2.2基本不等式 学习任务单（无答案）

基本不等式学习任务单
【学习目标】
学习目标
能够使用基本不等式解决生活中的最值问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识，达到数学建模核心素养水平一、逻辑推理核心素养水平二的层次.
【重点难点】
1.能够运用基本不等式解决生活中的最值问题(难点)；
2.能够对式子进行变形，构造定值；
3.会用基本不等式解决恒成立问题(重点)。
【学法提示】讲授法、探究法
【自主学习】
一．基本不等式与最值
已知x、y都是正数，
1.若积xy等于定值P，那么当x=y时，和x＋y有最小值_____．
2.若和 x＋y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值_____．
二．运用基本不等式求最值的三个条件：
1.“一正”：x，y必须是 ；
2.“二定”：求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为 ；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为 .
3.“三相等”：当且仅当x=y时，等号成立。
三．通过变形构造定值的方法
如果题目中基本不等式不能满足“和为定值”或“积为定值”，就不能直接用基本不等式求最值。需要通过变形，构造定值，常见方法有：配项法；配系数法；分式型基本不等式；常值代换法“1”的代换。
【小试牛刀】
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.(　　)
(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2.(　　)
(3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2.(　　)
(4)若x∈R，则x2＋2＋≥2.(　　)
2.若x>0，则x＋的最小值是________．
【经典例题】题型一 利用基本不等式解决实际应用问题
例1 （1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度为多少？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积为多少？
例2、某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元,那么怎样设计水池能使总造价是多少？
题型二 利用基本不等式求最值
例3当x>0时，y＝＋4x的最小值为(　　)
A．4 B．8 C．8 D．16
题型三 变形构造定值—配项法
点拨：以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标，根据代数式的结构特征，利用系数的变化或对常数的调整进行巧妙变形，注意做到等价变形．一般地，形如f(x) ＝ax＋b＋的函数求最值时可以考虑配凑法．
例4 当x>1时，求函数y＝x＋最小值。
题型四 变形构造定值—配系数法
点拨：求积的最大值时，通过因式中的系数变形，使两个因式的和为定值。变形的过程中要保证恒等变形。
例5 已知0＜x＜，求f(x)＝x(1－2x)的最大值。
题型五 变形构造定值—分式型基本不等式
点拨：分式型基本不等式有两种形式
当分子次数高于分母次数时，将分母当成整体，将分子改写成含有分母整体的形式，便可构造出积为定值的形式，利用基本不等式求解。
当分子次数低于分母次数时，分子分母同时除以分子，将分子化为常数，分母利用基本不等式求解。
例6 已知x>0，则函数的最小值为_______.
题型六 变形构造定值—常值代换法“1”的代换
点拨：利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如“已知ax＋by(或＋)为定值，求cx＋dy(或＋)的最值(其中a，b，c，d均为常参数)”时可用常值代换处理．
例7 。
【达标检测】
1.已知0A. B. C. D.
2.已知一次函数mx＋ny＝－2过点(－1，－2)(m＞0，n＞0)．则＋的最小值为(　　)
A．3 B．2 C. D.
3.已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　)
A.10 B.9 C.8 D.7
4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
5.已知4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.