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【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题33 直角三角形存在性问题
模型解读 1
常见类型讲解 1
1、“两线一圆”几何法 1
2、两点间距离公式代数法 3
真题演练 5
（2023·四川眉山·中考真题）反比例函数综合 是否存在某点，使得三角形为直角三角形 6
（2023·山东烟台·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为直角三角形 6
（2023·四川内江·中考真题）二次函数 判断三角形是以某边为直角边的直角三角形 7
（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为直角三角形 7
（2022·贵州安顺·中考真题）几何综合 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形 8
（2022·内蒙古赤峰·中考真题）几何综合 是否存在某点，使得三角形为直角三角形 9
（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一次函数 是否存在某点，使得三角形为直角三角形 10
巩固练习 10
直角三角形存在性问题是中考常见题型，侧重对分类讨论思想的考查，对考生解题能力要求较高。考生既需要具备较强的创造性思维，又必须具备很强的计算能力。而不会分类，不会转化，不会变通，不懂发散，不会计算，常常会让考生在解答直角三角形存在性问题时陷入僵局。本专题讨论的中考题就是这种题型。
1、“两线一圆”几何法
已知线段AB，在平面内找一点C，使△ABC为等腰三角形——
（1）过点A作线段AB的垂线，除点A外，垂线上任意一点都可以与A、B两点组成直角三角形；
（2）过点B作线段AB的垂线，除点B外，垂线上任意一点都可以与A、B两点组成直角三角形；
（3）以线段AB为直径作圆，除AB的中点（圆心）外，圆上任意一点都可以与A、B两点组成直角三角形.
同样的，我们将上述情况放到同一个图形中，如下图所示：（AB所在直线上的点要去掉，即为图中红色的点）
“两线一圆”法会得到无数个满足条件的点C，一般题目中也会对C点有限制条件，使得C点的个数变为有限的，所以此类题一定要考虑全面，将所有满足题中条件的点准确找出来，不能多，也不能少。
2、两点间距离公式代数法
代数法解题步骤：（以上述题目为例）
（1）表示出A、B、C的坐标；
（2）表示出线段AB、AC、BC的长；
（3）分类列方程：①，②，③；
（3）解方程；
（4）检验。
例1：如图所示，在中，，，D、E为线段BC上的两个动点，且（E在D的右边），运动初始时D与B重合，当E与C重合时运动停止，过点E作交AB于F，连接DF，设，如果为直角三角形，求的值.
【解答】或
【解析】在中，是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况，如果把夹的两条边用含有的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了.
如图1，作，垂足为H，那么H为BC的中点，
在中，，
由得，即，解得，
①如图2，当时，由，得，
，解得；
②如图3，当时，，得，
，解得.
例2：如图，已知直线经过点，与轴相交于点B，若点Q是轴上一点，且为直角三角形，求点Q的坐标.
【解答】，，，
【解析】将代入中，解得，
①如图1，过点A作AB的垂线交轴于，
由AB的解析式可得的解析式为，即；
②如图2，过点B作AB的垂线交轴于，
由AB的解析式可得的解析式为，即；
③如图3，以AB为直径画圆与轴分别交于，作轴，垂足为点E，则，
，即，解得或3，，
综上，，，，.
（2023·四川眉山·中考真题）反比例函数综合 是否存在某点，使得三角形为直角三角形
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．
(1)求反比例函数的表达式：
(2)当时，直接写出x的取值范围；
(3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2023·山东烟台·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为直角三角形
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求直线及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形 若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
（2023·四川内江·中考真题）二次函数 判断三角形是以某边为直角边的直角三角形
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为直角三角形
如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)如图1，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点的横坐标．
（2022·贵州安顺·中考真题）几何综合 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形
如图1，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点．
(1)求线段的长；
(2)求证四边形为菱形；
(3)如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
（2022·内蒙古赤峰·中考真题）几何综合 是否存在某点，使得三角形为直角三角形
同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
(1)【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________；
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一次函数 是否存在某点，使得三角形为直角三角形
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题：
(1)求点D的坐标；
(2)若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值；
(3)在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由．
1、如图，一次函数与反比例函数交于、两点，延长交反比例函图象于点，连接．
(1)求一次函数与反比例函数表达式．
(2)求的面积．
(3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
2、在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P．
(1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式；
(2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式；
(3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．
3、如图，抛物线过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知该抛物线与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．
①若点P是该抛物线位于第一象限部分上的一动点，过点P作x轴的垂线交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；
②若点M是抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请在备用图上画出符合条件的图形，并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4、如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当轴时，求的面积；
(3)当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时时，求出m的取值范围并写出这个定值；
(4)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使是以为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于两点（点A在点的左边），与轴交于点，点A的坐标为，抛物线顶点的坐标为，直线与对称轴相交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为直线右方抛物线上的一点（点不与点重合），设点的横坐标为，记四点所构成的四边形面积为S，若，请求出的值；
(3)点是线段上的动点，将沿边翻折得到，是否存在点，使得与的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请直接写出的长，若不存在，请说明理由．
6、如图1，在矩形中，，，点O在边上，以O为圆心为半径作，与射线的另一个交点为E，直线与射线交于点F．
(1)设，，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
(2)如图2，连接，当时，请求出的半径；
(3)如果射线与的另一个交点为Q，连接，问是否存在为直角三角形，若存在，请直接写出的面积；若不存在，请说明理由．
7、在人教版八年级下册教材“实验与探究——丰富多彩的正方形”中，我们研究正方形的性质时用到了图①、图②两个图形，图②为大小不等的两个正方形如图排列，整个图形被切割为5部分，受这两个图形的启发，三个数学兴趣小组分别提出了以下问题，请你回答：
【问题一】“启智”小组提出问题：如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为；
【问题二】受图①启发，“善思”小组继续探究，画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与交于点，且，若正方形边长为10，求四边形的面积；
【问题三】受图②启发，“智慧”小组继续探究，画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出的长度；若不存在，说明理由．
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【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题33 直角三角形存在性问题
模型解读 1
常见类型讲解 1
1、“两线一圆”几何法 1
2、两点间距离公式代数法 3
真题演练 5
（2023·四川眉山·中考真题）反比例函数综合 是否存在某点，使得三角形为直角三角形 6
（2023·山东烟台·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为直角三角形 8
（2023·四川内江·中考真题）二次函数 判断三角形是以某边为直角边的直角三角形 11
（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为直角三角形 14
（2022·贵州安顺·中考真题）几何综合 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形 17
（2022·内蒙古赤峰·中考真题）几何综合 是否存在某点，使得三角形为直角三角形 19
（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一次函数 是否存在某点，使得三角形为直角三角形 23
巩固练习 26
直角三角形存在性问题是中考常见题型，侧重对分类讨论思想的考查，对考生解题能力要求较高。考生既需要具备较强的创造性思维，又必须具备很强的计算能力。而不会分类，不会转化，不会变通，不懂发散，不会计算，常常会让考生在解答直角三角形存在性问题时陷入僵局。本专题讨论的中考题就是这种题型。
1、“两线一圆”几何法
已知线段AB，在平面内找一点C，使△ABC为等腰三角形——
（1）过点A作线段AB的垂线，除点A外，垂线上任意一点都可以与A、B两点组成直角三角形；
（2）过点B作线段AB的垂线，除点B外，垂线上任意一点都可以与A、B两点组成直角三角形；
（3）以线段AB为直径作圆，除AB的中点（圆心）外，圆上任意一点都可以与A、B两点组成直角三角形.
同样的，我们将上述情况放到同一个图形中，如下图所示：（AB所在直线上的点要去掉，即为图中红色的点）
“两线一圆”法会得到无数个满足条件的点C，一般题目中也会对C点有限制条件，使得C点的个数变为有限的，所以此类题一定要考虑全面，将所有满足题中条件的点准确找出来，不能多，也不能少。
2、两点间距离公式代数法
代数法解题步骤：（以上述题目为例）
（1）表示出A、B、C的坐标；
（2）表示出线段AB、AC、BC的长；
（3）分类列方程：①，②，③；
（3）解方程；
（4）检验。
例1：如图所示，在中，，，D、E为线段BC上的两个动点，且（E在D的右边），运动初始时D与B重合，当E与C重合时运动停止，过点E作交AB于F，连接DF，设，如果为直角三角形，求的值.
【解答】或
【解析】在中，是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况，如果把夹的两条边用含有的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了.
如图1，作，垂足为H，那么H为BC的中点，
在中，，
由得，即，解得，
①如图2，当时，由，得，
，解得；
②如图3，当时，，得，
，解得.
例2：如图，已知直线经过点，与轴相交于点B，若点Q是轴上一点，且为直角三角形，求点Q的坐标.
【解答】，，，
【解析】将代入中，解得，
①如图1，过点A作AB的垂线交轴于，
由AB的解析式可得的解析式为，即；
②如图2，过点B作AB的垂线交轴于，
由AB的解析式可得的解析式为，即；
③如图3，以AB为直径画圆与轴分别交于，作轴，垂足为点E，则，
，即，解得或3，，
综上，，，，.
（2023·四川眉山·中考真题）反比例函数综合 是否存在某点，使得三角形为直角三角形
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．
(1)求反比例函数的表达式：
(2)当时，直接写出x的取值范围；
(3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【详解】（1）解：把，代入中得：，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴反比例函数的表达式；
（2）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为，
∴由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当时，或；
（3）解：如图所示，设直线交y轴于点，
∵，，
∴，，，
∵是以点A为直角顶点的直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点P的坐标为或．
（2023·山东烟台·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为直角三角形
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求直线及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形 若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
【答案】(1)直线的解析式为；抛物线解析式为
(2)存在，点M的坐标为或 或
(3)
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，，
∴，
将代入直线，得，
解得，
∴直线的解析式为；
将代入，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在点，
∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点．
∴当时，，
∴，
①当时，
设直线的解析式为，将点A坐标代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，
得或，
∴点M的坐标为；
②当时，
设直线的解析式为，将代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点M的坐标为 或
综上，点M的坐标为或 或；
（3）如图，在上取点，使，连接，
∵，
∴，
∵，、
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，
∵，
∴，
∴的最小值为．
（2023·四川内江·中考真题）二次函数 判断三角形是以某边为直角边的直角三角形
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，的最大值为，
(3)或
【详解】（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为；
设（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为，
，
．
故的最大值为，．
（3）解：存在，
如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，
∵抛物线的对称轴为直线，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
；
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线解析式为，
，且经过，
直线解析式为，
当时，，
；
综上所述：存在，的坐标为或．
（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为直角三角形
如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)如图1，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点的横坐标．
【答案】(1)；A（-1，0）；
(2)存在E（0，2）或（0，-1），使得是以为斜边的直角三角形；
(3)2或
【详解】（1）解：把点和点代入，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
令y=0，则，
解得：，
∴点A（-1，0）；
（2）解：存在，理由如下：
∵点A（-1，0），点，点是线段的中点，
∴点，
设点E（0，m），
∴，
，
，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
整理得：，
解得：或-1，
∴点E的坐标为（0，2）或（0，-1）；
（3）解：∵点B（4，0），C（0，2），
∴OB=4，OC=2，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（4，0），C（0，2）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点，则，CF=a，
∴，
若∠PCM=2∠OBC，过点C作CFx轴交PM于点F，如图甲所示，
∴∠FCM=∠OBC，即，
∴∠PCF=∠FCM，
∵轴，
∴CF⊥PQ，
∴PM=2FM，
∴，
∴，解得：解得：a=2或0（舍去），
∴点P的横坐标为2；
若∠PMC=2∠OBC，
∵∠PMC=∠BMN，
∴∠BMN=2∠OBC，
∵∠OBC+∠BMN=90°，
∴∠OBC=30°，与相矛盾，不合题意，舍去；
若∠CPM=2∠OBC，如图乙所示，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC，
∵∠PMG=∠BMN，
∴△PMG∽△BMN，
∴∠PGM=∠BNM=90°，
∴∠PGC=90°，
∵PG平分∠CPM，即∠MPG=∠CPG，
∴∠PCM=∠PMC，
∴PC=PM，
∴，
解得：或0（舍去），
∴点P的横坐标为；
综上所述，点P的横坐标为2或．
图甲 图乙
（2022·贵州安顺·中考真题）几何综合 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形
如图1，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点．
(1)求线段的长；
(2)求证四边形为菱形；
(3)如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)存在，或
【详解】（1）解：如图
四边形是矩形，，，
，，
将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，
，
在中，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
；
（2），
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
中，，
，
，
四边形为菱形；
（3），设，是直角三角形
设
由（2）可得
①当时，如图，
，,
解得；
②当时，
同理可得
综上所述，或
（2022·内蒙古赤峰·中考真题）几何综合 是否存在某点，使得三角形为直角三角形
同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
(1)【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________；
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)16
(3)BP的长度为2或3或6或7．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠
∵是对角线，
∴∠，
∴∠，
∵四边形是正方形，
∴∠，
∴∠
又∠
∴，
∴
∴
故答案为:
（2）过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，如图，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴
又∠A=90°
∴四边形ATOM是正方形，
∴
同（1）可证△
∴
（3）解：在直线BE上存在点P，使△APF为直角三角形，
①当∠AFP=90°时，如图④，延长EF，AD相交于点Q，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴EQ=AB=6，∠BAD=∠B=∠E=90°，
∴四边形ABEQ是矩形，
∴AQ=BE=BC+CE=8，EQ=AB=6，∠Q=90°=∠E，
∴∠EFP+∠EPF=90，
∵∠AFP=90°，
∴∠EFP+∠AFQ=90°，
∴△EFP∽△QAF，
∴，
∵QF=EQ-EF=4，
∴，
∴EP=1，
∴BP=BE-EP=7；
②当∠APF=90°时，如图⑤，
同①的方法得，△ABP∽△PEF，
∴，
∵PE=BE-BP=8-BP，
∴，
∴BP=2或BP=6；
③当∠PAF=90°时，如图⑥，
过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N，
同①的方法得，四边形ABPM是矩形，
∴PM=AB=6，AM=BP，∠M=90°，
同①的方法得，四边形ABEN是矩形，
∴AN=BE=8，EN=AB=6，
∴FN=EN-EF=4，
同①的方法得，△AMP∽△FNA，
∴，
∴，
∴AM=3，
∴BP=3，
即BP的长度为2或3或6或7．
（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一次函数 是否存在某点，使得三角形为直角三角形
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，线段的长是一元二次方程的一个根．请解答下列问题：
(1)求点D的坐标；
(2)若线段的垂直平分线交直线于点E，交x轴于点F，交于点G，点E在第一象限，，连接，求的值；
(3)在（2）的条件下，点M在直线上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，12个，
【详解】（1）解：解方程得，，
∴，即点A的坐标为，
把代入得，
∴，点D的坐标为；
（2）解：过点E作于点H，
∵，
∴，，
∴，
又∵是平行四边形，
∴，，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，当时，有个，
解：∵，
∴，
由（2）得，，
∴，
∴点N得坐标为；
当时，有个，如图，
当时，有个，如图，
∵，
∴，
∴，
∴点与O重合，
故点得坐标为，
综上所述，点的个数为个，和点N的坐标为或．
1、如图，一次函数与反比例函数交于、两点，延长交反比例函图象于点，连接．
(1)求一次函数与反比例函数表达式．
(2)求的面积．
(3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
(2)
(3)存在，，或，或或．
【详解】（1）将代入的得，
反比例函数的解析式为，
将代入得，
，
将，代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）过作轴于点，过作轴于点
，，，，
的面积四边形的面积的面积，梯形的面积四边形的面积的面积，
的面积梯形的面积；
（3）延长交反比例函图象于点，
点与点关于原点对称，
，
设，
，，，
①当时，，
，
解得，
，或，；
②当时，，
，
解得，
；
③当时，，
，
解得，
，
综上所述，，或，或或．
2、在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P．
(1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式；
(2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式；
(3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)抛物线的函数关系式为：或．
【详解】（1）解：在抛物线：中，令，则，
解得：或，
即点，点，
根据题意，设抛物线的函数关系式为：，
将点代入得：，
解得：，
抛物线的函数关系式为：；
（2）解：连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小．
令，则，
∴，
设直线的解析式为，将点代入得，，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，
将点代入得：，
解得：，
抛物线的函数关系式为：；
（3）解：假设存在，设点的坐标为，
∵，，
∴，，，
当点在轴上方时，
由题意得，即，
解得，
即点的坐标为，
将点代入得：，
解得：，
抛物线的函数关系式为：；
当点在轴下方时，
由题意得，即，
解得，
即点的坐标为，
将点代入得：，
解得：，
抛物线的函数关系式为：；
综上，抛物线的函数关系式为：或．
3、如图，抛物线过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知该抛物线与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．
①若点P是该抛物线位于第一象限部分上的一动点，过点P作x轴的垂线交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；
②若点M是抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请在备用图上画出符合条件的图形，并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①最大值为，点P坐标为；
②点M的坐标为或或或
【详解】（1）解：∵抛物线过点和，
，解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：当时，，点C的坐标为；
当时，，解得或，
∵点A位于点B的左侧，点A的坐标为，点B的坐标为．
①设点P的横坐标为，则点P的纵坐标为，
设直线的函数表达式为，
根据题意得，解得，
直线的函数表达式为，点Q的纵坐标为，，
，此抛物线的开口向下，
，当时，有最大值，此时点P的坐标为；
②存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形．
抛物线的对称轴为直线，设点M的坐标为．
分两种情况：i）以为直角边，如图，则或，
或，解得或，
点的坐标为，点的坐标为；
ii）以为斜边，如图，则，，整理得，解得，点的坐标为，点的坐标为，
综上，点M的坐标为或或或．
4、如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当轴时，求的面积；
(3)当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时时，求出m的取值范围并写出这个定值；
(4)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使是以为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的面积为1；
(3)当的取值范围为，定值为4；
(4)或.
【详解】（1）解：把点、代入得：
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，，
点为，
当轴时，点与点关于对称轴对称，
点，
，点到的距离为1，
，
的面积为1；
（3）设抛物线与轴的另一交点为点，如图所示，
点与点关于直线对称，
点为
当点在点和点之间时，点与点之间（包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值4，
此时的取值范围为：；
（4）如图，∵，
∴对称轴为直线，
设，而、，
∴，，，
∵为斜边，
∴，
解得：或，
∴或.
5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于两点（点A在点的左边），与轴交于点，点A的坐标为，抛物线顶点的坐标为，直线与对称轴相交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为直线右方抛物线上的一点（点不与点重合），设点的横坐标为，记四点所构成的四边形面积为S，若，请求出的值；
(3)点是线段上的动点，将沿边翻折得到，是否存在点，使得与的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请直接写出的长，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或2
(3)存在，或+1或
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点的坐标为，
∴，即，
∴抛物线的解析式为，
将点A和点D坐标代入得：
，
解得：，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，
解得：或3，
∴，
令，则，
∴，设的表达式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，
当时，，则，
，
当点M在轴上方时，即，如图1，
，
，
，
解得，（舍去）；
当点M在轴下方时，即，如图2，连接，
，
，
，
解得（舍去），；
综上所述，m的值为：或2；
（3）解：存在．设直线交轴于，；
①如图3，于P，沿边翻折得到，
，，
，
，即，
解得：，
；
②如图4，于，
，，
，
，即，
解得：，，
在中，设，，，
，
解得，
；
③如图5，于，作于，由①得，，
，
，
沿边翻折得到，
，
，
，
，
，即，
，
综上所述，当为或+1或时，将沿边翻折得到，使得与的重叠部分图形为直角三角形．
6、如图1，在矩形中，，，点O在边上，以O为圆心为半径作，与射线的另一个交点为E，直线与射线交于点F．
(1)设，，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
(2)如图2，连接，当时，请求出的半径；
(3)如果射线与的另一个交点为Q，连接，问是否存在为直角三角形，若存在，请直接写出的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)的面积为或
【详解】（1）解：过点O作于点M，如图所示：
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴由勾股定理，，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
当直线恰好经过A点时，，
∴，
解得：，
∴．
（2）解：过点E作于点H，如图所示：
则，
，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：或（舍去），
即此时的半径为．
（3）解：①若时，过点O作于点M，于点N，如图所示：
∵，点Q在上，
∴此时与相切，
∴E、Q重合，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：，
∵，
∴此时不符合题意；
②时，此时E与D重合，如图所示：
根据勾股定理得：，
解得：，
则，
∵，
∴，
∴；
③时，过点E作，交延长线于点F，
则，
，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
代入数据，，
解得，
∴．
综上，的面积为或．
7、在人教版八年级下册教材“实验与探究——丰富多彩的正方形”中，我们研究正方形的性质时用到了图①、图②两个图形，图②为大小不等的两个正方形如图排列，整个图形被切割为5部分，受这两个图形的启发，三个数学兴趣小组分别提出了以下问题，请你回答：
【问题一】“启智”小组提出问题：如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为；
【问题二】受图①启发，“善思”小组继续探究，画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与交于点，且，若正方形边长为10，求四边形的面积；
【问题三】受图②启发，“智慧”小组继续探究，画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出的长度；若不存在，说明理由．
【答案】问题一：；问题二：25；问题三：的长度为4或6或12或14
【详解】解：问题一：∵正方形的对角线相交于点O，
∴，，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：；
问题二：如图③，
连接，
∵点O是正方形的中心，
∴，
∵点O是正方形的中心，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
问题三：在直线上存在点P，使为直角三角形，
①当时，如图④，延长相交于点Q，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图⑤，
同①的方法得，，
∴，
∵，
∴，
∴或；
③当时，如图⑥，
过点P作的平行线交的延长线于M，延长相交于N，
同①的方法得，四边形是矩形，
∴，，，
同①的方法得，四边形是矩形，
∴，，
∴，
同①的方法得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的长度为4或6或12或14．
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