专题07 导数及其应用
目 录
易错点01 对导数的概念理解不到位
易错点02 错用函数的求导法则
易错点03 混淆“在某点”和“过某点”切线的区别
易错点04 利用导数求函数单调区间忽略定义域
易错点05 混淆极值点与导数等于零的点的区别
易错点06 已知单调性求参数时混淆条件
易错点07 判断函数零点个数时画图出错
易错点01：对导数的概念理解不到位
典例（24-25高二上·全国·课后作业）若函数可导，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的定义即可求解.
【详解】．
故选：C
【易错剖析】
在解题时要注意，本题容易忽略分母不是分子函数值对应自变量的差而出错.
【避错攻略】
导数的概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
【解读】①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．
几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
易错提醒：(1)，要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应；(2)的代数意义表示函数在处的瞬时变化率；(3)的几何意义表示曲线在处切线的斜率．
1．（24-25高二上·全国·课后作业）若可导函数的图象过原点，且满足，则等于（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【分析】由题得，再利用导数定义求解.
【详解】∵图象过原点，∴，
∴，
故选：C
2．（24-25高二下·全国·课后作业）如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】利用导数的定义求解.
【详解】因为，所以，
所以．
故选：A．
3．（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）设函数在点附近有定义，且有（，为常数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由导函数的定义可得答案.
【详解】因为，
所以，
即.
故选：C
1．（24-25高二上·全国·课后作业）若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据瞬时变化率的定义即可求解.
【详解】根据题意，
则．
故选:D．
2．（24-25高三上·广西玉林·期中）设是定义在R上的可导函数，若（a为常数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的定义计算即可求解.
【详解】．
故选：A
3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的值为（ ）
A．2e B．0 C．1 D．e
【答案】C
【分析】利用导数定义求极限即可.
【详解】根据导数定义，得，
又，所以.
故选：C.
4．（24-25高三上·上海·期中）若函数在处的导数等于，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．2a
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解.
【详解】.
故选：D.
5．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）若函数在区间内可导，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由导数的定义即可求解.
【详解】，
故选：D.
6．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数在处可导，且，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】利用导数的定义求解.
【详解】解：因为，
所以，即，
所以，
故选：B
7．（24-25高二·全国·课后作业）（多选）若函数在处存在导数，则的值（ ）
A．与有关 B．与h有关 C．与无关 D．与h无关
【答案】AD
【分析】由导数的定义判断即可.
【详解】由导数的定义可知，，
函数在处的导数与有关，与h无关，
故选：AD．
8．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知：当无穷大时，的值为，记为.运用上述结论，可得 .
【答案】.
【分析】利用换元法和对数运算性质将所求式子化简为的结构，即可求得.
【详解】令，则，，则，
因为，
则.
故答案为：.
易错点02：错用函数的求导法则
典例 （24-25高三上·山东聊城·期末）函数的导数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则可求出原函数的导数.
【详解】
．
故选：B.
【易错剖析】
本题容易错用复合函数的求导法则而出错，要注意求导公式和求导法则的适用前提.
【避错攻略】
1．求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（为常数）
2．导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3．复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
易错提醒： （1）复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即；（2）求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.
1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知某函数的导数为，则这个函数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复合函数导数的运算法则逐项计算即可得到结果.
【详解】对于A，函数可以看作和的复合函数，
∴，符合题意；
对于B，，∴，不符合题意；
对于C，可以看作和的复合函数，
∴，不符合题意；
对于D，，∴，不符合题意．
故选：A.
2．（2025高三·全国·专题练习）下列求导运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用导数的运算法则与复合函数导数公式求解判断即可.
【详解】A项，，故A错误；
B项，，故B正确；
C项，，故C正确；
D项，，故D正确.
故选：A.
3．（24-25高三·全国·联考）已知函数，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】先利用复合函数的求导法则求出导函数，将代入求值即可.
【详解】因为，则，
所以．
故选：A
1．（2025高三·全国·专题练习）函数的导数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据乘法的导数以及复合函数的导数等知识来求得正确答案.
【详解】因为，
所以
.
故选：D
2．（24-25高三上·北京·开学考试）在下列函数中，导函数值不可能取到1的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别对各选项中函数求导，由导函数值等于时，判断能否求出对应的的值，即可确定.
【详解】对于A，，令，得，即A选项导函数值可以取到1；
对于B，，令，得，，即B选项导函数值可以取到1；
对于C，，令 ，得，
由于，所以，即C选项导函数值可以取到1；
对于D，，令，则，不存在使其成立，即D选项导函数值不可能取到1，
故选：D.
3．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据导数的运算法则计算即可．
【详解】由，则.
故选：D.
4．（24-25高三上·山西·期中）若函数满足，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】求解导函数，再赋值，解关于的方程可得.
【详解】由，得，
则，解得，
故选：C.
5．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）（多选）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据基本函数的导数公式及复合函数导数求法判断各项正误.
【详解】由为常数，则，A错误；
由，则，B正确；
由，C正确；
由，D错误．
故选：BC
6．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）（多选）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则可得选项A，B，C正确，选项D错误.
【详解】A. ，选项A正确.
B.，选项B正确.
C.为常数，选项C正确.
D. ，选项D错误.
故选：ABC.
7．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）（多选）下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】利用求导公式逐项判断即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD
8．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）（多选）下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据求导公式、运算法则和简单复合函数的求导依次计算，即可求解.
【详解】A：，故A正确；
B：，故B错误；
C：，故C正确；
D：，故D正确.
故选：ACD
易错点03：混淆“在某点”和“过某点”切线的区别
典例 （2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线.
【详解】设过点的曲线的切线为： ，
有,
解得或,
代入可得或.
故选：
【易错剖析】
本题容易误将（1,4）点当做函数的切点而出错，要注意过P点的切线P不一定是切点.
【避错攻略】
1．在点P的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2．过点P的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
【注意】在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
易错提醒：（1）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：
（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
（3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
（2）利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．
（3）求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
（1）注意曲线上横坐标的取值范围；
（2）谨记切点既在切线上又在曲线上．
1．（24-25高三上·广东·阶段练习）函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线方程，进而可切线与坐标轴交点，即可得三角形面积.
【详解】由，得，，
则的图象在点处的切线方程为，即，
令，得，令，得，
则该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，
故选：C.
2．（23-24高二下·山西晋城·期末）过原点O作曲线的切线，其斜率为2，则实数（ ）
A．e B．2 C． D．
【答案】D
【分析】设出切点，求导，得切点处的切线方程，即可代入原点求解.
【详解】设切点，则，
故切点处的切线方程为，故，
将代入得，故，解得或，
若，则，此时无解，故不符合题意，
若，则，故，此时满足题意，
故选：D
3．（24-25高三·山东临沂·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，求出切线方程，然后对进行讨论即可.
【详解】设切点为 ,
对 求导可得： ,
切线的斜率为 ,
可得切线方程为： ,
把点 代入可得 ,
化为 ,
令 ,
,
令得;令得
所以函数 在 上单调递增, 在 上单调递减,
可得 时函数 取得极大值.
当 时, ,
当 时, .
时， 与函数 的图象最多有一个交点, 不符合题意, 舍去.
时, 由过点 可以作曲线 的两条切线,
与函数 的图象有两个交点,
.
故选：C.
1．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程.
【详解】因为，所以，
所以曲线在处的切线的斜率为，
当时，，所以切点为，
所以切线方程为，即.
2．（24-25高三上·河南·阶段练习）曲线在处的切线经过点，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】求导，由导数几何意义得到函数在处的切线斜率，结合两点间斜率公式得到方程，求出实数的值.
【详解】，由导数几何意义知，
在处的切线斜率为，
当时，切线经过点，故有，解得.
故选：C．
3．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数在点处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而可得交点坐标和面积.
【详解】因为，则，可得，
即切点坐标为，切线斜率为2，
则切线方程为，其与x轴交点为，
所以切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为.
故选：B.
4．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）若直线 与曲线 相切，则 （ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】设出切点坐标，求导并利用导数的几何意义与两点间的斜率公式计算可得直线斜率.
【详解】设直线与曲线相切于点，
求导可得，因此切线斜率，
又切线过原点，可得，化简可得，
令，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，，
因此可得，即可得.
故选：
5．（2024·河南洛阳·三模）（多选）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【分析】设切点为，利用导数的几何意义及点斜式直线方程求出切线方程，根据过点建立方程，求得切点的个数即为切线的条数.
【详解】设切点为，由，所以，得，
所以切线方程为，即．
因为切线过点，所以，解得或，
所以过点作曲线的切线可以作2条.
故选：C
6．（24-25高三·山东日照·期中）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，并将点的坐标代入建立方程，求出方程有两个不等实根的参数范围即可.
【详解】设切点为，由，求导得，
则切线方程为：，而切线过点，
于是，又，则，
依题意，方程有且仅有两个不等实根，则，
解得或，所以符合题意.
7．（23-24高二下·北京西城·阶段练习）已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，对比系数即可求出切点坐标.
【详解】设切点坐标为，因为，所以在点处切线的斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即，所以，解得，
所以切点为.
故选：A
8．（24-25高三上·上海·开学考试）经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】D
【分析】设切点为，则切线的斜率为，又切线过点，可得，设，由导数的单调性和零点的存在性可得与轴有3个交点，则有3条切线.
【详解】设切点为，，
则切线的斜率为，
又切线过点，
所以，
则，设，
则，令，
解得或，
当和时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
又，，
，，
所以存在,；；，
所以与轴有3个交点，
则经过有3条切线.
故选：D.
易错点04：利用导数求函数单调区间忽略定义域
典例（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）函数的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．和
【答案】D
【分析】求出函数的导数，再解不等式即得答案.
【详解】函数的定义域为，求导得，
由，即，解得或，
所以函数的单调减区间为和.
故选：D
【易错剖析】
本题容易忽略定义域为而错选B.
【避错攻略】
1.函数单调性的判定方法
设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
【解读】①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但.
2.求可导函数单调区间的一般步骤
①确定函数的定义域；
②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.
3函数在区间上单调与求函数单调区间
单调递增；单调递增；
单调递减；单调递减.
易错提醒：（1）求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函数的单调区间；（2）含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内.
1．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）若函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求函数的导数，利用导数小于零并结合定义域得出结果.
【详解】函数，定义域为，
由，令，解得，
则函数的单调递减区间为.
故选：C.
2．（2024全国·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间．
【详解】由得：，即的定义域为；
因为，
所以当时，；当时，；
所以的单调递增区间为．
故选：A.
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设，.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若，试讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）当时，先求导，再求，利用点斜式即可写出切线方程；
（2）分，，，四种情况，结合求导讨论即可求解．
【详解】（1）若，则，，
又，故，
所以在处的切线方程为，
即；
（2），，
当时，，令，即，解得，令，解得，
所以在上单调递减，,上单调递增；
当时，，在上单调递增，
当，即时，令，解得，或，令．解得，
所以在，,上单调递增，,上单调递减；
当，即时，令，解得，或，令．解得，
所以在，,上单调递增，,上单调递减．
综上：当时，所以在上单调递减，,上单调递增；
当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减；
当时，，在上单调递增，
当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减．
1．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数求解函数的单调区间即可.
【详解】由题意，函数的定义域为，则，
当时；当时，
显然的单调递增区间为．
故选：D
2．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求导函数，再根据导函数小于0得出函数的减区间即可.
【详解】，则，
由，得，所以单调递减区间是.
故选:D．
3．（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的定义域与导函数，再令，解得即可.
【详解】函数的定义域为，
且，
令，解得，
所以的单调递增区间为.
故选：D
4．（2025·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．当时，函数在上单调
B．当时，函数在上不单调
C．当时，函数在上不单调
D．当时，函数在上单调
【答案】BCD
【分析】首先求，之后对的分子部分单独构造函数，接着分类讨论研究的正负，进而得到的单调性.
【详解】，，
令，．
①当时，，
则当时，，
即，当时，则，即，
所以此时函数在上不单调，故A错误；
②当时，，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以此时函数在上不单调，故B正确；
③当时，，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以此时函数在上不单调，
当时，，
则当时，，即，
当时，，即，
所以在上不单调，
所以当时，在上不单调，故C正确；
④当时，，此时恒成立，
函数在上单调递减，故D正确．
故选：BCD．
5．（23-24高二下·福建福州·期中）函数的单调递减区间是 .
【答案】
【分析】先根据函数，求导，然后结合函数的定义域为，由求解.
【详解】函数的定义域为
，
由，
解得，
所以函数的单调递减区间是，
故答案为：.
6．（23-24高二下·上海·期中）函数的严格递减区间是 .
【答案】.
【分析】求导并结合函数的定义域，求出函数的单调减区间即可.
【详解】函数的定义域为，
，
令，则且，即的严格递减区间为.
故答案为： .
7．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数.
(1)若函数存在一条对称轴，求的值；
(2)求函数的单调区间.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意结合对称性的定义运算求解即可；
（2）求导，分类讨论的符号，利用导数求的单调区间.
【详解】（1）因为函数，
所以函数定义域为，且函数存在一条对称轴，故对称轴为，
所以，
即，
所以，故，
当且仅当时上式恒成立，故.
（2）由题意，
当时，有且，
所以，故的单调减区间为；
当时，令，
且当时，，当时，，
所以的单调增区间为，单调或区间为；
综上，当时，的单调减区间为，无增区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
易错点05：混淆极值点与导数等于零的点的区别
典例 （2024·辽宁丹东·一模）若是函数的极值点，则的值为（ ）
A． B．3 C．或3 D．或2
【答案】B
【分析】根据题意，求出函数的导数，由求出，然后针对的每一个值，进行讨论，验证是不是函数的极值点，即可得答案.
【详解】，
由题意可知或.
当时，，
令，解得或，函数在和上单调递增；
令，解得，函数在上单调递减，
所以是函数的极值点符合题意；
当时，，
所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，
故选：B.
【易错剖析】
导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导数等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反.
【避错攻略】
1．函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
2．求可导函数极值的一般步骤
第一步：先确定函数的定义域；
第二步：求导数；
第三步：求方程的根；
第四步：检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
易错提醒：（1）①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
（2）①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
1．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得，即可得到的值，然后代入检验，再由函数极值的求解，代入计算，即可得到结果.
【详解】由可得，
又是函数的极小值点，所以，解得或，
当时，，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
即是的极大值点，不符合题意，故舍去；
当时，，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
即是的极大值点，是的极小值点，符合题意，
此时，
所以的极大值为.
故选：D
2．（24-25高三上·天津武清·期中）已知函数有极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求函数的导数，转化为导函数有大于1的变号零点，即可求解.
【详解】，，
即有实数根，因为函数的对称轴为，
所以函数在区间有零点，只需满足，得.
故选：B
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数在处有极大值，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】首先根据，求，再代入验证，即可求解.
【详解】，
由题意可知，，得或，
当时，，得或，
当，得或，，得，
所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，
所以是极小值，故，
时，，得或，
当，得或，，得，
所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，
所以是极大值，故.
故选：C
1．（2024·四川泸州·一模）已知函数在处取得极大值，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据极值点求参数，再由所得参数验证在处是否取得极大值，即可得答案.
【详解】由题设，则，可得或，
当时，
当或时，则在和上递增，
当时，则在上递减，
此时在处取得极小值，不符；
当时，
当或时，则在和上递增，
当时，则在上递减，
此时在处取得极大值，符合；
综上，.
故选：C
2．（24-25高三上·江西·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定的极小值点求出，进而求出极大值.
【详解】函数，求导得，
由是的极小值点，得，解得或，
当时，，当时，；当时，，
则是的极大值点，不符合题意；
当时，，当时，；当时，，
则是的极小值点，符合题意，，又当时，，
所以函数在处取得极大值.
故选：D
3．（24-25高二·全国·课后作业）若函数在处有最值，则a等于（ ）
A．2 B．1 C． D．0
【答案】A
【分析】由于函数的定义域为，若在处有最值，则，求导即可得a的值.
【详解】因为的定义域为，
若在处有最值，则是函数的极值点，
又，
，解得，
经检验，满足极值条件.
故选：A.
4．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，若的极小值为，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】先利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值，即可得解.
【详解】由已知得，
当或时，，当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，即，得.
故选：B.
5．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）在上有极大值，无极小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意结合导函数和一元二次函数性质得，解该不等式组即可得解.
【详解】由题意可得在上有下穿变号零点，无上穿变号零点，
.
故选：A.
6．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知在处有极值，则（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【分析】由极值点和极值，列出关于的方程组，再验证条件，即可求解.
【详解】根据题意，，
函数在处有极值0，
且，
或，
时恒成立，此时函数无极值点，
当时，，
此时是函数的极值，满足条件，
，.
故选：D
7．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数，当时，有极大值．则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】B
【分析】根据题中条件列出方程组，解出，，验证即可；
【详解】由题意得，
因为时，有极大值，
所以，解得，，
经检验，当，时，,
故当在上单调递减，
当在上单调递减，
故在时有极大值，符合题意，所以成立．
故选：B．
易错点06：已知单调性求参数时混淆条件
典例 （24-25高三上·山东临沂·期中）若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为 ．
【答案】
【详解】由题意得，，
∵函数的单调递减区间恰为，
即的解集为，
∴所以和4是的两根，
∴．
故答案为： 4.
【易错剖析】
本题易混淆f(x)在区间D上单调和f(x)的单调区间是D的区别而出错.
【避错攻略】
1.可导函数f(x)在某区间上单调
（1）可以转化为在给定区间上恒成立；
（2）给定的区间是原函数单调递增区间（或递减区间）的子区间，利用集合间关系求解
2.可导函数f(x)在某区间上不单调
（1）可转化为f'(x)在给定区间上有正有负，即在给定区间上有实根（必要条件），且有不等实根（充分条件）；
（2）可以通过求函数值域的方法解决.
（3）可以利用根的分布方法解决.
3可导函数f(x)在某区间上存在单调区间，转化为（或）有解问题.
易错提醒：
已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点：（1）熟悉基本函数的单调性。
（2）注意下列二者之间的区别：函数在区间I上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D.
注意：其中 .
（3）首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数的不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来.
1．若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，
又在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，只需求出的最小值即可，
又在单调递减，所以，则，
所以，故.
故选：D
2．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】函数的定义域是，
所以.
当时，，则在上单调递增，符合题意.
当时，由，得（负根舍去），
所以当 时，单调递增；
当 时，单调递减.
依题意，函数在区间内存在单调递增区间，
所以，解得.
综上，.
故选：C.
3．（24-25高三上·上海·期中）已知是定义域为R的函数，，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造，根据其在单调递增，分类讨论即可求解.
【详解】因为对任意的，都有成立，
所以，所以成立，
构造，
所以由上述过程可得在单调递增，
（1）若，则对称轴，解得；
（2）若，在单调递增，满足题意；
（3）若，则对称轴恒成立；
综上.
故选：D.
1．（2024·湖北·一模）已知函数是减函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导得，根据题意可得对恒成立，求得的最小值即可.
【详解】由，可得，
因为函数是减函数，所以对恒成立，
即对恒成立，所以对恒成立，
所以，又，当且仅当时等号成立，
所以，所以，所以的取值范围为.
故选：D.
2．（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用导数求出的单调递减区间，由定义域及不等式求得的取值范围.
【详解】函数，则.
因为在区间上单调递减，则在区间上恒成立，
即，解得，所以是的子区间，
所以，解得.
故选：A.
3．（22-23高二下·北京海淀·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出函数的导函数，分析单调性求解实数的取值范围即可.
【详解】因为的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
若函数在上不单调，即，，可得，
所以实数的取值范围是.
故选：B
4．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分段求出函数的导函数，则恒成立，参变分离求出参数的取值范围，即可得解.
【详解】因为，
当时，，则恒成立，
所以在上恒成立，则；
当时，，则恒成立，
所以在上恒成立，所以；
又，综上可得的取值范围是.
故选：B.
5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，只需存在区间，使得当时，，根据导数的零点大小分，和讨论求解.
【详解】由题意得，
要使在上存在单调递减区间，只需存在区间，使得当时，，
当时，，显然不存在满足条件的区间；
当时，的解集为，因为，
所以要使在上存在单调递减区间，则，解得；
当时，的解集为，因为，
所以要使在上存在单调递减区间，则，解得.
综上，的取值范围为.
故选：A.
6．（2024·四川凉山·一模）若都有成立，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】将所给不等式转化为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此得出正确的选项.
【详解】根据题意，若，则.
设.
所以可得在，函数为增函数.
对于，其导数.
若，解得，即函数的递增区间为；
若都有成立，即在，函数为增函数，则的最大值为1.
故选：B.
易错点07：判断函数零点个数时画图出错
典例 （24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求函数导数，再根据题意将导函数为零转化为两个函数和有两个交点，然后利用导数求的单调性，进而确定图象，最后根据图象确定实数a的取值范围.
【详解】因为 ，∴ ，
由已知函数f(x)有两个极值点可得有两个解
即和有两个交点，
，
∴当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，
而 时， ， 时，；
大致图象如下：
若和有两个交点只需.
故选：A.
【易错剖析】
利用导数研究函数的图像变化时一定要区分图像趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数.
【避错攻略】
1．判断函数y=f（x）在某个区间上是否存在零点，主要利用函数零点的存在性定理进行判断．首先看函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，然后看是否有．若有，则函数在区间内必有零点．
2．判断函数y=f（x）的零点个数时，常用以下方法：
（1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数；
（2）根据函数的性质结合已知条件进行判断；
（3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与轴交点的个数来判断．
3．已知函数有零点（方程有根），求参数的取值范围常用的方法：
方法1：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
方法2：分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决．
方法3：数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解．
易错提醒：判断函数零点个数的方法：
方法1：利用零点存在性定理判断法；
方法2：代数法：求方程的实数根；
方法3：几何法：对于不易求根的方程，将它与函数的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性并分析函数图像的变化趋势．
1．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由同构的思想可知，若有两个零点，则有两个解，即有两解，分离变量求导即可
【详解】若有两个零点，则有两个解，
等价于有两个解，因为，，所以，
令，原式等价于有两个解，
因为，则当时，所以在上单调递增，
所以有两个大于零的解.
解，可得，令，
则，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，的图象如图：
所以当时，有两个交点，即有两个零点.
故选：A
【点睛】方法点睛：当两个函数可以构造成相同的形式时，常用同构的思想，构造函数，将两个函数看成自变量不同时的同一函数，若函数有交点，转化为自变量有交点求解.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数与方程的关系，将问题等价为函数图象求交点，利用导数研究函数的单调性与最值，作出图象，可得答案.
【详解】函数有两个零点等价于直线与函数的图象有两个交点．
对求导得，令，解得，
则当时，，单调递减且，当时，，单调递增，
则，作出函数的大致图象和直线，如图所示：
故的取值范围为．
故选：A．
3．（2024高二上·全国·专题练习）若函数和的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，则函数和为“对偶函数”．已知，是“对偶函数”，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得有两个不等的实数根，从而可得有两个不相等的实数解，利用导数与单调性、极值的关系即可求解.
【详解】因为，是“对偶函数”，
所以函数与的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，
所以，即有两个不相等的实数解，
则有两个不相等的实数解．
令，则，
所以当时，,当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，且，．
又，所以，a的取值范围为,
故选：A.
1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用参变分类可得和的图象有两个交点，结合导数讨论后者的性质后可得参数的取值范围.
【详解】由得，
则问题转化为和的图象有两个交点，
而，
令，解得，令，解得，
故在上单调递增，
在单调递减，则，
当时， 的图象有两个交点；
当时， 的图象有两个交点；
大致图象如右所示：
结合图象可知，的取值范围是，
故选：D
2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数.若函数有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用导数画出的图象，结合的零点个数求得的取值范围.
【详解】当时，，
所以在区间上，当且仅当时，
所以函数在上单调递减，.
当时，，令解得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，当时，，当时，，
由此画出、的大致图象如下图所示，
函数有三个零点，等价于与图象有三个交点，
所以的取值范围是.
故选：C.
【点睛】易错点睛：在通过图象判断函数零点个数时，容易由于图象的不准确或导数符号变化的错误判断，导致零点个数错误．在分析图象时，要特别注意极值点的准确位置.
3．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求导，分析函数的单调性，画出函数草图，数形结合可求的取值范围.
【详解】由，有，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增， ，
又时，，
如图可知之间存在三个不相等的实数，，，
使成立.
故选：C
【点睛】方法点睛：做出函数草图，数形结合，是快速解决该问题的关键.
4．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则恰有2个零点
B．若恰有2个零点，则的取值范围是
C．若恰有3个零点，则的取值范围是
D．若，则恰有3个零点
【答案】D
【分析】利用导函数得出单调区间和极值，画出函数大致图像，由图像对选项做出判断.
【详解】
令，则
∴时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递减；
时，，单调递增，
∴有极大值：，极小值：，且，
∴大致图像如下：
对于选项A：若，则恰有1个零点，故A选项错误.
对于选项B：若恰有2个零点，则的取值范围是或或，故选项B错误.
对于选项C.：若恰有3个零点，则的取值范围是，故选项C错误.
对于选项D. 若，则恰有3个零点，故选项D正确.
故选：D
5．（23-24高三上·天津·期中）已知函数，若函数有且只有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到是的一个零点，转化为和时，分别有一个零点，分类讨论，结合二次函数的性质，以及利用导数的几何意义，即可求解.
【详解】解：由函数，若有且只有3个零点，
当时，可得，可得是的一个零点，
当时，由，可得，解得；
当时，，可得，可得，
要使得函数在上有一个零点，
即函数与的图象有一个公共点，则满足，
综上可得：，即函数有三个零点时，实数的范围为
故选：B.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
6．（2024·广东·一模）函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用参变分离将函数图象有两个交点问题转化为和的图象有两个交点，由导数求得的单调性并求得最大值即可得出结论.
【详解】由得，则问题转化为和的图象有两个交点，
而，
令，解得，令，解得，
故在上单调递增，在单调递减，则，
大致图象如下所示：
结合图象可知，的取值范围是
故选：D
7．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知函数有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将零点问题转化为交点问题，结合导数求解即可.
【详解】因为有三个零点，
所以有三个根，所以和有三个交点，
而，令，，
令，，
所以在上分别单调递增，在上单调递减，
所以极小值为，极大值为，
当时，，时，，
所以，故B正确.
故选：B
8．（23-24高二下·四川凉山·期中）函数存在3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用导数求出函数的极值，再借助三次函数的性质列出不等式组求解即得.
【详解】函数，求导得，
当时，，函数在R上单调递增，该函数最多一个零点；
当时，由，得或，由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值，
函数存在3个零点，当且仅当，解得，
所以的取值范围为.
故选：C
9．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数，有大于的极值点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导，构建，分析可知与在有交点，对求导，利用导数分析其单调性和值域，即可得结果.
【详解】因为的定义域为，且，
令，可得，
构建，
由题意可知：与在有交点，
则对任意内恒成立，
可知在内单调递增，则，
可得，即，
所以a的取值范围为.
故选：D.
10．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知函数，若函数存在个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】当时，，则，
由，可得；由，可得.
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则；
当时，，，
所以，函数在上单调递增，
因为函数存在个零点，
令，可得，则直线与函数的图象有个交点，
如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有个交点，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题07 导数及其应用
目 录
易错点01 对导数的概念理解不到位
易错点02 错用函数的求导法则
易错点03 混淆“在某点”和“过某点”切线的区别
易错点04 利用导数求函数单调区间忽略定义域
易错点05 混淆极值点与导数等于零的点的区别
易错点06 已知单调性求参数时混淆条件
易错点07 判断函数零点个数时画图出错
易错点01：对导数的概念理解不到位
典例（24-25高二上·全国·课后作业）若函数可导，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的定义即可求解.
【详解】．
故选：C
【易错剖析】
在解题时要注意，本题容易忽略分母不是分子函数值对应自变量的差而出错.
【避错攻略】
导数的概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
【解读】①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．
几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
易错提醒：(1)，要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应；(2)的代数意义表示函数在处的瞬时变化率；(3)的几何意义表示曲线在处切线的斜率．
1．（24-25高二上·全国·课后作业）若可导函数的图象过原点，且满足，则等于（ ）
A． B．2 C． D．1
2．（24-25高二下·全国·课后作业）如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A． B．1 C．2 D．
3．（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）设函数在点附近有定义，且有（，为常数），则（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25高二上·全国·课后作业）若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（24-25高三上·广西玉林·期中）设是定义在R上的可导函数，若（a为常数），则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的值为（ ）
A．2e B．0 C．1 D．e
4．（24-25高三上·上海·期中）若函数在处的导数等于，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．2a
5．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）若函数在区间内可导，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数在处可导，且，则（ ）
A． B． C． D．2
7．（24-25高二·全国·课后作业）（多选）若函数在处存在导数，则的值（ ）
A．与有关 B．与h有关 C．与无关 D．与h无关
8．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知：当无穷大时，的值为，记为.运用上述结论，可得 .
易错点02：错用函数的求导法则
典例 （24-25高三上·山东聊城·期末）函数的导数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则可求出原函数的导数.
【详解】
．
故选：B.
【易错剖析】
本题容易错用复合函数的求导法则而出错，要注意求导公式和求导法则的适用前提.
【避错攻略】
1．求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（为常数）
2．导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3．复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
易错提醒： （1）复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即；（2）求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.
1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知某函数的导数为，则这个函数可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）下列求导运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三·全国·联考）已知函数，则（ ）
A． B． C．1 D．
1．（2025高三·全国·专题练习）函数的导数为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·北京·开学考试）在下列函数中，导函数值不可能取到1的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·山西·期中）若函数满足，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
5．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）（多选）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）（多选）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）（多选）下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）（多选）下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
易错点03：混淆“在某点”和“过某点”切线的区别
典例 （2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线.
【详解】设过点的曲线的切线为： ，
有,
解得或,
代入可得或.
故选：
【易错剖析】
本题容易误将（1,4）点当做函数的切点而出错，要注意过P点的切线P不一定是切点.
【避错攻略】
1．在点P的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2．过点P的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
【注意】在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
易错提醒：（1）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：
（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
（3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
（2）利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．
（3）求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
（1）注意曲线上横坐标的取值范围；
（2）谨记切点既在切线上又在曲线上．
1．（24-25高三上·广东·阶段练习）函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·山西晋城·期末）过原点O作曲线的切线，其斜率为2，则实数（ ）
A．e B．2 C． D．
3．（24-25高三·山东临沂·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·河南·阶段练习）曲线在处的切线经过点，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数在点处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．1
4．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）若直线 与曲线 相切，则 （ ）
A． B． C． D．4
5．（2024·河南洛阳·三模）（多选）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
6．（24-25高三·山东日照·期中）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二下·北京西城·阶段练习）已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·上海·开学考试）经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
易错点04：利用导数求函数单调区间忽略定义域
典例（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）函数的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．和
【答案】D
【分析】求出函数的导数，再解不等式即得答案.
【详解】函数的定义域为，求导得，
由，即，解得或，
所以函数的单调减区间为和.
故选：D
【易错剖析】
本题容易忽略定义域为而错选B.
【避错攻略】
1.函数单调性的判定方法
设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
【解读】①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但.
2.求可导函数单调区间的一般步骤
①确定函数的定义域；
②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.
3函数在区间上单调与求函数单调区间
单调递增；单调递增；
单调递减；单调递减.
易错提醒：（1）求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函数的单调区间；（2）含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内.
1．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）若函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024全国·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设，.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若，试讨论的单调性.
1．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．当时，函数在上单调
B．当时，函数在上不单调
C．当时，函数在上不单调
D．当时，函数在上单调
5．（23-24高二下·福建福州·期中）函数的单调递减区间是 .
6．（23-24高二下·上海·期中）函数的严格递减区间是 .
7．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数.
(1)若函数存在一条对称轴，求的值；
(2)求函数的单调区间.
易错点05：混淆极值点与导数等于零的点的区别
典例 （2024·辽宁丹东·一模）若是函数的极值点，则的值为（ ）
A． B．3 C．或3 D．或2
【答案】B
【分析】根据题意，求出函数的导数，由求出，然后针对的每一个值，进行讨论，验证是不是函数的极值点，即可得答案.
【详解】，
由题意可知或.
当时，，
令，解得或，函数在和上单调递增；
令，解得，函数在上单调递减，
所以是函数的极值点符合题意；
当时，，
所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，
故选：B.
【易错剖析】
导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导数等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反.
【避错攻略】
1．函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
2．求可导函数极值的一般步骤
第一步：先确定函数的定义域；
第二步：求导数；
第三步：求方程的根；
第四步：检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
易错提醒：（1）①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
（2）①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
1．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·天津武清·期中）已知函数有极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数在处有极大值，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1．（2024·四川泸州·一模）已知函数在处取得极大值，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25高三上·江西·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二·全国·课后作业）若函数在处有最值，则a等于（ ）
A．2 B．1 C． D．0
4．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，若的极小值为，则（ ）
A． B． C． D．2
5．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）在上有极大值，无极小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知在处有极值，则（ ）
A．或 B．或 C． D．
7．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数，当时，有极大值．则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
易错点06：已知单调性求参数时混淆条件
典例 （24-25高三上·山东临沂·期中）若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为 ．
【答案】
【详解】由题意得，，
∵函数的单调递减区间恰为，
即的解集为，
∴所以和4是的两根，
∴．
故答案为： 4.
【易错剖析】
本题易混淆f(x)在区间D上单调和f(x)的单调区间是D的区别而出错.
【避错攻略】
1.可导函数f(x)在某区间上单调
（1）可以转化为在给定区间上恒成立；
（2）给定的区间是原函数单调递增区间（或递减区间）的子区间，利用集合间关系求解
2.可导函数f(x)在某区间上不单调
（1）可转化为f'(x)在给定区间上有正有负，即在给定区间上有实根（必要条件），且有不等实根（充分条件）；
（2）可以通过求函数值域的方法解决.
（3）可以利用根的分布方法解决.
3可导函数f(x)在某区间上存在单调区间，转化为（或）有解问题.
易错提醒：
已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点：（1）熟悉基本函数的单调性。
（2）注意下列二者之间的区别：函数在区间I上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D.
注意：其中 .
（3）首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数的不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来.
1．若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·上海·期中）已知是定义域为R的函数，，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·湖北·一模）已知函数是减函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23高二下·北京海淀·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·四川凉山·一模）若都有成立，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
易错点07：判断函数零点个数时画图出错
典例 （24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求函数导数，再根据题意将导函数为零转化为两个函数和有两个交点，然后利用导数求的单调性，进而确定图象，最后根据图象确定实数a的取值范围.
【详解】因为 ，∴ ，
由已知函数f(x)有两个极值点可得有两个解
即和有两个交点，
，
∴当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，
而 时， ， 时，；
大致图象如下：
若和有两个交点只需.
故选：A.
【易错剖析】
利用导数研究函数的图像变化时一定要区分图像趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数.
【避错攻略】
1．判断函数y=f（x）在某个区间上是否存在零点，主要利用函数零点的存在性定理进行判断．首先看函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，然后看是否有．若有，则函数在区间内必有零点．
2．判断函数y=f（x）的零点个数时，常用以下方法：
（1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数；
（2）根据函数的性质结合已知条件进行判断；
（3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与轴交点的个数来判断．
3．已知函数有零点（方程有根），求参数的取值范围常用的方法：
方法1：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
方法2：分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决．
方法3：数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解．
易错提醒：判断函数零点个数的方法：
方法1：利用零点存在性定理判断法；
方法2：代数法：求方程的实数根；
方法3：几何法：对于不易求根的方程，将它与函数的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性并分析函数图像的变化趋势．
1．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·全国·专题练习）若函数和的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，则函数和为“对偶函数”．已知，是“对偶函数”，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数.若函数有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则恰有2个零点
B．若恰有2个零点，则的取值范围是
C．若恰有3个零点，则的取值范围是
D．若，则恰有3个零点
5．（23-24高三上·天津·期中）已知函数，若函数有且只有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东·一模）函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知函数有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高二下·四川凉山·期中）函数存在3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数，有大于的极值点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知函数，若函数存在个零点，则的取值范围是 .
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