模块01 集合、逻辑用语和不等式
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25高三上·甘肃·期末）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解不等式，化简集合，根据交集的定义求结论.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
2．（24-25高三上·安徽·阶段练习）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据存在命题的否定即可求解.
【详解】命题“”的否定是，
故选：D
3．（24-25高三上·山东烟台·期末）设集合，若，则（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】D
【分析】利用子集的概念计算可求的值.
【详解】因为集合，且，
所以或或，解得或或，
当时，，符合集合元素的互异性，
当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去，
当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去.
综上所述：.
故选：D.
4．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可.
【详解】由题意，得，
即，∴，
解得.又每枚的最低售价为15元，∴.
故选：B.
5．（23-24高三上·湖北·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意结合恒成立问题可知，根据充分、必要条件结合包含关系分析判断.
【详解】因为，即，
且，则，由题意可得，
选项中只有选项D满足是的真子集，
所以命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是.
故选：D.
6．（2024·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题.对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于，则需要考虑其判别式的取值范围.
【详解】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题.
对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于.
因为恒成立，所以，即，解得.
故选：A.
7．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知：．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
解分式不等式、对数不等式求对应范围，结合充分不必要条件有，即可得范围.
【详解】由，可得；
由，
因为是的充分不必要条件，则.
故选：C
8．（2024·山东淄博·二模）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】设，得，两次应用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件即可．
【详解】设，则，，，
∴，当且仅当时取等号，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，
所以的最小值是2，
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出，，，相加后基本不等式求得最小值．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高三·全国·专题练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，且，则 B．若，且，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据作差法即可求解AD,举反例即可求解B，根据不等式即可求解C.
【详解】选项A：由可得，由可得，故，故A正确．
选项B：当，时，满足，且，但，，不等式不成立，故B错误．
选项C：因为，所以，故，故C正确．
选项D：由可得，且，故，即，故D正确．
故选：ACD
10．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若，则
【答案】ABC
【分析】先求出集合，然后令，对于A，由题意可得是方程的两个根，利用根与系数的关系列方程可求出，对于B，由题意可得，可求出，对于C，由题意可得，可求出的范围，对于D，求出集合，再求出两集合的交集判断即可.
【详解】由已知得，，令，
对于A，若，即是方程的两个根，则，解得，所以A正确；
对于B，若，则，解得，所以B正确；
对于C，当时，，解得或，所以C正确；
D：当时，，所以，所以D错误.
故选：ABC.
11．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）星形线或称为四尖瓣线，是一个有四个尖点的内摆线.已知星形线上的点到轴的距离的最大值为1，则（ ）
A．
B．上的点到原点的距离的最大值为1
C．上的点到原点的距离的最小值为
D．当点在上时，
【答案】ABD
【分析】令得，即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD.
【详解】对于A，∵星形线上的点到轴的距离的最大值为1，令得，∵，可得，故A正确；
对于B，由图可得上的点到原点的距离的最大值为1，故B正确；
对于C，设点在上，则，∵
，
当且仅当等号成立，即星形线上的点到原点距离的最小值为，故C错误；
对于D，当点在上时，∵，得，
当且仅当等号成立，即星形线上的点到，轴距离的乘积的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高三上·天津河东·阶段练习）已知集合，，若，，则 .
【答案】19
【分析】由题意可得，所以5和6是方程的两个根，代入解方程可求出，即可求出的值.
【详解】因为，，
，，所以，
所以5和6是方程的两个根，
所以，解得，，
所以.
故答案为：19.
13．（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】通过构造函数，利用的单调性解不等式，再由题意将是的充分条件转化为包含关系，进而求得参数范围.
【详解】设，
则在单调递增，又，
所以，即，故.
则.
由题意是的充分条件，则，
所以有，故实数m的取值范围是.
故答案为：.
14．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）如图，曲线是四叶玫瑰花瓣曲线，若点是曲线上一点，则的最大值为 ，玫瑰花瓣及其边界内包含整点（横 纵坐标均为整数）的个数为 .
【答案】 8 17
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值；求出圆及内部的整点个数，再剔除在玫瑰花瓣外的点即可得解.
【详解】由基本不等式，解得，
当且仅当时取等号，所以的最大值为8；
在圆及其内部的整点横向最上面一排有，共5排；
纵向每一列也有5个点，有5列，共25个，验证知只有坐标轴上除原点外的8个点不在花瓣内，所以共有17个.
故答案为：8；17
【点睛】关键点点睛：确定圆及其内部的整点个数是解决第2空的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，．
(1)求；
(2)已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）解分式不等式以及一元二次不等式可得集合，再由集合的运算可得结果；
（2）易知 ，对集合是否为空集进行分类讨论，列出不等式求解即可．
【详解】（1），
，
可得，
所以或．
（2）若“”是“”的充分不必要条件，则 ，
若，则解得；
若，则，且等号不能同时成立，解得，
综上可知，实数m的取值范围为
16．（24-25高三上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为.
(1)求实数，的值；
(2)若正实数，满足，求的最小值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据不等式的解集得到和是方程的两根，再由韦达定理即可求解；
（2）结合（1）中结论，利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，
所以和是方程的两根，
由韦达定理得，解得，；
（2）由（1）得，
，
当且仅当，即时取等号，
所以取得最小值，
即的最小值为.
17．（2024·四川成都·二模）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本）
(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
(2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量.
【答案】(1)
(2)9千件
【分析】（1）分段利用“年利润年销售收入年总成本”可得所求函数的解析式.
（2）分段求函数的最大值，进行比较可得结论.
【详解】（1）当时，；
当时，.
综上：.
（2）当时，，.
由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
当时，.
因为，当且仅当即时取“”.
此时.
因为.
所以当年产量为千件时，年利润最大.
18．（24-25高三上·安徽六安·期中）已知幂函数在上单调递减.
(1)求函数的解析式；
(2)解关于的不等式
(3)若对任意，都存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）由幂函数的定义结合单调性即可求解；
（2）通过和两类情况讨论即可；
（3）由题意得到，再得到存在，使得，进而可求解.
【详解】（1）由幂函数在上单调递减，
可得，解得，所以
（2）当时，，解集为，
当时，，得，
，
当时，，
方程的两根为
所以不等式的解为，
当时， ，不等式的解集为，
综上可知，当时，解集为，
当0≤a<1时，解集为.
（3）由（1）知，因为对，使得都成立，
所以，易知，
所以，
因为存在，使得成立，
可得，
因为，所以是关于的单调递增函数，
所以，
解得：或，
所以的取值范围为.
19．（2024·重庆·模拟预测）集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合A中的元素个数.当时，设是集合A中按从小到大排列的所有元素，记集合.
(1)已知集合，，，若，求的值.
(2)已知，记集合或.
（i）当时，证明的充要条件是；
（ii）若，，求的所有可能取值．
【答案】(1)2
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）先根据求出的值，可确定集合，进而求.
（2）（i）先证充分性，再证必要性.
（ii）根据和，分析中元素的特征，求出，进而确定的值.
【详解】（1）因为，由，
所以，
所以且，
所以必有，所以，所以，所以.
（2）（i）因为，可设，.
先证充分性：因为，所以且，
从而可以设，其中0，
此时中的元素为，故，
再证必要性，设，，其中，
注意到和集中的最小元素为，最大元素为，
因为，所以中间三个元素可以是，
也可以是，它们是对应相等的，
所以有，，
即，故，得证，
（ii）①若，由第(i)小问的分析知，
可以设，，其中，
此时中的元素为，
这与条件矛盾，
②取，其中，
容易验证此时中的元素为，符合条件，
所以可以取2，
③若，设，
其中，
结合知至少存在两个不同的正整数，使得，
不妨设是符合这一条件最小的正整数，是符合这一条件最大的正整数，
注意到，
这是中的个不同的元素，
根据的定义我们有，即，
当时，由的最小性知，即，
此时我们有，
当时，也有，
因此是中的元素，但与(*)式中的个元素均不相等，
同理，根据的定义有是中的元素，但与(*)式中的个元素均不相等，
因为，所以，此时，矛盾，
综上，的取值只能为2，
【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是数列的有关性质或求和.
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25高三上·甘肃·期末）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·安徽·阶段练习）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·山东烟台·期末）设集合，若，则（ ）
A． B．1 C． D．0
4．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·湖北·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知：．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·山东淄博·二模）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高三·全国·专题练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，且，则 B．若，且，则
C．若，则 D．若，则
10．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若，则
11．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）星形线或称为四尖瓣线，是一个有四个尖点的内摆线.已知星形线上的点到轴的距离的最大值为1，则（ ）
A．
B．上的点到原点的距离的最大值为1
C．上的点到原点的距离的最小值为
D．当点在上时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高三上·天津河东·阶段练习）已知集合，，若，，则 .
13．（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ．
14．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）如图，曲线是四叶玫瑰花瓣曲线，若点是曲线上一点，则的最大值为 ，玫瑰花瓣及其边界内包含整点（横 纵坐标均为整数）的个数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，．
(1)求；
(2)已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
16．（24-25高三上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为.
(1)求实数，的值；
(2)若正实数，满足，求的最小值.
17．（2024·四川成都·二模）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本）
(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
(2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量.
18．（24-25高三上·安徽六安·期中）已知幂函数在上单调递减.
(1)求函数的解析式；
(2)解关于的不等式
(3)若对任意，都存在，使成立，求实数的取值范围.
19．（2024·重庆·模拟预测）集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合A中的元素个数.当时，设是集合A中按从小到大排列的所有元素，记集合.
(1)已知集合，，，若，求的值.
(2)已知，记集合或.
（i）当时，证明的充要条件是；
（ii）若，，求的所有可能取值．
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