沪科版2024—2025学年八年级下册数学期中考试模拟试卷A卷

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沪科版2024—2025学年八年级下册数学期中考试模拟试卷A卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．，2， B．1，，2 C．3，6，7 D．6，8，12
3．一元二次方程x2+4x﹣11＝0配方后化为（　　）
A．（x+4）2＝13 B．（x﹣2）2＝15 C．（x+2）2＝13 D．（x+2）2＝15
4．如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边a、b、c的大小关系式正确的是（　　）
c＜a＜b B．a＜b＜c
C．a＜c＜b D．c＜b＜a
5．已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2﹣7x+12＝0，则三角形的周长为（　　）
A．10 B．11
C．10或11 D．以上都不对
6．若|x﹣1|＝1﹣x，则化简的结果是（　　）
A．3﹣2x B．1 C．﹣1 D．2x﹣3
7．关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，若a，b，c是△ABC的三边长，则这个三角形一定是（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
8．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮传播后共有169台电脑被感染，每轮感染过程中平均一台电脑会感染的电脑台数为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
9．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为（　　）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
10．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，交∠ACB的角平分线于E，连接AE、BE，若BE＝3，△ADE的周长为12，则CE的长度是（　　）
A． B．
C． D．10
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．计算：的结果是　 　 ．
12．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，那么代数式2024+a﹣b的值是 　 　 ．
13．比较大小：3　 　 4．
14．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D．分别以AC、BC、AD、BD为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为15、30、38，那么最小的正方形面积为 　 　 ．
15．在△ABC中，三边分别为5、、11，则最长边上的高为 　 　 ．
16．如图，直角三角形纸片ABC中，AB＝6，AC＝8，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3则：
（1）AP3＝　 　 ；
（2）当折叠2024次之后，AP2024＝　 　 ．
第II卷
沪科版2024—2025学年八年级下册数学期中考试模拟试卷A卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、___、____
三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：．
18．解下列方程
（1）x2﹣4x＝1 （2）2x2﹣7x+5＝0．
19．如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）求证：CD⊥AD；
（2）求四边形ABCD的面积．
20．已知一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根；
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程的两个根为x1和x2，且满足x1+x2+x1x2＝﹣4，求k的值．
21．图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，△A0A1是直角边为1的直角三角形，以△OA0A1的斜边OA1为直角边，长为1的线段为另一直角边，画第二个直角三角形......以此类推．
（1）第一个直角三角形的斜边长为 　 　 ．
（2）第n个直角三角形的斜边长为 　 　 ．
（3）求的值．
22．如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．求：
（1）PP′的长度；
（2）∠APB的度数．
23．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：m＜T＜n，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“行知区间”为（m，n），如2，所以的行知区间为（1，2）．
（1）无理数的“行知区间”是 　 　 ；
（2）若，求a的“行知区间”：
（3）实数x，y，n满足，求n的算术平方根的“行知区间”．
24．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AEc，这时我们把关于x的形如ax2cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）试判断方程x2+2x+1＝0是否为“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．
25．在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．
（1）若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价为100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元．
参考答案
一、选择题
1．解：A．2，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故本选项符合题意；
C．，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．解：A、22，不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、1222，能构成直角三角形，故B符合题意；
C、32+62≠72，不能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、62+82≠122，不能构成直角三角形，故D不符合题意．
故选：B．
3．解：∵x2+4x﹣11＝0，
∴x2+4x＝11，
则x2+4x+4＝11+4，即（x+2）2＝15，
故选：D．
4．解：∵b＝AC5，a＝BC，c＝4，
∴b＞a＞c，
即c＜a＜b．
故选：A．
5．解：方程x2﹣7x+12＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
当x＝3时，2+3＝5，不能构成三角形；
当x＝4时，三角形周长为2+4+5＝11．
故选：B．
6．解：∵|x﹣1|＝1﹣x，
∴x﹣1≤0，
解得x≤1，
∴x﹣2≤﹣1，
∴
＝|x﹣1|﹣|x﹣2|
＝1﹣x﹣2+x
＝﹣1．
故选：C．
7．解：∵关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2c）2﹣4（a2+b2）＝0，整理得c2＝a2+b2，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
8．解：设每轮感染过程中平均一台电脑会感染x台电脑，
依题意得：（1+x）2＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去），
即每轮感染过程中平均一台电脑会感染12台电脑，
故选：D．
9．解：a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2，
整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0，
设x﹣2＝m，
∴am2+bm+2＝0，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，
∴am2+bm+2＝0有一个根为m＝2024，
∴x﹣2＝2024，
解得：x＝2026，
∴一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为2026，
故选：C．
10．解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE＝3，AD＝BD，DE⊥AB，
∵∠BAC＝90°，
∴DE∥AC，
∵∠ACE＝∠DEC，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∵△ADE的周长为12，
∴AE+DE+AD＝12，
∴BD+CD+3＝12，
∴BC＝BD+CD＝9，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD，
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴BD＝CD＝DE，
∴∠BEC＝90°，
∴CE6，
故选：A．
二、填空题
11．解：原式＝7﹣2，
＝5．
故答案为：5
12．解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，
∴a﹣b+1＝0，
∴a﹣b＝﹣1，
∴2021+a﹣b＝2024﹣1＝2023．
故答案为：2023．
13．解：（1）45，（4）2＝48，
∵45＜48，
∴34．
故答案为：＜．
14．解：在Rt△DBC中，∠CDB＝90°，
∴CD2＝BC2﹣BD2＝38﹣30＝8，
在Rt△DAC中，∠ADC＝90°，
∴AD2＝AC2﹣CD2＝15﹣8＝7，
∴最小的正方形面积为7，
故答案为：7．
15．解：不妨设AC＝5，AB＝4，BC＝11，过点A作AD⊥BC于点D，如图所示．
设CD＝x，则BD＝11﹣x，
根据题意得：52﹣x2＝（4）2﹣（11﹣x）2，
即22x＝66，
解得：x＝3，
∴AD4，
∴最长边上的高为4．
故答案为：4．
16．解：（1）在Rt△ABC中，BC10，
∵D是BC中点，
∴ADBC＝5，
由翻折的性质可知，AP1＝DP1，
∵P1D的中点为D1，
∴AD1，
由翻折的性质可知，AP2＝D1P2，
∵P2D1的中点为D2，
∴AD2AD1，
∴AP3AD2；
故答案为：；
（2）由（1）可得规律，APnAPn﹣1，
∴AP2024＝（）2023．
故答案为：．
三、解答题
17．解：原式＝3﹣44+2
＝7﹣2．
18．解：（1）∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
则x﹣2＝±，
所以x＝2；
（2）∵（x﹣1）（2x﹣5）＝0，
∴x﹣1＝0或2x﹣5＝0，
解得：x＝1或x＝2.5．
19．（1）证明：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，
∵DA2+CD2＝242+72＝625，
∴AC2＝DA2+DC2，
∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角，
∴CD⊥AD；
（2）解：S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
AB BCAD CD
20×1524×7
＝234．
20．解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22+4k＞0，
∴k＞﹣1；
（2）∵方程x2+2x﹣k＝0的两个根为x1和x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣k，
∴x1+x2+x1x2＝﹣2﹣k＝﹣4，
∴k＝2，
∵2＞﹣1，
∴k的值为2．
21．解：（1）由勾股定理得：OA1，
故答案为：；
（2）由（1）得：第n个直角三角形的直角边是1和，
则第n个直角三角形的斜边长为；
故答案为：；
（3）S11×1，S21，S31，
∴
＝（）2+（）2+（）2+…+（）2
（1+2+3+4+5+6+7+8）
＝9．
22．解：（1）∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，
∴∠PAP′＝60°，P′A＝PA＝6，
∴△APP′是等边三角形，
∴PP′＝PA＝6；
（2）∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，
∴P′B＝PC＝10，
∵△APP′是等边三角形，
∴∠APP′＝60°，
∵PB2+PP′2＝82+62＝100，
P′B2＝102＝100，
∴PB2+PP′2＝P′B2，
∴△P′PB是直角三角形，∠BPP′＝90°，
∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝60°+90°＝150°．
23．解：（1）∵45，
∴的“行知区间”是（4，5），
故答案为：（4，5）；
（2）∵，均有意义，
∴b﹣3＝3﹣b＝0，
即b＝3，
∴a，
∵23，
∴﹣32，
即﹣3＜a＜﹣2，
∴无理数a的“行知区间”是（﹣3，﹣2）；
（3）∵二次根式与均有意义，
∴x+y﹣41＝41﹣x﹣y＝0，
∴x+y＝41，
∴0，即2x+3y﹣n＝0，3x+4y﹣2n＝0，
∴n＝82+y，2n＝123+y，
解得n＝41，
∴n的算术平方根为，
∵67，
∴的“行知区间”是（6，7），
即n的算术平方根的“行知区间”是（6，7）．
24．（1）解：x2+2x+1＝0是“勾系一元二次方程”，
理由：∵c＝2，
∴c，
∵a＝1，b＝1，
∴a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，
∴x2+2x+1＝0是“勾系一元二次方程”．
（2）证明：∵ax2cx+b＝0是“勾系一元二次方程“，
∴a、b、c为同一直角三角形的三边长，且c为斜边的长，
∴c2＝a2+b2，
∵Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0必有实数根．
（3）解：∵x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0的一个根，
∴ac+b＝0，
∴a+bc，
∵四边形ACDE的周长是12，
∴2（a+b）c＝12，
∴2cc＝12，
∴c＝2，
∴a+b24，
∴（a+b）2＝16，
∴a2+2ab+b2＝16，
∵a2+b2＝c2＝（2）2＝8，
∴2ab+8＝16，
∴ab＝4，
∴S△ABCab4＝2．
∴△ABC面积是2．
25．解：（1）设条带的宽度为x cm，
根据题意，得（60﹣2x）（40﹣x）＝60×40﹣650．
整理，得x2﹣70x+325＝0，
解得x1＝5，x2＝65（舍去）．
答：丝绸条带的宽度为5cm．
（2）设每件工艺品降价y元出售，
由题意得：（100﹣y﹣40）（200+20y）﹣2000＝22500．
解得：y1＝y2＝25．
所以售价为100﹣25＝75（元）．
答：当售价定为75元时能达到利润22500元．
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