第十六章二次根式期中专题复习（含解析）

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第十六章二次根式期中专题复习人教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．在下列根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各式计算正确的是（　　）
A．32 B．
C．4a（a＞0） D．
3．如果 ，那么（　　）
A．x≥0 B．x≥6
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
4．若，则x的取值范围是（　　）
A．x≤1 B．x＜1 C．x≥1 D．x＞1
5．如果有意义，那么代数式的值为（　　）
A．±8 B．8 C．﹣8 D．无法确定
6．已知a，b，c满足，则a+b﹣c的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．若a﹣4，则a的取值范围是（　　）
A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4
8．实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　）
A．a B．﹣a C．a﹣2b D．2b﹣a
9．若的整数部分为x，小数部分为y，则（2x）y的值是（　　）
A． B．3 C． D．﹣3
10．已知0＜x＜1，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 　 　．
12．已知，求　 　．
13．化简：（）2﹣|x﹣1|＝　 　．
14．观察下列等式：
第1个等式：a11，
第2个等式：a2，
第3个等式：a32，
第4个等式：a42，
…
按上述规律，计算a1+a2+a3+…+an＝　 　．
三、解答题
15．计算：
（1）；
（2）．
16．阅读与思考
配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．用配方思想方法，解答下面问题：
（1）已知：，求的值；
（2）已知：，，求3x2﹣2xy+3y2的值；
（3）已知：，，（a≥0，b≥0），求a+2b的值．
17．阅读下面材料：
将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．则．
根据以上材料解答下列问题：
（1）S3﹣S2＝　　 ，S4﹣S3＝　　 ；
（2）把边长为的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3， tn＝Sn+1﹣Sn且T＝t1+t2+t3+ +t50，求T的值．
18．二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题：
（1）已知，则a+b的值为 　﹣2　；
（2）若x，y为实数，且，求x+y的值；
（3）若实数a满足，求a+99的值．
19．（1）已知3x2﹣18＝0，求x的值．
（2）已知a﹣1和5﹣2a都是m的平方根，求a与m的值．
（3）已知|1﹣x|+＝x，求x的值．
20．已知（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣mx+n（ab≠0）．
（1）若．
①直接写出n的值为 　1　；
②求的值；
③求的值．
（2）若，求的最小值．
参考答案
一、选择题
1．解：A、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．解：A、原式，所以A选项正确；
B、原式2×3＝6，所以B选项错误；
C、原式＝2a，所以C选项错误；
D、原式，所以D选项错误．
故选：A．
3．解：∵，
∴x≥6，
故选：B．
4．解：∵，
∴x﹣1≤0，
∴x≤1．
故选：A．
5．解：∵有意义，
∴x﹣1≥0，9﹣x≥0，
∴；
故选：B．
6．解：∵，
∴，
∴8﹣a≥0，a﹣8≥0，
∴a＝8，
∴|c﹣17|+（b﹣15）2＝0，
∴c﹣17＝0，b﹣15＝0，
∴c＝17，b＝15，
∴a+b﹣c＝8+15﹣17＝6，
故选：C．
7．解：∵|a﹣4|＝a﹣4，
∴a﹣4≥0，即a≥4，
故选：D．
8．解：由数轴，得a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴
＝|a﹣b|﹣|b|
＝﹣（a﹣b）﹣b
＝﹣a+b﹣b
＝﹣a，
故选：B．
9．解：∵9＜13＜16
∴34，
∴的整数部分x＝2，
则小数部分是：62＝4，
∴y＝4，
则（2x）y＝（4）（4）
＝16﹣13
＝3．
故选：B．
10．解：∵，
∴，
∵0＜x＜1，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题
11．解：2，
∵是整数，
∴满足条件的最小正整数n＝6．
故答案为：6．
12．解：∵，
∴x﹣3≥0，3﹣x≥0，
解得：x＝3，
∴y＝8，
∴．
故答案为：．
13．解：∵1﹣2x≥0，
解得：x，
原式＝1﹣2x﹣（1﹣x）
＝1﹣2x﹣1+x
＝﹣x．
故答案为：﹣x．
14．解：第1个等式：a11，
第2个等式：a2，
第3个等式：a32，
第4个等式：a42，
…
a1+a2+a3+…+an
1
1
故答案为：1．
三、解答题
15．解：（1）原式；
（2）原式．
16．解：（1）由条件可知；
（2），
，
，
，
原式＝3[（x+y）2﹣2xy]﹣2xy
＝3（x+y）2﹣8xy
＝3×122﹣8×1
＝424；
（3）∵，，
∴．
17．解：（1）S3﹣S2
；
S4﹣S3
；
故答案为：，；
（2）Sn+1﹣Sn，
理由如下：
Sn+1﹣Sn
；
（3）原式＝S2﹣S1+S3﹣S2+S4﹣S3+ +S51﹣S50
＝S51﹣S1
．
18．解：（1）∵，
且，，
∴a﹣1＝0，3+b＝0，
∴a＝1，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣2；
故答案为：﹣2．
（2）∵，
∴y﹣5≥0且5﹣y≥0，
∴y≥5且y≤5，
∴y＝5，
∴x2＝9，
∴x＝±3，
当x＝3时，x+y＝3+5＝8；
当x＝﹣3时，x+y＝﹣3+5＝2；
答：x+y的值为2或8；
（3）∵，
∴a﹣100≥0，
∴a≥100，
∴方程可变为，
∴，
∴a﹣100＝992，
解得a＝9901，
∴a+99＝9901+99＝10000．
19．解：（1）原方程变形得：x2＝6，
∴；
（2）∵a﹣1和5﹣2a都是m的平方根，
∴当a﹣1＝5﹣2a时，
解得：a＝2，
此时m＝1；
当a﹣1+5﹣2a＝0时，
解得：a＝4，
此时m＝（4﹣1）2＝9
综上所述，当a＝2时，m＝1；当a＝4时，m＝9；
（3）由题意得：x﹣2≥0，
∴x≥2，
∴1﹣x＜0，
∴原方程可化为，
∴，
∴x＝3，
经检验符合题意，
所以x＝3．
20．解：因为（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣mx+n（ab≠0），
所以m＝a+b，n＝ab，
（1）因为，
所以有：，，
①n＝ab＝1；
②
＝1；
③
＝2025．
（2）因为m＝a+b，n＝ab，
，n＝|m|，即ab＝|m|，
，
当m＞0时，
＝m2﹣2m﹣1
＝（m﹣1）2﹣2，
此时式子的最小值是﹣2；
当m＜0时，
＝m2+2m+1
＝（m+1）2
此时最小值是0，
因为ab≠0，所以最小值部位0，
所以式子的最小值是﹣2．
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