第18章 平行四边形 能力提升卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版（含解析）

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第18章平行四边形能力提升卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．矩形、菱形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．每一条对角线平分一组对角
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2．已知，现有四条信息：①D为中点；②E为中点；③；④，若从中任选两条信息作为条件，再从余下的两条信息中任选一条信息作为结论，一共能组成真命题的个数为（ ）
A．6个 B．8个 C．10个 D．12个
3．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，则平行四边形的面积是（　　）
A．12 B． C．24 D．30
4．如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿着向点D移动，若过点P作，垂足分别为E、F，连接，则的长最小为（ ）
A． B． C．5 D．7
5．如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，平行四边形，，，以B为圆心，某一长度为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接交于点E，连接，，的延长线交于点F，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．1
二、填空题
7．矩形的面积为，一条边长为，则矩形的对角线的长为 ．
8．如图，已知，矩形中，，，则矩形的面积为 ．
9．如图，在菱形中，对角线相交与点O，若，则 ．
10．如图，点O为正方形对角线的中点，连接并延长至点E，连接，若为等边三角形，，则的长为 ．
11．如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则 ，的最小值是 ．
12．如图，正方形中，E为边上一点，连接，过点E作且．连接，取中点G，连接．已知，则 ， ．
三、解答题
13．如图，在中，是对角线．
(1)作线段的垂直平分线，垂足为点，与边、分别交于点、（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：．
14．如图所示，在平行四边形中，于E，于F，，，，
(1)求的度数；
(2)求平行四边形的周长．
15．如图，在中，，是的中点，是的中点，，交的延长线于点，连接．求证：四边形是矩形．
16．如图，点O是内一点，连接，，并将，，，的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若M为的中点，，和互余，求，的长度．
17．如图，在正方形和中，点B，C，G在同一条直线上，P是线段、的中点，连接，连接并延长，交于点Q．请证明：
(1)四边形是矩形．
(2)当时，四边形是正方形．
18．已知在中，，点是的中点，点是上一点．
(1)如图1，，，是的垂直平分线，求的长；
(2)点是上一点，已知，连接．
①如图2，延长到点，使得，连接，探索和之间的数量关系，并加以证明；
②如图3，当，时，其他条件不变，求的长．
《第18章平行四边形能力提升卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C A C B A B
1．C
【分析】本题考查菱形的性质和矩形的性质．掌握特殊四边形的性质是解题关键．
根据矩形和菱形的性质判断即可对角线互相平分
【详解】解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，
矩形的对角线互相平分、相等，
∴矩形、菱形都具有的性质是是对角线互相平分，
故选C．
2．A
【分析】本题三角形相关以及三角形中位线定理，判断所有可能的命题组合．解题得关键在于确认哪些组合能通过定理或逆推成立，最终排除不成立的情况，得出正确得情况．
【详解】解：条件①②，结论③：根据中位线定理，成立；
条件①②，结论④：根据中位线定理，成立；
条件①③，结论②：由和D为中点，可推E为中点，成立；
条件①③，结论④：由和D为中点，可得E为中点，进而，成立；
条件①④，结论②：由和D为中点，不可推E为中点，不成立；
条件①④，结论③：由和D为中点，不可推，不成立；
条件②③，结论①：同理，由和E为中点，可推D为中点，成立；
条件②③，结论④：成立；
条件②④，结论①：同理，由和E为中点，不可推D为中点，不成立；
条件②④，结论③：不成立；
条件③④，结论①：需同时满足和，但仅此无法确定D是否为中点，可能不成立（如非中位线但满足比例）；
条件③④，结论②：同理，无法确定E是否为中点，可能不成立；
上述组合中共计6个真命题．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理逆定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理逆定理确定是直角三角形，得出，再求面积即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，且，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
即，
∴平行四边形面积为：．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解．
【详解】解：如图，连接、，
，，
．
四边形是矩形，
．
四边形为矩形．
．
要求的最小值就是要求的最小值．
点从点沿着往点移动，
当时，取最小值．
在中，
，，，
．
，
．
的长度最小为：．
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
由四边形是平行四边形，则，从而得出垂直平分，故有，所以的周长为，再由为即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴的周长
，
∵为，
∴，
∴的周长为，
故选：．
6．B
【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作图—作角平分线，等角对等边，全等三角形的判定和性质，根据作图得到平分，平行四边形的性质，推出，证明，得到即可．
【详解】解：∵平行四边形，，，
∴，，
∴，，
由作图可知：平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故选B．
7．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．根据题意求出矩形的另一条边长，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，根据题意画出示意图，假设，
矩形的面积为，
矩形的另一条边长为，
，
矩形的对角线，
故答案为：．
8．
【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由矩形的性质得出，得出，由勾股定理求出，矩形的面积，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴矩形的面积，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．本题直接利用菱形的性质对角线平分角以及邻角互补进行角度的计算即可．
【详解】解：四边形是菱形，
,
,
,
．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相关性质定理．由四边形是正方形，得，，，利用勾股定理求出的长度，再利用等边三角形的性质，勾股定理，线段和差即可解决问题．
【详解】解：四边形是正方形，点O为的中点
，，
在中，由勾股定理得：
为等边三角形
，
在中，由勾股定理得：
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了三角形中位线的应用，勾股定理的逆定理，垂线段最短．熟练掌握以上知识是解题的关键．连接，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，取中点F，连接，证明是等边三角形，得出，则可求的度数；根据三角形中位线的性质得出，当时，的值最小，此时的值也最小，根据三角形的面积公式求出的值，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
取中点F，连接，
，
则，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
连接，如图：
∵点，分别为，的中点，
∴，
当时，的值最小，此时的值最小．
若，
则，
∴，
∴．
故答案为：，．
12．
【分析】如图，连接，过作，交的延长线于，证明，，，，，可得，，再进一步的求解即可．
【详解】解：如图，连接，过作，交的延长线于，
∵正方形，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴；
故答案为：，
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，化为最简二次根式，直角三角形斜边上的中线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
13．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用尺规作出线段的垂直平分线即可；
（2）根据垂直平分线的性质得到，，由平行四边形的性质得到，然后证明出，进而得到．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵垂直平分
∴，
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质．
14．(1)
(2)20
【分析】本题主要查了平行四边形的性质，直角三角形的性质：
（1）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由，，可得，即可求解；
（2）根据平行四边形的性质可得，在和中，根据直角三角形的性质可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，，
∴，
∵，，
∴，
∴平行四边形的周长为．
15．见解析
【分析】本题主要考查了矩形的判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．
先证明≌，再证明四边形是平行四边形，再由矩形的判定方法即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，是的中点，
∴，
∴四边形是矩形．
16．(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查的是中点四边形、平行四边形的判定和性质，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得且，且，从而得到，，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）先判断出，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出即可．
【详解】（1）解：∵D、G分别是、的中点，
∴，，
∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵和互余，
∴，
∴，
∵M为的中点，，
∴，
由（1）知四边形是平行四边形，
∴，
∴．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据正方形的性质和平角的定义证明即可证明平行四边形是矩形；
（2）根据正方形的性质，结合已知条件，证明，得出，进而证明，得出，即可得出，根据邻边相等的矩形是正方形．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形；
（2）证明：在正方形和中，点B，C，G在同一条直线上，
∴，，，
∴，
∴，
∵P是线段的中点，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
18．(1)
(2)①，证明见解析；②
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理等等，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）连接，由线段垂直平分线的性质可得，设，则，再利用勾股定理建立方程求解即可；
（2）①证明，得到，则，可得；再证明，得到，由勾股定理得，则；②如图所示，取中点H，连接，则是的中位线，可得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，则，即可由勾股定理得到．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（2）解：①，证明如下：
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
②如图所示，取中点H，连接，则是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
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