18.2特殊平行四边形期中复习（含解析）

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18.2特殊平行四边形期中复习人教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝10，则CD＝（　　）
A．10 B．6 C．8 D．5
2．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，添加一个条件，使得 ABCD是菱形，则下列选项不符合题意的是（　　）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝BC D．∠ABD＝∠CBD
3．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（　　）
A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
4．已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是（　　）
A．当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB＝AD，CB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当AB＝AD＝BC时，四边形ABCD是菱形
D．当AC＝BD，AD＝AB时，四边形ABCD是正方形
5．如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
6．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（　　）
A．5 B．4 C． D．3
7．下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点F在GH上，CG与EF交于点P，CM与BE交于点Q，若HF＝FG，则的值是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，点M是正方形ABCD边AB上一点，DN⊥CM于N，DN＝2CN＝2，则BN的长度为（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空题
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD中点，OE＝4，则菱形ABCD的周长为 　 　．
11．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：
（1）△DOF≌△COE；
（2）CF＝BE；
（3）四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；
（4）OF2+OE2＝EF2．其中正确的是 　 　．
12．如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 　 　cm．
三、解答题
13．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求MD的长．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．
15．如图，在 ABCD中，点M为AC的中点，过点D作DF⊥BC，延长CB到点E使BE＝CF，连接AE，EM．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝6，BF＝3，∠ADC＝120°，求EM的长．
16．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．
17．如图，正方形ABCD中，AB＝2，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值．
18．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OF的长．
19．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
20．如图，已知正方形ABCD，AB＝4，点M在边CD上，射线AM交BD于点E，交射线BC于点F，过点C作CP⊥CE，交AF于点P．
（1）求证：△ADE≌△CDE．
（2）判断△CPF的形状，并说明理由．
（3）作DM的中点N，连结PN，若PN＝3，求CF的长．
21．点E是正方形ABCD的对角线BD上一点，过点E作EF⊥AE交CD于点F，AE的延长线交BC于点G，AF交BD于点H．
（1）如图1，证明：AE＝EF；
（2）如图2，若AD＝DE，AB＝2，求CF的长．
22．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，交边AB于点Q，．
（1）①求证：△APD≌△CED；②求∠AEC的大小；
（2）求正方形ABCD的面积．
23．已知正方形ABCD中，AB＝3，且E为CD上的一动点，以AE为边作正方形AGFE，如图1所示，连接BE、GD．
（1）求证：BE＝GD．
（2）如图2，延长GD、BE交于点Q，求证：BE⊥GD．
（3）若∠QED＝60°，则DE的值是多少？
24．如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．
（1）求证：AK＝AH；
（2）求证：四边形AKFH是正方形；
（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，且AB＝10，
∴，
故选：D．
2．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，但四边形ABCD不一定是菱形，
故A选项不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
故B选项符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
故C选项符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
故D选项符合题意，
故选：A．
3．【解答】解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故符合题意；
C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
D、无法判断．
故选：B．
4．【解答】解：A、对角线AC与BD互相垂直，AC＝BD时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项不合题意；
B、当AB＝AD，CB＝CD时，无法得到，四边形ABCD是菱形，故此选项不合题意；
C、当两条对角线AC与BD互相垂直，AB＝AD＝BC时，∴BO＝DO，AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两条对角线AC与BD互相垂直，
∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确；
D、当AC＝BD，AD＝AB时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项不合题意；
故选：C．
5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，
∴BC＝CD＝5，BO＝DO＝4，OA＝OC，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC＝＝＝3，
∴AC＝2OC＝6，
∵菱形ABCD的面积＝AE BC＝BD×AC＝OB AC，
∴AE＝＝＝，
故选：A．
6．【解答】解：连接AP，
∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AB2+AC2＝62+82＝100，BC2＝102＝100，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠PEA＝∠PFA＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP＝EF，
∴当AP⊥BC时，AP有最小值，即EF有最小值，
∵△ABC的面积＝BC AP＝AB AC，
∴BC AP＝AB AC，
∴10AP＝6×8，
∴AP＝，
∴AP＝EF＝，
∴EF的最小值为，
故选：C．
7．【解答】解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以A选项错误．
B、当一组对边平行，另一组对边相等时，该四边形可能为等腰梯形，故B选项错误．
C、由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，故C选项正确．
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以D选项错误；
故选：C．
8．选：B．
9．【解答】解：如图，过点B作BE⊥CM于E，
∵DN⊥CM，BE⊥CM，
∴∠DNC＝∠CEB＝90°，
∴∠DCN+∠CDN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝CB，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠DCN+∠BCE＝90°，
∴∠CDN＝∠BCE，
∴△DCN≌△CBE（AAS），
∴DN＝CE，CN＝BE，
∵DN＝2CN＝2，
∴CN＝BE＝1，CE＝2，
∴EN＝CE﹣CN＝2﹣1＝1，
∴EN＝BE＝1，
∵∠BEN＝90°，
∴△BNE是等腰直角三角形，
∴BN＝BE＝．
故选：B．
二、填空题
10．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∴△AOD为直角三角形．
∵OE＝4，且点E为线段AD的中点，
∴AD＝2OE＝8．
∴C菱形ABCD＝4AD＝4×8＝32．
故答案为：32．
11．【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠COF+∠DOF＝90°，
∴∠COE＝∠DOF，
在△COE和△DOF中，
，
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
②∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ，故③正确；
④在Rt△ECF中，∠EOF＝90°，根据勾股定理，得：OE2+OF2＝EF2，故④正确；
综上所述，正确的是①②③④，
故答案为：①②③④．
12．【解答】解：答案为：．
三、解答题
13．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形；
（2）∵四边形BMDN是菱形，
∴MB＝MD，
设MD长为x，则MB＝DM＝x，
在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2
即x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
答：MD长为5．
14．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝，
∴OB＝＝3，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴OA＝，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O为AC中点，
∴＝4．
15．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴AD∥EF，
∵BE＝CF，
∴BE+BF＝CF+BF，即EF＝BC，
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
又∵DF⊥BC，
∴∠DFE＝90°，
∴四边形AEFD是矩形．
（2）解：由（1）可知，∠DFE＝∠DFC＝90°，AD＝EF＝BC，
∵AD＝6，BF＝3，
∴EB＝CF＝3，EC＝9，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝120°，
∴∠DCF＝60°，∠CDF＝30°，
∴DC＝2CF＝6，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：DF2+CF2＝DC2，
∴，
∵四边形AEFD是矩形，
∴，∠AEC＝90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2+EC2＝AC2，
∴，
∵M是AC的中点，∠AEC＝90°，
∴．
16．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△FAE≌△CDE（AAS），
∴AF＝CD，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BD＝BC，
∴四边形ADBF是菱形；
（2）解：∵四边形ADBF是菱形，
∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，
∵点D是BC的中点，
∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，
∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40，
∴AB AC＝40，
∴×8 AC＝40，
∴AC＝10，
∴AC的长为10．
17．【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB＝45°，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝90°﹣∠MEF＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF（ASA），
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形；
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝2，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝90°﹣∠ADE＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∵正方形ABCD中，AC＝AB＝2，
∴AC＝AB＝2，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝2．
18．【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，
，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，∠BAE＝∠DAG＝45°，
∴四边形ABEF是正方形；
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∴AD＝，∠DAG＝∠ADG＝45°，
∴DF＝﹣1，
∵EF⊥AD，
∴∠FDO＝∠FOD＝45°，
∴DF＝OF＝﹣1．
∴OF＝﹣1．
19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
连接EG，
∴EG＝＝＝3，
∴DE＝EG＝3．
∴正方形DEFG的边长为3．
20．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS）；
（2）解：△CPF是等腰三角形，理由如下：
∵△ADE≌△CDE，
∴∠DAE＝∠DCE，
又∵CP⊥CE，DC⊥CF，
∴∠DCE＝∠PCF，
又∵AD∥BF，
∴∠DAE＝∠CFP，
∴∠PCF＝∠PFC，
∴CP＝PF，
∴△CPF是等腰三角形；
（3）解：如图，连接DF，
∵∠PCF＝∠PFC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝MP，
∴MP＝PF，
又∵点N是DM的中点，
∴DF＝2NP＝6，
∴CF＝＝＝2．
21．【解答】（1）证明：如图，连接CE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A，C关于BD对称，
∴CE＝AE，∠DCE＝∠DAE．
∵∠AEF+∠FDA＝180°，
∴∠EFD+∠EAD＝180°，
又∠EFC+∠DFE＝180°，
∴∠DCE＝∠CFE，
∴EC＝FE，
∴AE＝FE；
（2）由四边形ABCD是正方形，
得AD＝AB＝2，∠EBA＝∠EDF＝45°，．
由AD＝ED，
得AB＝DE，∠EAD＝∠DEA，
得∠BAD﹣∠DAE＝∠FEA﹣∠DEA，即∠BAE＝∠DEF，
得△EBA≌△FDE，
得，
得．
22．【解答】（1）①证明：∵DP⊥DE，
∴∠PDE＝∠PDC+∠CDE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝90°，AD＝CD，
∴∠CDE＝∠ADP，
在△APD和△CED中，
，
∴△APD≌△CED（SAS）；
②解：∵△APD≌△CED，
∴∠APD＝∠CED，
∵∠APD＝∠PDE+∠DEP，∠CED＝∠CEA+∠DEP，
∴∠PDE+∠DEP＝∠CEA+∠DEP，
∴∠AEC＝∠PDE＝90°；
（2）解：过点C作CF⊥DE交DE延长线于点F，则∠EFC＝90°，
∵∠PDE＝90°，DE＝DP＝1，
∴∠DPE＝∠DEP＝45°，，
∵∠CEA＝90°，
∴∠CEF＝45°，
∵∠EFC＝90°，
∴∠FCE＝45°，
∴∠CEF＝∠FCE，
∴EF＝CF，
∴，
设EF＝CF＝x，
∴EF2+CF2＝CE2，
∴，
∴x＝3，
∴CF＝EF＝3，
在Rt△CDF中，CD2＝CF2+DF2＝32+（1+3）2＝25，
∴正方形ABCD的面积为：CD2＝25．
23．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD，AEFG均为正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∵∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠DAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△BAE和△DAG中，
，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE＝DG；
（2）证明：∵△BAE≌△DAG，
∴∠GDA＝∠ABE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠GDA，
∵∠CEB＝∠DEQ，
∴∠DEQ＝∠GDA，
又∵∠ADC＝90°，∠GDA+∠QDE＝90°，
∴∠QDE+∠DEQ＝90°，
∴∠Q＝90°，
∴BE⊥GD；
（3）解：∵∠QED＝60°，
∴∠CEB＝60°，
又∵AB＝BC＝3，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF，
∵DH＝CE＝BK，
∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB，
在△ADH和△ABK中，
，
∴△ADH≌△ABK（SAS），
∴AK＝AH；
（2）证明：∵△ADH≌△ABK，
∴∠HAD＝∠BAK．
∴∠HAK＝90°，
同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，
∴AH＝AK＝HF＝FK，
∴四边形AKFH是正方形；
（3）解：∵四边形AKFH的面积为10，
∴KF＝，
∵EF＝CE＝1，
∴KE＝，
∴AB＝KE＝3，
∵BK＝EF＝1，
∴BE＝BK+KE＝4，
∴AE＝，
故点A，E之间的距离为5．
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