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【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题32 等腰三角形存在性问题
模型解读 1
常见类型讲解 1
1、“两圆一线”几何法 2
2、两点间距离公式代数法 3
真题演练 6
（2024·四川雅安·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形 6
（2023·四川绵阳·中考真题）反比例函数综合 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形 6
（2022·湖南湘西·中考真题）二次函数 判断三角形是以某边为腰的等腰三角形 7
（2022·广西河池·中考真题）二次函数 判断能构成等腰三角形的点坐标 8
（2024·四川达州·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形 8
（2023·青海·中考真题）二次函数 判断三角形是以某边为底的等腰三角形 9
（2022·广西·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形 10
（2022·贵州黔东南·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形 10
巩固练习 11
在初中数学中，等腰三角形存在性模型是一种用于解决特定几何问题的模型，主要用于判断是否存在一个点，使得以该点和给定的两个定点为顶点的三角形是等腰三角形。这类问题在中考中常以压轴题的形式出现，综合性强，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高。等腰三角形存在性模型的问题描述：给定两个定点 A 和 B，在某条已知直线上（如坐标轴或直线方程）找一个动点 C，使得 △ABC 是等腰三角形。解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题又好又快。
1、“两圆一线”几何法
已知线段AB，在平面内找一点C，使△ABC为等腰三角形——
（1）以A点为圆心，AB为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上任意一点都可以与点A、B组成以AB为腰的等腰三角形，如图所示：
（2）以B点为圆心，BA为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上任意一点都可以与点A、B组成以AB为腰的等腰三角形，如图所示：
（3）作AB的垂直平分线，除与AB的交点外，垂直平分线上任意一点都可以组成以AB为底的等腰三角形，如图所示：
注：述图中的五个红色点不能与A、B两点组成等腰三角形，要去电，所以此方法又被称为“两圆一线去五点法”，为了更好的观察，下面我们将上述三个图形合并成一个，如图所示：
“两圆一线去五点”法会得到无数个满足条件的点C，一般题目中都会对C点都有限制条件，使得C点的个数变为有限的，所以此类题一定要考虑全面，将所有满足题中条件的点准确找出来，不能多，也不能少。
2、两点间距离公式代数法
代数法解题步骤：
（1）列出三边长的平方；
（2）分类列方程；
（3）解方程；
（4）检验。
注：若△ABC是等腰三角形，那么可以分为①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC三种情况.
例1、如图所示，在平面直角坐标系中，已知点D的坐标为（3，4），点P是轴正半轴上的一动点，如果是等腰三角形，求点P的坐标？
【解答】、、
【解析】方法一、几何法
①当时，以D为圆心，DO为半径画圆，与轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，此时，如图1所示；
②当时，以O为圆心，OD为半径画圆，与轴的正半轴交于点，如图2所示；
③当时，画OD的垂直平分线与轴的正半轴交于点P，设垂足为点E，如图3所示，
在中，此时；
方法二：代数法
设，由题意可得，
①当时，，解得，
当时，既不满足点P在轴的正半轴 ，也不存在；
②当时，，解得，如图4所示，
当时，存在，但点P不在轴的正半轴上，故舍去；
③当时，，解得.
例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8cm，AC＝4cm，点D从点B出发，以每秒cm的速度在射线BC上匀速运动，当点D运动多少秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形？（结果可含根号）．
【解答】当点D运动8秒或秒或秒时，△ABD为等腰三角形
【解析】在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AB＝8 cm，AC＝4 cm，
，
∵点D从点B出发，以每秒cm的速度在射线BC上匀速运动，
则BD＝tcm，
以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形时，分三种情况：
①当 BD＝AD 时，如图1，过D作DE⊥AB于E，则AE＝BE＝AB＝4，
在Rt△ACB中，∵AC＝4，AB＝8，
∴∠B＝30°，
cos∠B＝cos30°＝，
，
；
②当AB＝BD时，如图2，
（2024·四川雅安·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形
在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（2023·四川绵阳·中考真题）反比例函数综合 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形
如图，过原点O的直线与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点．
(1)求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出x的取值范围；
(2)在y轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2022·湖南湘西·中考真题）二次函数 判断三角形是以某边为腰的等腰三角形
定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
(2)点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（2022·广西河池·中考真题）二次函数 判断能构成等腰三角形的点坐标
在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
(1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
(2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；
(3)若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2024·四川达州·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形
如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标；
(3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2023·青海·中考真题）二次函数 判断三角形是以某边为底的等腰三角形
如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）；
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）．
（2022·广西·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形
已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F
(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：∠BOF＝∠BDF ：
(3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长
（2022·贵州黔东南·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形
如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
1、如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，．
(1)求k的值．
(2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形 若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2、如图，抛物线与x轴只有一个交点B，对称轴是直线，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P是对称轴右侧抛物线上的一动点，且满足，求点P的坐标；
(3)在y轴右侧抛物线上是否存在点M，得以M，A，B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3、已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线的顶点坐标．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若是线段上一动点（不与点，重合），连接，过点作轴，交抛物线于点，交于点，在点的运动过程中，是否存在线段？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
4、如图1，抛物线与x轴交于两点，且点B的坐标为，与y轴交于点C，该抛物线的顶点坐标为．
(1)求抛物线和直线的解析式．
(2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为上的一个动点，连接，求面积的最大值．
5、如图1，是一张等腰三角形纸片，，小明用该等腰三角形纸片进行折纸探究活动．将过点B所在直线折叠，使得翻折至处，折痕为交于点F．
操作发现：经过若干次操作尝试，小明发现折叠后的可以与平行，如图2；
质疑探究：是否存在一种等腰三角形纸片使得与既平行又相等，小明运用所学过的数学知识通过探究发现这样的等腰三角形是存在的，如图3．
(1)请在操作发现的情形下，证明：；
(2)请在质疑探究的情形下，求的值．
6、如图，已知矩形，，，点F为中点．点P从点D出发，沿方向匀速向点A运动，点E从点C出发，沿方向匀速向点A运动，点P、E的运动速度均为1；当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动．连接、．设运动时间为，解答下列问题：
(1)当点P在的平分线上时，求t的值；
(2)设的面积为y，求y与t之间的函数关系式；
(3)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得是等腰三角形．若存在，请求出t，若不存在，请说明理由．
7、如图，在矩形中，，，动点P从点D出发沿向终点A运动同时动点Q从点A出发沿对角线向终点C运动．过点P作，交于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点Q与点E重合时，P、Q两点同时停止运动．设；
(1)当x为何值时，点Q与点E重合？
(2)当x为何值时，．
(3)当点Q与点E不重合时，求y关于x的函数关系式（不用写出x的取值范围）．
(4)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
8、如图，已知抛物线（b，c是常数）与x轴交于，两点，顶点为C，点P为线段上的动点（不与A、B重合），过P作交抛物线于点Q，交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求面积的最大值；
(3)连接，当时，求点Q的坐标；
(4)点P在运动过程中，是否存在以A、O、D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题32 等腰三角形存在性问题
模型解读 1
常见类型讲解 1
1、“两圆一线”几何法 2
2、两点间距离公式代数法 3
真题演练 6
（2024·四川雅安·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形 6
（2023·四川绵阳·中考真题）反比例函数综合 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形 8
（2022·湖南湘西·中考真题）二次函数 判断三角形是以某边为腰的等腰三角形 10
（2022·广西河池·中考真题）二次函数 判断能构成等腰三角形的点坐标 12
（2024·四川达州·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形 15
（2023·青海·中考真题）二次函数 判断三角形是以某边为底的等腰三角形 18
（2022·广西·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形 19
（2022·贵州黔东南·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形 22
巩固练习 25
在初中数学中，等腰三角形存在性模型是一种用于解决特定几何问题的模型，主要用于判断是否存在一个点，使得以该点和给定的两个定点为顶点的三角形是等腰三角形。这类问题在中考中常以压轴题的形式出现，综合性强，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高。等腰三角形存在性模型的问题描述：给定两个定点 A 和 B，在某条已知直线上（如坐标轴或直线方程）找一个动点 C，使得 △ABC 是等腰三角形。解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题又好又快。
1、“两圆一线”几何法
已知线段AB，在平面内找一点C，使△ABC为等腰三角形——
（1）以A点为圆心，AB为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上任意一点都可以与点A、B组成以AB为腰的等腰三角形，如图所示：
（2）以B点为圆心，BA为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上任意一点都可以与点A、B组成以AB为腰的等腰三角形，如图所示：
（3）作AB的垂直平分线，除与AB的交点外，垂直平分线上任意一点都可以组成以AB为底的等腰三角形，如图所示：
注：述图中的五个红色点不能与A、B两点组成等腰三角形，要去电，所以此方法又被称为“两圆一线去五点法”，为了更好的观察，下面我们将上述三个图形合并成一个，如图所示：
“两圆一线去五点”法会得到无数个满足条件的点C，一般题目中都会对C点都有限制条件，使得C点的个数变为有限的，所以此类题一定要考虑全面，将所有满足题中条件的点准确找出来，不能多，也不能少。
2、两点间距离公式代数法
代数法解题步骤：
（1）列出三边长的平方；
（2）分类列方程；
（3）解方程；
（4）检验。
注：若△ABC是等腰三角形，那么可以分为①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC三种情况.
例1、如图所示，在平面直角坐标系中，已知点D的坐标为（3，4），点P是轴正半轴上的一动点，如果是等腰三角形，求点P的坐标？
【解答】、、
【解析】方法一、几何法
①当时，以D为圆心，DO为半径画圆，与轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，此时，如图1所示；
②当时，以O为圆心，OD为半径画圆，与轴的正半轴交于点，如图2所示；
③当时，画OD的垂直平分线与轴的正半轴交于点P，设垂足为点E，如图3所示，
在中，此时；
方法二：代数法
设，由题意可得，
①当时，，解得，
当时，既不满足点P在轴的正半轴 ，也不存在；
②当时，，解得，如图4所示，
当时，存在，但点P不在轴的正半轴上，故舍去；
③当时，，解得.
例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8cm，AC＝4cm，点D从点B出发，以每秒cm的速度在射线BC上匀速运动，当点D运动多少秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形？（结果可含根号）．
【解答】当点D运动8秒或秒或秒时，△ABD为等腰三角形
【解析】在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AB＝8 cm，AC＝4 cm，
，
∵点D从点B出发，以每秒cm的速度在射线BC上匀速运动，
则BD＝tcm，
以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形时，分三种情况：
①当 BD＝AD 时，如图1，过D作DE⊥AB于E，则AE＝BE＝AB＝4，
在Rt△ACB中，∵AC＝4，AB＝8，
∴∠B＝30°，
cos∠B＝cos30°＝，
，
；
②当AB＝BD时，如图2，
（2024·四川雅安·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形
在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点或或或或
【详解】（1）解：由题意得：，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，
由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∵，故有最大值，
此时，则，
即点；
（3）解：存在，理由：
设直线的表达式为，
由点的坐标得，，解得：，
∴直线的表达式为：，
令，，故，
过点作轴交轴于点，则，
，
则，
即直线和关于直线对称，故，
设直线的表达式为，
代入，，得，
解得：，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：(舍去)或5，
即点；
设点，由的坐标得，，
当时，则，
解得：，即点或；
当或时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或或；
综上，点或或或或．
（2023·四川绵阳·中考真题）反比例函数综合 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形
如图，过原点O的直线与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点．
(1)求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出x的取值范围；
(2)在y轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，或
(2)点M的坐标为或或或
【详解】（1）解：由题知，将A点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数的解析式为．
由函数图象可知，在直线和之间的部分及直线右侧的部分，
反比例函数的图象在一次函数的图象的上方，即．
所以x的取值范围是：或．
（2）将代入反比例函数解析式得，
所以点C的坐标为．
则．
如图：
当时， ，
所以点坐标为(或．
当时，点在的垂直平分线上，
又因为点C坐标为，
所以点坐标为．
当时，点M在OC的垂直平分线上，
过点作轴于点，
令，则，，
在N中，
即，
解得．
所以点M的坐标为．
综上所述：点M的坐标为或或或．
（2022·湖南湘西·中考真题）二次函数 判断三角形是以某边为腰的等腰三角形
定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
(2)点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝x2+x﹣1，G（0，﹣3）
(2)
(3)存在，（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）
【详解】（1）解：将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，
∴，
解得，
∴y＝x2+x﹣1，
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴G（0，﹣3）．
（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，），N（t，0），
∴NM＝﹣t2﹣2t+3，，
∴＝．
（3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：
由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，
∴E（﹣2，﹣1），
设F（x，0），
①当EG＝EF时，
∵G（0，﹣3），
∴EG＝2，
∴2＝，
解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，
∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；
②当EG＝FG时，2＝，
此时x无解；
综上所述：F点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．
（2022·广西河池·中考真题）二次函数 判断能构成等腰三角形的点坐标
在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
(1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
(2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；
(3)若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，抛物线顶点
(2)时，△BFE与△DEC的面积之和最小
(3)
【详解】（1）解：∵y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3），
，
∴，
抛物线的解析式为；
由
抛物线顶点；
（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥ BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．
，
，
，
，
，
，
轴， 轴，
，
，
，
，
与 的面积之和
，
S有最小值，最小值为，此时，
时，△BFE与△DEC的面积之和有最小值．
（3）存在，如图2，
，，的对称轴为直线，
将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．
抛物线的对称轴为直线，
设 ，
当 时，
，
，
，
当 时，
，
解得， ，
，
当 时，
，
解得， ，
综上所述，满足条件的的坐标为 ．
（2024·四川达州·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形
如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标；
(3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或；
(3)或或或
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）由，当时，，则
∵，则，对称轴为直线
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
当时，，则
∴
∴
∴是等腰三角形，
∴
连接，设交轴于点，则
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又
∴
∴
∴点与点重合时符合题意，
如图所示，过点作交抛物线于点，
设直线的解析式为，将代入得，
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：，
∴
综上所述，或；
（3）解：∵，，
∴
∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中
∴，
①当时，，解得：或
②当时，，解得：
③当时，，解得：或（舍去）
综上所述，或或或．
（2023·青海·中考真题）二次函数 判断三角形是以某边为底的等腰三角形
如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）；
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，
【详解】（1）解：由题意得，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，，
由得，，
∴，
∴；
（3）解：设，，
∵，
∴，
由得，
∴，
∴．
（2022·广西·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形
已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F
(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：∠BOF＝∠BDF ：
(3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长
【答案】(1)
(2)见解析
(3)存在，或
【详解】（1）设抛物线的表达式为，
将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，
得，解得，
抛物线的表达式为；
（2）四边形OBDC是正方形，
，
，
，
；
（3）存在，理由如下：
当点M在线段BD的延长线上时，此时，
，
设，
设直线OM的解析式为，
，
解得，
直线OM的解析式为，
设直线BC的解析式为，
把B（0、3）、 C（3，0）代入，得，
解得，
直线BC的解析式为，
令，解得，则，
，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
解得或或，
点M为射线BD上一动点，
，
，
，
当时，解得或，
，
．
当点M在线段BD上时，此时，，
，
，
，
由（2）得，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上，ME的长为或．
（2022·贵州黔东南·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形
如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形
(3)存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，解得：a=-1，
∵抛物线过点，
∴，解得：c=3，
∴抛物线解析式为；
（2）解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下：
令y=0，则，
解得：，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴OA=1，
当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），即OC=3，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点N（m，-m+3），
∴MN=-m+3，AM=m+1，
∴，，
当AC=AN时，，
解得：m=2或0（舍去），
∴此时点N（2，1）；
当AC=CN时，，
解得：或（舍去），
∴此时点N；
当AN=CN时，，
解得：，
∴此时点N；
综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）解：存在，理由如下：
∵点B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC，
∴BC，
设点E（1，n），点F（s，t），
当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图，
∴或，
解得：或，
∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）；
当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图，
，解得：或，
∴此时点F的坐标为或；
综上所述，存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或．
1、如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，．
(1)求k的值．
(2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形 若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)10
(2)存在，或或或或
【详解】（1）对于，当时，．
∴，
∴，
设点B的横坐标为t，则
∵，
∴，
解得．
∴，
把代入中，得
∴．
（2）由（1）得，则反比例函数解析式为，
联立，解得或，
∴，．
设，则
，，．
①若，即，
∴，
解得．
此时点E的坐标为．·
②若，即，
∴，
解得，
此时点E的坐标为或，
③若，即，
∴，
解得，
此时点E的坐标为或，
综上所述，x轴上存在一点或或或或，使为等腰三角形．
2、如图，抛物线与x轴只有一个交点B，对称轴是直线，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P是对称轴右侧抛物线上的一动点，且满足，求点P的坐标；
(3)在y轴右侧抛物线上是否存在点M，得以M，A，B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴只有一个交点，对称轴是直线，
∴顶点为，
∵抛物线与y轴交点为，
解得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图1，
连接，设，
．
∴，
解得（舍去），，
．
（3）解：存在．
设在y轴右侧抛物线上存在点M使得以M，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，如图2，
当为腰且为等腰三角形顶点时，A，M关于直线对称，
;
当为底时，M是的垂直平分线和抛物线的交点，
，
，
是等腰直角三角形，
的垂直平分线是的平分线，
的垂直平分线是，
联立解得
，
综上所述，在y轴右侧抛物线上存在点M使得以M，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为或或
3、已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线的顶点坐标．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若是线段上一动点（不与点，重合），连接，过点作轴，交抛物线于点，交于点，在点的运动过程中，是否存在线段？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)顶点坐标为
(2)存在，点P的坐标为或或或
(3)能，点M的横坐标为
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，
∴设抛物线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴，
∴顶点坐标为；
（2）解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线，则．
设，则，，，
由题意知，当是等腰三角形，分①，②，③，三种情况求解；
①当时，则，
解得，，
∴点P的坐标为或；
②当，则，
解得，，
∴点P的坐标为；
③当时，则，
解得，或（舍去），
∴点P的坐标为．
综上所述，存在，点P的坐标为或或或．
（3）解：如图，作于，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为；
设，则，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，或（舍去），
∴存在，点M的横坐标为．
4、如图1，抛物线与x轴交于两点，且点B的坐标为，与y轴交于点C，该抛物线的顶点坐标为．
(1)求抛物线和直线的解析式．
(2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为上的一个动点，连接，求面积的最大值．
【答案】(1)抛物线的解析式为；直线的解析式为
(2)存在点M，坐标为，
(3)
【详解】（1）解∶抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为．
将代入，
解得，
抛物线的解析式为．
令，
解得
当，得，
．
设直线的解析式为，
将代入，
得，
直线的解析式为．
（2）存在点M，使得是以为底边的等腰三角形．
是以为底边的等腰三角形．
，
，
，
连接交于点D如图：
，
是中垂线，
是中点，
，
设直线为，
将代入可得
直线为，
联立，
解得或，
∴点M的坐标为，．
（3）如图2，过点B作，交的延长线于点H，此时点P的位置使得的面积最大．
，
．
．
，
．
，
．
．
5、如图1，是一张等腰三角形纸片，，小明用该等腰三角形纸片进行折纸探究活动．将过点B所在直线折叠，使得翻折至处，折痕为交于点F．
操作发现：经过若干次操作尝试，小明发现折叠后的可以与平行，如图2；
质疑探究：是否存在一种等腰三角形纸片使得与既平行又相等，小明运用所学过的数学知识通过探究发现这样的等腰三角形是存在的，如图3．
(1)请在操作发现的情形下，证明：；
(2)请在质疑探究的情形下，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：由折叠可知：，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
（2）解：过点A作，垂足为H，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
设，，则，
由（1）得：，
解得：（舍去），，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
6、如图，已知矩形，，，点F为中点．点P从点D出发，沿方向匀速向点A运动，点E从点C出发，沿方向匀速向点A运动，点P、E的运动速度均为1；当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动．连接、．设运动时间为，解答下列问题：
(1)当点P在的平分线上时，求t的值；
(2)设的面积为y，求y与t之间的函数关系式；
(3)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得是等腰三角形．若存在，请求出t，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当点P在的平分线上时，t的值为5；
(2)；
(3)存在，t的值是5或6或7.2．
【详解】（1）（1）如图1，过点P作于点Q，
由题意得：，
在矩形中，，
，
平分，，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
解得：，
当点P在的平分线上时，t的值为5；
（2）（2）如图2，过点P作于G，过点E作于H，
由题意得：，
，即，
，
同理得：，
，
即；
（3）（3）存在，分三种情况：
①如图3当E与O重合时，此时；
②如图4，CE＝CD＝6时，此时；
③如图5，DE＝CD＝6，过点D作，
，即，
，
，
，
综上，t的值是5或6或7.2．
7、如图，在矩形中，，，动点P从点D出发沿向终点A运动同时动点Q从点A出发沿对角线向终点C运动．过点P作，交于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点Q与点E重合时，P、Q两点同时停止运动．设；
(1)当x为何值时，点Q与点E重合？
(2)当x为何值时，．
(3)当点Q与点E不重合时，求y关于x的函数关系式（不用写出x的取值范围）．
(4)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)0或
(3)
(4)存在，或或
【详解】（1）解：在矩形中，∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴=，
∴，
当点Q与点E重合时， ，
解得．
（2）解∶ ∵，
∴，
∴，即，
∴，
当时，∵，，
∴，
∴，
∴，
解得或0，
∴或时，．
（3）解∶ 如图，作于H．
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
即；
（4）解∶ 存在．
Q在线段上时： ，
（i）当时，，
解得： ；
（ii）当时，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，；
（iii）当时，过P作于H（如图），
可得： ，
∵，
∴，
∴，
∵，
解得x=；
综上，当或或时，为等腰三角形．
8、如图，已知抛物线（b，c是常数）与x轴交于，两点，顶点为C，点P为线段上的动点（不与A、B重合），过P作交抛物线于点Q，交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求面积的最大值；
(3)连接，当时，求点Q的坐标；
(4)点P在运动过程中，是否存在以A、O、D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)2
(3)
(4)存在，
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的表达式为；
（2）解：∵，
∴顶点，
∵，，
∴．
过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，如图，
则，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，
，
，
，
，
∵，
∴当时，面积的最大值为2；
（3）解：过点C作平行于轴的直线，过点B作于点H，过点Q作于M，如图：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，解得：，
∴，
∴；
（4）解：点P在运动过程中，存在以A、O、D为顶点的三角形是等腰三角形，理由：
过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，如图，
，，
①当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∵轴，
∴，
∴D的横坐标为．
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
当时，，
∴，
由（3）知：直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴；
③当时，则，
由题意：垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴D的横坐标为．
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴．
∴直线的解析式为，
令，则，
∴ ，
∴．
综上，点P在运动过程中，存在以A、O、D为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为．
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