入上式即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
小亮的解法是不正确的，
故答案为：小亮；
（2）解：原式，
，，
原式．
19．(1)；
(2)1，2
(3)的值为14或46
【分析】本题考查二次根式的计算，考查二次根式的化简，考查计算能力．
（1）由，利用完全平方公式展开比较系数可得答案；
（2）运用完全平方公式可得答案；
（3）由题意得m和n的方程，解方程可得m和n,可得a值．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；；
（2）解：∵
故答案为：1；2；
（3）解：∵，
∴，
∵为正整数，
∴或，
∴或．
20．（1）；（2）；（3）
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据前面4个等式的特点写出第5个等式即可；
（2）直接利用已知运算规律归纳得出即可；
（3）利用规律化简，进而利用二次根式的加减运算法则得出答案即可．
【详解】解：（1）第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
∴第5个等式：
（2）由（1）归纳可得：
（3）
．
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