第二章一元二次方程期中专题复习（含解析）

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第二章一元二次方程期中专题复习浙教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x+y＝5 B．3x2﹣x＝2 C．x（x2+1）＝2 D．
2．方程x（x﹣2）＝0的根为（　　）
A．x＝0 B．x＝2
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2
3．一元二次方程x2﹣2x+1＝0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
4．用配方法解方程x2﹣4x＝6时，配方后正确的是（　　）
A．（x+2）2＝2 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣2）2＝2 D．（x﹣2）2＝10
5．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3
6．某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（　　）
A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36
C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36
二、填空题
7．已知x1，x2是方程x2+x﹣6＝0的两个实数根，则2x1+2x2﹣x1x2的值为 　 　．
8．新能源汽车节能、环保．某款新能源汽车2021年销量为15万辆，销量逐年增加，2023年销量为21.6万辆，设这款新能源汽车销量的年平均增长率为x，则可列方程为 　 　．
9．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值是 　 　．
10．已知方程（2﹣m）x|m|﹣x﹣9＝0，当m＝　　时，是关于x的一元二次方程．
11．已知方程2x2﹣kx+4＝0的一个根是，则另一个根是 　　．
12．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是　 ．
13．已知a，b是方程x2﹣5x﹣3＝0的两根，则a2﹣5a+ab＝　 　．
14．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　 　．
三、解答题
15．（1）解方程：2x2﹣3x+＝0；
（2）解方程：2x+6＝（x+3）2．
16．关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
17．计算：
（1）解方程x2﹣4x﹣12＝0；
（2）关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
①求m的取值范围；
②若，求m的值．
18．某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60公斤．结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果经销商决定降价销售．
（1）若每公斤售价降价5元，则每天的销售利润为　770　元；
（2）水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能否达到800元？如果能，请求出葡萄的销售单价；如果不能，请说明理由．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
20．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
则 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝　，x1x2＝　　．
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：A．∵方程x+y＝5含有两个未知数，
∴方程x+y＝5不是一元二次方程，选项A不符合题意；
B．方程3x2﹣x＝2是一元二次方程，选项B符合题意；
C．∵原方程可整理得x3+x﹣2＝0，该方程未知数的最高次数是3，
∴方程x（x2+1）＝2不是一元二次方程，选项C不符合题意；
D．∵方程﹣x2＝9不是整式方程，
∴方程﹣x2＝9不是一元二次方程，选项D不符合题意．
故选：B．
2．【解答】解：∵x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
故选：C．
3．【解答】解：根据题意可得，a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴有两个相等的实数根．
故选：B．
4．【解答】解：x2﹣4x＝6，
x2﹣4x+4＝10，
（x﹣2）2＝10，
故选：D．
5．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＝12﹣4m＞0，
解得：m＜3．
故选：D．
6．【解答】解：由题意得：1+x+x（1+x）＝36，
故选：C．
二、填空题
7．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+x﹣6＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣6，
∴2x1+2x2﹣x1x2＝2（x1+x2）﹣x1x2＝﹣2+6＝4．
故答案为：4．
8．【解答】解：根据题意得：15（1+x）2＝21.6．
故答案为：15（1+x）2＝21.6．
9．【解答】解：把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m1＝1，m2＝﹣1，
而m﹣1≠0，
所以m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
10．【解答】解：∵方程（2﹣m）x|m|﹣x﹣9＝0是一元二次方程，
∴，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
11．【解答】解：设另一个根是x2．
则（﹣1）x2＝，
x2＝，
x2＝，
x2＝+1．
故答案为：+1．
12．【解答】解：∵一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0，且a≠0，
解得：a≤1且a≠0，
故答案为：a≤1且a≠0．
13．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣5x﹣3＝0的两根，
∴a2﹣5a﹣3＝0，ab＝﹣3，
∴a2﹣5a＝3，
∴a2﹣5a+ab＝3﹣3＝0，
故答案为：0．
14．【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，
所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，
又n2＝n+3，
则2n2﹣mn+2m+2021
＝2（n+3）﹣mn+2m+2021
＝2n+6﹣mn+2m+2021
＝2（m+n）﹣mn+2027
＝2×1﹣（﹣3）+2027
＝2+3+2027
＝2032．
故答案为：2032．
三、解答题
15．【解答】解：（1）2x2﹣3x+＝0，
这里a＝2，b＝﹣3，c＝，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×＝9﹣12＝﹣3＜0，
∴原方程无实数根；
（2）2x+6＝（x+3）2，
（x+3）2﹣2（x+3）＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
∴x+3＝0或x+1＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣1．
16．【解答】解：（1）b2﹣4ac＝22﹣4×1×（3﹣k）＝﹣8+4k，
∵有两个不相等的实数，
∴﹣8+4k＞0，
解得：k＞2；
（2）∵方程的两个根为α，β，
∴αβ＝＝3﹣k，
∴k2＝3﹣k+3k，
解得：k1＝3，k2＝﹣1（舍去）．
17．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣12＝0，
（x﹣6）（x+2）＝0，
∴x﹣6＝0或x+2＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣2；
（2）①∵关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣m）＝4m＞0，
解得m＞0；
②根据根与系数的关系得：x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m，
∵，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝4m2﹣2（m2﹣m）＝12，
解得m＝2或﹣3，
∵m＞0，
18．【解答】解：（1）∵售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，
∴每公斤售价降价5元，则每天的销售量增加50公斤，
∴降价后的销售价格为：20﹣5＝15（元），降价后每公斤的利润为：15﹣8＝7（元），降价后的销售量为：60+50＝110（公斤），
∴每天的销售利润为：7×110＝770（元），
故答案为：770；
（2）水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能达到800元；理由如下，
设降价x元，则销售量为（60+10x）公斤，
∴（20﹣x﹣8）（60+10x）＝800，整理得，x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得，x1＝2，x2＝4，
当降价2元时，销售量为60+10x＝60+20＝80（公斤），当降价4元时，销售量为60+10x＝60+40＝100（公斤），
∵减少库存，80＜100，
∴降价4元，此时的销售单价为20﹣4＝16（元），
∴水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能达到800元；葡萄的销售单价为16元．
19．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）
＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m
＝1＞0，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为a，b，
∴a+b＝＝2m+1，ab＝＝m2+m，
∵（2a+b）（a+2b）
＝2a2+4ab+ab+2b2
＝2（a2+2ab+b2）+ab
＝2（a+b）2+ab，
∴2（a+b）2+ab＝20，
∴2（2m+1）2+m2+m＝20，
整理得：m2+m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝1，
∴m的值为﹣2或1．
20．【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣；
故答案为：﹣，﹣；
（2）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣，mn＝﹣，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝+1＝；
（3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝﹣，st＝﹣，
∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣）＝，
∴t﹣s＝±，
∴＝＝＝±．
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