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【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题34 平行四边形存在性问题
模型解读 1
常见类型讲解 1
一、关于平行四边形的基础知识 1
二、平行四边形存在性问题的解题策略 2
三、平行四边形存在性问题的考法 3
真题演练 5
（2024·宁夏·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类” 5
（2023·山东枣庄·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类” 6
（2023·山东淄博·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类” 7
（2023·广东广州·中考真题）反比例函数与二次函数综合 平行四边形存在问题 7
（2022·四川眉山·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类” 8
（2022·辽宁阜新·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类” 8
巩固练习 9
在数学中，二次函数和平行四边形是两个看似不相关但实则紧密相连的概念。当我们将一次函数的图像与平行四边形的性质结合起来探讨时，会发现一系列有趣且富有挑战性的存在性问题。这些问题不仅考验着我们对二次函数和平行四边形基本性质的理解，还要求我们运用逻辑推理、几何变换和代数运算等多种数学工具进行求解。本文将围绕“二次函数与平行四边形存在性问题”这一主题，从多个方面进行深入探讨。
一、关于平行四边形的基础知识
1、什么是平行四边形？
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
2、平行四边形具有哪些性质？
边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
注：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
3、平行四边形的判定方法
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
二、平行四边形存在性问题的解题策略
1、由平行四边形的对边平行且相等，我们可以将点A、D看成是由B、C两点移动得到的，且移动的路径完全相同，如图所示：
所以可以得到；
2、由平行四边形的对角线互相平分我们可以得到AC的中点与BD的中点是重合的，如图所示：
点O就是AC的中点，也是BD的中点，所以.
上述两种情况所得到的方程进行变形，会发现所得到的方程是一样的，过程如下：
于是，我们又可以得到，当AC、BD为平行四边形ABCD的对角线时，则有（对应横、纵坐标相加）.
上述结论反过来，若，能否证明四边形ABCD就是平行四边形呢？答案是不一定，如下图所示：
点O是CD的中点，也是AB的中点，但是ABCD很显然不是平行四边形，这种反例要多加注意。
三、平行四边形存在性问题的考法
1、三定一动类（三个定点，一个动点）
例：如图，已知A（1，2）、B（5，3）、C（3，5），试在平面内找一点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形.
2、两定两动（两个定点，两个动点）
例：已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求C、D坐标．
（2024·宁夏·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类”
抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值；
(3)如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2023·山东枣庄·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类”
如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（2023·山东淄博·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类”
如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2023·广东广州·中考真题）反比例函数与二次函数综合 平行四边形存在问题
已知点在函数的图象上．
(1)若，求n的值；
(2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设的外接圆圆心为C，与y轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（2022·四川眉山·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类”
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．
(1)求点的坐标；
(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2022·辽宁阜新·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类”
如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
(3)已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
1、抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，P是第四象限内抛物线上的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，过点P作轴于点D，交直线于点E．设点D的横坐标为m，当时，求m的值；
(3)如图②，点，连接并延长交直线于点M，N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
2、如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与y轴交于点，是抛物线上的一个动点．
(1)求该二次函数的解析式．
(2)若点M在直线的下方，则当点M运动到什么位置时，的面积最大？并求出的面积的最大值．
(3)若N是x轴上的一动点，是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
4、如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知、，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为线段上的一动点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求四边形的最大面积；
(3)在（2）的条件下，当四边形的面积最大时，点是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5、如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若抛物线的顶点为P，求的面积；
(3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6、如图，已知抛物线的对称轴为直线，顶点为，直线与抛物线交于A、B两点，其中点的坐标为，点在轴上．
(1)求m的值和该抛物线的解析式；
(2)若点为线段AB上的一个动点（点P不与A、B两点重合），过点P作x轴的垂线，与这条抛物线交于点E，设线段的长为h，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)若点为直线上的一个动点，直线与这条抛物线的对称轴的交点为D，轴交抛物线于点E，是否存在点P，使以点D、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请写出理由．
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【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题34 平行四边形存在性问题
模型解读 1
常见类型讲解 1
一、关于平行四边形的基础知识 1
二、平行四边形存在性问题的解题策略 2
三、平行四边形存在性问题的考法 3
真题演练 5
（2024·宁夏·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类” 5
（2023·山东枣庄·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类” 9
（2023·山东淄博·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类” 12
（2023·广东广州·中考真题）反比例函数与二次函数综合 平行四边形存在问题 15
（2022·四川眉山·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类” 17
（2022·辽宁阜新·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类” 20
巩固练习 23
在数学中，二次函数和平行四边形是两个看似不相关但实则紧密相连的概念。当我们将一次函数的图像与平行四边形的性质结合起来探讨时，会发现一系列有趣且富有挑战性的存在性问题。这些问题不仅考验着我们对二次函数和平行四边形基本性质的理解，还要求我们运用逻辑推理、几何变换和代数运算等多种数学工具进行求解。本文将围绕“二次函数与平行四边形存在性问题”这一主题，从多个方面进行深入探讨。
一、关于平行四边形的基础知识
1、什么是平行四边形？
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
2、平行四边形具有哪些性质？
边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
注：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
3、平行四边形的判定方法
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
二、平行四边形存在性问题的解题策略
1、由平行四边形的对边平行且相等，我们可以将点A、D看成是由B、C两点移动得到的，且移动的路径完全相同，如图所示：
所以可以得到；
2、由平行四边形的对角线互相平分我们可以得到AC的中点与BD的中点是重合的，如图所示：
点O就是AC的中点，也是BD的中点，所以.
上述两种情况所得到的方程进行变形，会发现所得到的方程是一样的，过程如下：
于是，我们又可以得到，当AC、BD为平行四边形ABCD的对角线时，则有（对应横、纵坐标相加）.
上述结论反过来，若，能否证明四边形ABCD就是平行四边形呢？答案是不一定，如下图所示：
点O是CD的中点，也是AB的中点，但是ABCD很显然不是平行四边形，这种反例要多加注意。
三、平行四边形存在性问题的考法
1、三定一动类（三个定点，一个动点）
例：如图，已知A（1，2）、B（5，3）、C（3，5），试在平面内找一点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形.
2、两定两动（两个定点，两个动点）
例：已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求C、D坐标．
（2024·宁夏·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类”
抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值；
(3)如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或或
【详解】（1）解：把点代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
解得：，，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为，
，，
，
根据题意得，点的坐标为，则，
把代入，得：
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
点的坐标为，
，
，
又轴，
∴轴，
，
，
，
，
又，
，
解得：，（不合题意，故舍去），
∴的值为；
（3）解：存在，点的坐标为或或或，
理由如下：
设直线的解析式为，
把，代入，得：
，
解得：，
的解析式为：，
当时，，
点的坐标为，
又点是轴上方抛物线上的一点，
当时，，
解得：，，
点的坐标为或，
分情况讨论：
当点的坐标为时，
，
点的坐标为或；
当点的坐标为时，
，
点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或或．
（2023·山东枣庄·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类”
如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
设直线，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴；
作点关于轴的对称点，连接，
则：，，
∴当三点共线时，有最小值为的长，
∵，，
∴，
即：的最小值为：；
（3）解：存在；
∵，
∴对称轴为直线，
设，，
当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：
①为对角线时：，
∴，
当时，，
∴，
∴；
②当为对角线时：，
∴，
当时，，
∴，
∴；
③当为对角线时：，
∴，
当时，，
∴，
∴；
综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或．
（2023·山东淄博·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类”
如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或或
【详解】（1）解：∵对称轴为直线，
∴①，
将点代入得，
∴②，
联立①②得，，
∴解析式为；
（2）设，如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点，
∴，，
则，
∴
解得：或（舍去），
（3）存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
设，
如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，，
，
∵，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∴
解得：
∴点的坐标为或
如图3，当为平行四边形的对角线时，，，
由对称性可知，，
∴，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或
综上所述，点的坐标为或或或．
（2023·广东广州·中考真题）反比例函数与二次函数综合 平行四边形存在问题
已知点在函数的图象上．
(1)若，求n的值；
(2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设的外接圆圆心为C，与y轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)的值为1；
(2)①；②假设存在，顶点E的坐标为，或．
【详解】（1）解：把代入得；
故的值为1；
（2）解：①在中，令，则，
解得或，
，，
点在函数的图象上，
，
令，得，
即当，且，
则，解得：（正值已舍去），
即时，点到达最高处；
②假设存在，理由：
对于，当时，，即点，
由①得，，，，对称轴为直线，
由点、的坐标知，，
作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点，
则，
则直线的表达式为：．
当时，，
则点的坐标为．
由垂径定理知，点在的中垂线上，则．
四边形为平行四边形，
则，
解得：，
即，且，
则，
∴顶点E的坐标为，或．
（2022·四川眉山·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类”
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．
(1)求点的坐标；
(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)最大为
(3)存在，的坐标为或（3，-16）或
【详解】（1）（1）∵点在抛物线的图象上，
∴
∴，
∴点的坐标为；
（2）过作于点，过点作轴交于点，如图：
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，
将代入得，
∴，
∴直线解析式为，
设，，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴此时最大为，即点到直线的距离值最大；
（3）存在．
∵
∴抛物线的对称轴为直线，
设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，）
分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴，即
解得，x=3.
∴
∴点M的坐标为（3，-16）
②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，
方法同①可得，，
∴
∴点M的坐标为（-7，-16）；
③当AC为对角线时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴线段AC的中点H的坐标为，即H（）
∴，解得，。
∴
∴点M的坐标为（-3，8）
综上，点的坐标为：或（3，-16）或．
（2022·辽宁阜新·中考真题）二次函数 平行四边形存在问题“两定两动类”
如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
(3)已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，的面积最大，最大面积是
(3)存在，的坐标为或或或
【详解】（1）将点，代入中，
得，
解这个方程组得，
二次函数的表达式为；
（2）过点作轴于点，如图：
设面积为，
根据题意得：，．
，
，
在中，令得，
，
，
．
，
，
，
当时，的面积最大，最大面积是；
（3）存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由，得直线解析式为，
设，，又，，
当，是对角线，则，的中点重合，
，
解得与重合，舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得或，
或，
综上所述，的坐标为或或或．
1、抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，P是第四象限内抛物线上的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，过点P作轴于点D，交直线于点E．设点D的横坐标为m，当时，求m的值；
(3)如图②，点，连接并延长交直线于点M，N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，
∴,
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，
∴，对称轴为直线，且，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为：，
∴，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得（舍去），
故m的值为．
（3）解：存在点，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．
理由如下：
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为：，
由，
∴，
设，，点，，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：
解得：或，
∵N是x轴上方抛物线上的一点，
∴或，
∴或都符合题意，
∴或；
∴或；
当为对角线时，，，点，，
由中点坐标公式得：
解得：或，
∵N是x轴上方抛物线上的一点，
∴或，
∴或都符合题意，
∴或；
∴或；
当为对角线时，，，点，，
由中点坐标公式得：
解得：或，
∵N是x轴上方抛物线上的一点，
∴或，
∵，，
∴或都不符合题意，舍去；
∴或；
综上所述，存在点H，使得F，H，M，N为顶点的四边形是平行四边形且点的坐标为或或或．
2、如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为；
(2)存在，点的坐标为或或．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵抛物线，与轴交于，两点与轴交于点，
∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：存在点，理由如下，
∵，，
∴设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∵点在直线上，
∴设，
∵点为直线右侧抛物线上一点，
设，
由抛物线的函数表达式为，
∴，
∴当时，，
∴，
当为边时，四边形为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得：，
解得：或（舍去），
∴点；
当为边时，四边形为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得：，
解得：或（舍去），
∴点；
当为对角线时，四边形为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得：，
解得：或（舍去），
∴点，此时与点重合；
综上可知：点的坐标为或或．
3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与y轴交于点，是抛物线上的一个动点．
(1)求该二次函数的解析式．
(2)若点M在直线的下方，则当点M运动到什么位置时，的面积最大？并求出的面积的最大值．
(3)若N是x轴上的一动点，是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，有面积最大值，此时点M的坐标为．
(3)存在，点M的坐标为或或
【详解】（1）解：将点A，B，C代入二次函数解析式，
可得，解得，
∴二次函数表达式为；
（2）如图，过点M作y轴得平行线交直线于点P，连接，
设直线得解析式为，将B，C坐标代入，
可得，解得，
所以直线得解析式为，
设，则，
∵
，
∵，
∴当时，有面积最大值，此时点M的坐标为；
（3）解：存在，
由题意可得：，
设以对角线分类，
当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，
由中点坐标公式可得：，即，
解得：（舍弃）或，
所以点M的坐标为；
当为对角线时，同理可得：
，即，
解得：（舍弃）或，
所以点M的坐标为；
当为对角线时，同理可得：
，即，
解得：或，
所以点M的坐标为或．
综上，点M的坐标为或或．
4、如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知、，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为线段上的一动点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求四边形的最大面积；
(3)在（2）的条件下，当四边形的面积最大时，点是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形的最大面积为
(3)存在，或或
【详解】（1）解：由题意得：，
解得，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：令，则，
解得或，
∴点，
设直线的解析式为，把点、的坐标代入得：
，解得
∴直线的表达式为：
设点，则点，则，
则四边形的面积，
即四边形的最大面积为；
（3）解：存在， 理由：
由（2）知，四边形的最大面积时，，即点，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
设点， 设点的横坐标为，
当为对角线时，则，
解得，即点
当或为对角线时，
同理可得：或
解得或，即点或，
综上，点或或 ．
5、如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若抛物线的顶点为P，求的面积；
(3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)9
(3)存在，或
【详解】（1）解：，
∴当时，，
∴，
∵抛物线的图象与x轴交于，两点，
∴，把，代入，得：，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴设的解析式为：，把代入，得：，
∴，
过点作轴并延长交于E，则：，
∴，
∴；
（3）解：存在；
由（2）知，直线的解析式为：，设，
∵，且以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，
∴；
①当四边形为平行四边形时，
∵，
∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：，
∴，
解得：或，
当时，，
当时，（不符合题意，舍去）；
②当四边形为平行四边形时，
∵，
∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：，
∴，
解得：或，
当时，，
当时，（不符合题意，舍去）；
综上：或．
6、如图，已知抛物线的对称轴为直线，顶点为，直线与抛物线交于A、B两点，其中点的坐标为，点在轴上．
(1)求m的值和该抛物线的解析式；
(2)若点为线段AB上的一个动点（点P不与A、B两点重合），过点P作x轴的垂线，与这条抛物线交于点E，设线段的长为h，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)若点为直线上的一个动点，直线与这条抛物线的对称轴的交点为D，轴交抛物线于点E，是否存在点P，使以点D、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请写出理由．
【答案】(1)；抛物线解析式为；
(2)；
(3)点的坐标为或或．
【详解】（1）解：的坐标为在直线上，
，
，
直线解析式为，
，
设抛物线解析式为，
点，在抛物线上，
，
，
抛物线解析式为；
（2）解：点在线段上，
，，
轴，交抛物线于，，
，
，；
（3）解：直线与这个二次函数图象的对称轴的交点为，
，
，
点D、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形，
，
，
或，
（舍），，，，
即：点的坐标为或或．
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