第九章中心对称图形—平行四边形期中复习（含解析）

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第九章中心对称图形—平行四边形期中复习苏科版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．正六边形最少旋转n度后能与自身重合，则n为（　　）
A．30 B．45
C．60 D．90
2．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边上BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①BF⊥BC；②△AED≌△AEF；③BE+DC＝DE；④BE2+DC2＝DE2．
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图， ABCD中，AC，BD为对角线，∠BAC＝90°，且AC：BD＝2：3，若 ABCD的面积为，则AB的长为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
5．如图，P为 ABCD的对角线BD上一点，过点P作AB，BC的平行线，分别交AD，BC，AB，CD于E，F，G，H四点，连结AP，FH．若△APE的面积为2.5，则△PFH的面积为（　　）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．1.25
6．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
7．若菱形ABCD的边长为6，其中较短的一条对角线的长也为6，则这个菱形的面积为（　　）
A． B． C．24 D．36
8．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，则OE的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．如图，在正方形ABCD中，AD＝6，O、E、F、M分别为BD、CD、AE、BF的中点，则OM的长等于（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在斜边AB上（不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF．随着P点在边AB上位置的改变，则EF长度的最小值．（　　）
A．2.5 B．5 C．2.4 D．3
二、填空题
11．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE，点F在DE上，连结FB，FC，若FB⊥FC，BC＝6，DF＝1，则AC的长为　 　 ．
12．如图，点E为正方形ABCD对角线AC上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连结CG．给出下列四个结论：
①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④．
上述结论中，正确结论的序号有 　 　 ．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH．若OB＝4.5，S菱形ABCD＝36，则OH的长为 　 　 ．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，BE平分∠ABD，交AD于F，BE⊥DE，EG⊥AD于G，则下列说法：
①∠ADE＝∠ABE；②△BCD≌△BED； ③BF＝DE；④△BDF的面积为．
其中正确的有 　 　 ．（填序号）
15．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在边AB、CD上，且BE＝DF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段MF，连接AM，则线段AM的最小值为 　 　 ．
三、解答题
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点的坐标为A（﹣3，1），B（﹣2，3），C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O按顺时针旋转90°后的图形△A2B2C2；
（3）在平面直角坐标系内作点D．使得点A、B、C、D围成以BC为边的平行四边形，并写出所有符合要求的点D的坐标为 　 　 ．
17．如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE＝AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点．
（1）求证：AO＝BO；
（2）求证：∠HEB＝∠HNB；
（3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则的值．
18．如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED、EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若BC＝6，AF＝2，求菱形CDEF的面积．
19．如图，在 ABCD中，点O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC．若AB＝4，，求OC的长．
20．如图，在 ABCD中，E，F两点分别在边AB，CD上，连接DE，BF，AF，DE⊥AB，且∠ADE＝∠CBF．
（1）求证：四边形DEBF为矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AD＝6，AF＝10，求AE的长．
21．如图①，如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N．
（1）求证：∠BME＝∠CNE；
（2）如图②，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E、F分别是BC、AD中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状．
参考答案
一、选择题
1．解：根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成六部分，旋转60°的整数倍，就可以与自身重合，
即正六边形最少旋转60°后才能与自身重合，
故选：C．
2．解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴△ADC≌△AFB，
∴BF＝DC，∠FBA＝∠C，∠BAF＝∠CAD，
又∵∠ABC+∠C＝90°，
∴∠ABC+∠FBA＝90°，即∠FBC＝90°，
∴BF⊥BC，故①正确；
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠BAE+∠CAD＝∠DAE＝45°，
∴∠BAE+∠BAF＝∠DAE＝45°，即∠EAF＝∠EAD，
在△AED和△AEF中，
∵，
∴△AED≌△AEF，故②正确；
∵BF＝DC，
∴BE+DC＝BE+BF，
∵△AED≌△AEF，
∴EF＝DE，
在△BEF中，∵BE+BF＞EF，
∴BE+DC＞DE，故③错误，
∵∠FBC＝90°，
∴BE2+BF2＝EF2，
∵BF＝DC、EF＝DE，
∴BE2+DC2＝DE2，正确；
故选：C．
3．解：A不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则A不符合题意；
B是轴对称图形，但不是中心对称图形，则B不符合题意；
C不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则C不符合题意；
D既是轴对称图形，也是中心对称图形，则D符合题意；
故选：D．
4．解：如图，设AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2OB，
∵AC：BD＝2：3，
∴OA：OB＝2：3，
设OA＝2x，OB＝3x，
∵∠BAC＝90°，
∴ABx，AC＝4x，
∵平行四边形ABCD的面积为16，
∴AC AB＝16，
∴4x x＝16，
∴x＝2（负值舍去），
∴ABx＝2．
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC，
∵EF∥AB，GH∥BC，
∴EF∥CD，GH∥AD，
∴四边形PFCH、四边形PGDE、四边形PEAG、四边形PGBF都是平行四边形，
∵PG＝BF，BG＝PF，PB＝BP，
∴△PFB≌△BGP（SSS），
∴S△PFB＝S△BGP，
同理S△PHD＝S△DEP，S△CDB＝S△ABD，
∴S PFCH+S△PFB+SPHD＝S PEAG+S△BGP+S△DEP，
∴S PFCH＝S PEAG，
∴S PFCHS PEAG，
∵S△PFH＝S△CHPS PFCH，S△APE＝S△PAGS PEAG，
∴S△PFH＝S△APE＝2.5，
故选：B．
6．解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、四边形中，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定是平行四边形．故本选项符合题意；
D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．解：菱形ABCD中，AC＝6，
∵菱形ABCD的边长是6，
∴AB＝BC＝6，
∵AC＝6，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
过A作AH⊥BC于H，
∵sinB＝sin60°，
∴AH＝3，
∴菱形ABCD的面积＝BC AH＝6×318．
故选：B．
8．解：∵在菱形ABCD中，AC＝16，
∴，，
∵AB＝10，OA＝8，
∴，
∵DE⊥BC，，
∴．
故选：A．
9．解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∵E是CD的中点，
∴DECD＝3，
∴AE3，
∵F是AE的中点，
∴DFAE，
∵点O，M是BD，BF的中点，
∴OM是△BDF的中位线，
∴OM，
故选：A．
10．解：连接PC，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得：AB5，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠ACB＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC的值最小时，EF的值为最小，
∵点P在斜边AB上（不与A、B重合），
∴根据“垂线段最短”得：当点P于点H重合时，PC的值为最小，最小值为线段CH的长，
∴EF的最小值是线段CH的长，
∵S△ABCAB CHAC BC，
∴CH2.4，
∴EF长度的最小值为2.4．
故选：C．
二、填空题
11．解：∵FB⊥FC，
∴∠BFC＝90°，
∵E是边BC的中点，BC＝6，
∴EFBC＝3，
∴DE＝DF+EF＝4，
∵点D，E分别是边AB，BC的中点，
∴AC＝2DE＝8，
故答案为：8．
12．解：过E作EM⊥BC，过E作EN⊥CD于N，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN是正方形，
∴EM＝EN，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，故①正确；
∴平行四边形DEFG是正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠ACG＝90°，
∴CG⊥AC，故③正确；
∴AC＝AE+CE＝CE+CGCD，故④错误；
∴正确结论的序号有①②③，
故答案为：①②③．
13．解：∵四边形ABCD是菱形，OB＝4.5，
∴OA＝OC，BD＝2OB＝9，
∵S菱形ABCD＝36，
∴，
∴AC＝8，
∵AH⊥BC，OA＝OC，
∴∠AHC＝90°，O为AC的中点；
在Rt△AHC中，O为AC的中点
∴．
故答案为：4．
14．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°．
∵BE⊥DE，
∴∠DEF＝∠BAD＝90°，
∵∠AFB＝∠DFE，
∴∠ADE＝∠ABE，
故①符合题意；
在矩形ABCD中，CD＝AB＝2，BC＝4，
延长DE交BA的延长线于点M，过点E作EN⊥AM于点N，如图所示：
则∠ENA＝∠ENM＝90°，
在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠NAG＝90°，
∵EG⊥AD，
∴∠AGE＝∠DGE＝90°，
∴四边形AGEN是矩形，
∴AN＝GE，NE＝AG，
∵BE⊥DE，
∴∠BED＝∠BEM＝90°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE，
在△BED和△BEM中，
，
∴△BED≌△BEM（ASA），
∴BM＝BD，ME＝DE，
∵∠MAG＝∠EGD＝90°，
∴AM∥EG，
∴∠M＝∠GED，
在△MNE和△EGD中，
，
∴△MNE≌△EGD（AAS），
∴NE＝GD，MN＝GE，
∴AG＝GD＝2，
∴AB＝GD，
在△ABF和△GDE中，
，
∴△ABF≌△GDE（ASA），
∴BF＝DE，AF＝GE，
故③符合题意；
∵AB＝CD，AB≠DE，
∴△BCD和△BED不全等，
故②不符合题意；
在Rt△BCD中，根据勾股定理，得BD2，
∴BM＝BD＝2，
∴AM＝22，
∴GE＝AN＝MN1，
∴AF＝GE1，
∴DF＝4﹣（1）＝5，
∴△BDF的面积5，
故④符合题意，
综上所述，符合题意的有①③④，
故答案为：①③④．
15．解：过M作MH⊥AB交BA延长线于H，交CD延长线于T，过E作EF⊥CD于K，如图：
设BE＝DF＝x，则CF＝AE＝4﹣x＝DK，
∴KF＝DF﹣DK＝x﹣（4﹣x）＝2x﹣4，
∵将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段MF，
∴MF＝EF，∠MFE＝90°，
∴∠KFE＝90°﹣∠MFT＝∠TMF，
∵∠EKF＝90°＝∠CTM，
∴△EKF≌△FTM（AAS），
∴EK＝TF＝4，KF＝MT＝2x﹣4，
∴MH＝MT+TH＝2x﹣4+4＝2x，AH＝DT＝TF﹣DF＝4﹣x，
∴AM，
∴当x时，AM取最小值；
故答案为：．
三、解答题
16．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）如图，点D1，D2均满足题意，
∴符合要求的点D的坐标为（﹣4，5）或（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣4，5）或（﹣2，﹣3）．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，AD∥BC，
∴∠DAB＝∠ABE，∠ADO＝∠BEO，
∵AB＝BE，
∴AD＝BE，
∴△ADO≌△BEO（ASA），
∴AO＝BO；
（2）证明：延长BC至F，且使CF＝BC，连接AF，如图1所示：
则BF＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠DCB＝90°，
在△ABF和△DCE中，，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠DEC＝∠AFB，
∵EB＝CF，BN＝CN，
∴N为EF的中点，
∴MN为△AEF的中位线，
∴MN∥AF，
∴∠HNB＝∠AFB＝∠HEB；
（3）解：过点B作BQ⊥BP交DE于Q，如图2所示：
则∠PBQ＝90°，
∵∠ABE＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠EBQ＝∠ABP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠BEQ，
∵AP⊥DE，∠BAD＝90°，
由角的互余关系得：∠BAP＝∠ADP，
∴∠BEQ＝∠BAP，
在△BEQ和△BAP中，，
∴△BEQ≌△BAP（ASA），
∴PA＝QE，QB＝PB，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∴PQPB，
∴．
18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，点F在AB上，
∴CD∥EF，
∵CF∥ED，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵DC＝DE，
∴四边形CDEF是菱形．
（2）解：∵∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠DAE＝90°，BC⊥EF，
∵四边形CDEF是菱形，AF＝2，
∴DE＝EF＝AE+2，
∵AE2+AD2＝DE2，AD＝BC＝6，
∴AE2+62＝（AE+2）2，
解得AE＝8，
∴EF＝8+2＝10，
∴S菱形CDEF＝EF BC＝10×6＝60，
∴菱形CDEF的面积为60．
19．【解答】（1）证明：∵O为AD的中点，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠EDO，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴△AOB≌△DOE（ASA），
∴AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴平行四边形ABDE是矩形；
（2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，
∵四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝4，ODAD，OB＝OEBE，AD＝BE，
∴OD＝OE，
∵OF⊥DE，
∴DF＝EFDE＝2，
∴OF为△BDE的中位线，
∴OFBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，
∴CF＝CD+DF＝6，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC，
即OC的长为．
20．【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠DAE＝∠C，
在△ADE与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，
∴DF＝BE，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形DEBF为矩形；
（2）解：∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AB∥CD，
∴∠AFD＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵DF＝BE，
∴BE＝6，
∵DE⊥AB，BF∥DE，
∴BF⊥AB，
∴∠AHD＝∠ABF＝90°，
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴DE＝BF，
∵AD2﹣AE2＝DE2，AF2﹣AB2＝BF2，
∴AD2﹣AE2＝AF2﹣AB2，
∴62﹣AE2＝102﹣（AE+6）2，
∴．
21．【解答】（1）证明：如图所示，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴HF、HE分别是△BCD、△ABD的中位线，
∴HF∥CN，HE∥BM，，
∵AB＝CD，
∴HF＝HE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∵HF∥CN，HE∥BM，
∴∠HEF＝∠BME，∠HFE＝∠CNE，
∴∠BME＝∠CNE；
（2）解：△OMN是等腰三角形；
证明：如图，取BD的中点H，连接HE、HF，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴HF、HE分别是△ABD、△BCD的中位线，
∴HF∥AB，HE∥CD，，
∵AB＝CD，
∴HF＝HE，
∴∠HFE＝∠HEF，
∵HF∥AB，HE∥CD，
∴∠HFE＝∠ONM，∠HEF＝∠OMN，
∴∠ONM＝∠OMN，
∴OM＝ON，
∴△OMN是等腰三角形．
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