专题11 立体几何与空间向量
目 录
题型一：立体几何初步
易错点01 对斜二测法规则掌握不牢出错
易错点02 线面位置关系考虑不全面出错
易错点03 对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻
题型二 空间向量及其应用
易错点04 忽略建系的条件而出错
易错点05 忽略异面直线所成角的范围出错
易错点06 混淆线面角与法向量与直线方向向量的夹角
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题型一：立体几何初步
易错点01：对斜二测法规则掌握不牢出错
典例 （2024·山西太原高三模拟）如图，是用斜二测画法得到的△AOB的直观图，其中则AB的长度为 ．
【答案】
【解析】把直观图还原为,如图所示：
根据直观图画法规则知,,
所以的长度为.
故答案为：.
【易错剖析】
直观图还原原图时容易混淆长度的“变”与“不变”，即与轴平行(重合)的线段长度不变，与轴平行(重合)的线段长度直观图是原图的一半.
【避错攻略】
1.空间几何体的直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.
直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.
2.水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法）
（1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或）
（2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段.
（3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半.
（4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图.
方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有.
3.空间几何体的直观图的绘制方法
（1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面；
（2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；
（3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；
（4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.
4.斜二测画法保留了原图形中的三个性质
①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．
易错提醒：斜二测画法要注意： ①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半.
1．（2025高三·全国·专题练习）已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·浙江·期中）水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ）
A． B．
C． D．
1．（23-24高三下·山西运城·期末）如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（ ）
A． B． C．6 D．
3．（24-25高三·安徽池州·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
4．（23-24高三上·河北邢台·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高三·专题测试）已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕 转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三·全国·专题练习）（多选）如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）（多选）已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形，则（ ）
A．的最小值小于 B．的最大值小于
C．的最小值大于 D．的最大值大于
8．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知在斜二测画法下的直观图(其中A与对应，B与对应)为下图所示的，其中，，则的面积为 ；以该为底面的三棱锥中，，，则三棱锥的外接球半径为 .
易错点02：线面位置关系考虑不全面出错
典例 （2024·甘肃兰州校考模拟预测）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】当，时，可能有，但也有可能或，故A选项错误；
当，时，可能有，但也有可能或，故选项B错误；
在如图所示的正方体中，
取为，为，为平面，为平面，这时满足，，，但不成立，故选项C错误；
当，，时，必有，从而，故选项D正确；
故选：D.
【易错剖析】
本题求解时容易因为考虑不全面而出错.
【避错攻略】
1、 平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
【解读】①此公理是判定直线在平面内的依据；②此公理是判定点在面内的方法
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)．
【解读】①此公理是确定一个平面的依据；②此公理是判定若干点共面的依据.
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
【解读】①此推论是判定若干条直线共面的依据；
②此推论是判定若干平面重合的依据；
③此推论是判定几何图形是平面图形的依据.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
【解读】①此公理是判定两个平面相交的依据；
②此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）；
③此推论是判定几何图形是平面图形的依据.
2、 空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
【解读】①两条异面直线不能确定一个平面．
②不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.
易错提醒：确定空间中点线面位置关系，热点是线线、线面位置关系，空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线,可采用直接法或反证法；对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决，确定位置关系时要考虑到所有可能,一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。
1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知直线平面，点，那么过点且平行于直线的直线（ ）
A．有且只有1条，且在平面内 B．有且只有1条，不在平面内
C．有无数条，不都在平面内 D．有无数条，都在平面内
2．（24-25高二上·上海·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．两个平面可以有且仅有一个公共点 B．三条相互平行的直线必在同一个平面内
C．两两相交的三条直线一定共面 D．过不在一直线上的三点有且仅有一个平面
3．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）在三棱锥中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线EH与FG一定平行 B．直线EH与FG一定相交
C．直线EH与FG可能异面 D．直线EH与FG一定共面
1．（2024·陕西铜川·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若直线两两相交，则直线共面
B．若直线与平面所成的角相等，则直线互相平行
C．若平面上有三个不共线的点到平面的距离相等，则平面与平面平行
D．若不共面的4个点到平面的距离相等，则这样的平面有且只有7个
2．（2024·宁夏银川·三模）是两个不同的点，为两个不同的平面，下列推理错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·四川南充·三模）如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．E、F、G、H四点共面
C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为
D．、、三线共点
4．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）在空间中，下列命题是真命题的是（ ）
A．经过三个点有且只有一个平面
B．垂直同一直线的两条直线平行
C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D．若两个平面平行，则其中一个平面中的任何直线都平行于另一个平面
5．（2025高三·全国·专题练习）在正方体中，下列选项错误的是（ ）
A．与异面 B．
C．平面平面 D．平面
6．（24-25高三上·天津·阶段练习）m，n为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（ ）
A．，，则
B．m，n与所成角均为30°，则
C．，，，则直线m，n到的距离相等
D．，，则m，n可以是异面直线
易错点03：对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻
典例 （2025高三上·专题训练）已知四棱锥的底面为菱形，其中，点在线段上，若平面平面，则 ．
【答案】/0.4
【详解】设平面与直线交于点，连接，取中点，连接，与交于点，连接，
因为，平面，平面，所以平面，
又平面平面，平面，所以，从而，
又菱形中，，所以是等边三角形，则，
而，所以，
又，平面，所以平面，
而平面，所以，从而，
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，
设，则由已知得，，
，，
中，，从而，，，
，
所以.
故答案为：.
【易错剖析】
在利用面面垂直的性质定理的过程中，往往以为两个面内的任意两条直线都垂直而出错。
【避错攻略】
空间中的垂直关系
（1）线线垂直
①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直
②勾股定理的逆定理证线线垂直
③菱形、正方形的对角线互相垂直
（2）线面垂直的判定定理
判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直
图形语言 符号语言
（3）线面垂直的性质定理
性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
图形语言 符号语言
性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行
图形语言 符号语言
（4）面面垂直的判定定理
判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直 （或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）
图形语言 符号语言
（5）面面垂直的性质定理
性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面
图形语言 符号语言
易错提醒：线面垂直的判定定理使用时一定要注意直线与平面内两相交直线垂直；面面垂直的性质定理要注意一个平面内直线和两个平面的交线垂直，才能推出直线与平面垂直.
1．（24-25高三上·天津河西·期末）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知在三棱锥中，平面平面，，，，，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·湖南怀化·期中）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上一点（不同于，）且，则二面角的大小为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
1．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（24-25高三上·上海浦东新·期末）设、为两条直线，、为两个平面，且．下述四个命题中为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若且，则 D．若，则或
3．（2025高三·全国·专题练习）设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，，则或与相交
4．（2025高三·全国·专题练习）已知三棱柱的棱长均为3，为的中点，在上，且平面，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·山西大同·阶段练习）已知菱形的边长为，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·山东·阶段练习）（多选）如图，在棱长为1的正四面体中，点是顶点在底面内的射影，为的中点，则（ ）
A．
B．
C．点到平面的距离为
D．三棱锥的外接球体积为
7．（2025高三·全国·专题练习）（多选）如图，在三棱柱中，平面，点分别为棱，的中点，，则（ ）
A．若，则 B．平面
C． D．
题型二 空间向量及其应用
易错点04：忽略建系的条件而出错
典例 （2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．
(1)若为线段中点，求证：平面．
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值.
【详解】（1）取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面.
（2）
因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为
【易错剖析】
在建立空间坐标系以前，必须要先证明需要的垂直关系，以防因步骤不全而丢分.
【避错攻略】
1.空间直角坐标系的定义
在空间中选定一点O和一个单位正交基底，以点O为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫作原点，，，都叫作坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.
2.画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使（或45°），.
3.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
4.空间点的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，，，为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理得，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫作点A在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中x叫作点A的横坐标，y叫作点A的纵坐标，z叫作点A的竖坐标.
5.建立空间直角坐标系策略
策略一：建立空间直角坐标系时，可以按照以下步骤进行
（1）确定空间直角坐标系的三个坐标轴方向，一般选择为某轴、y轴和z轴。
（2）确定空间直角坐标系的原点，一般选择为三个轴的交点。
（3）确定坐标轴的正方向，一般按照右手定则确定，即当右手的大拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向时，中指所指的方向即为z轴正方向。
（4）确定坐标轴的长度和间距，一般选择适当的数值，方便计算。
（5）根据需要，可以在空间直角坐标系中建立坐标系网格和标注坐标轴上的刻度值，方便进行坐标计算和表示几何体。
策略二：利用共顶点且相互垂直的三条棱建系：
策略三：利用线面垂直建系
策略四：利用面面垂直建系
策略五：利用正棱锥的中心与高所在直线建系
易错提醒：利用空间坐标系处理空间角、空间距离问题，是高考中的重点题目，但在建立坐标系以前必须先证明要用到的垂直关系，而不能相当然的利用图中的直线作为空间坐标系的坐标轴.
1．（24-25高三上·江苏扬州·期末）（多选）如图，在棱长为1的正四面体中，点是顶点在底面内的射影，为的中点，则（ ）
A．
B．
C．点到平面的距离为
D．三棱锥的外接球的表面积为
2．（24-25高三上·天津河西·期末）如图所示，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，，点在平面上的投影为线段的中点分别是线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离.
3．（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.
(1)证明：平面.
(2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）在空间几何体中，四边形均为直角梯形．如图，设，，．
(1)求证：平面平面；
(2)若二面角的余弦值为，求的值．
2．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面ABCD，，，，，，点E为线段PD上的动点．
(1)若平面平面，求证：；
(2)若平面ABE与平面PCD的夹角的余弦值为，求的值．
3．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）如图，在三棱柱中，平面．
(1)证明：．
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
4．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面是菱形，平面平面，分别是棱，的中点，是棱上一点，且
(1)证明：平面；
(2)在菱形中，若，
（ⅰ）求三棱锥的体积；
（ⅱ）若二面角的余弦值为，求的值
5．（24-25高三上·山东·阶段练习）如图，在四棱锥中，分别为棱的中点，平面，四边形是边长为4的正方形.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
易错点05：忽略异面直线所成角的范围出错
典例 （24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知正方体，E为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线夹角的余弦.
【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，
则，，
因此，
所以异面直线，所成角的余弦值为.
故选：A
【易错剖析】
本题在求异面直线所成角的余弦时易忽略异面直线所成角的范围而错选B.
【避错攻略】
1.两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
【解读】（1）在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．
（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路．
2．异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为．
3．两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b． 求异面直线所成的角的步骤
4．求异面直线所成的角的方法
（1）几何法
一作，即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角
二证，即证明作出的角是异面直线所成的角
三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角
（2）向量法
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为θ，则
易错提醒：求解异面直线所成角相关问题时，要注意两点：一是几何法所做的角和异面直线所成角相等或互补；二是异面直线的方向向量所成角一异面直线所成角也是相等或互补的关系，而区分的依据都是异面直线所成角的范围.
1．（2025高三·全国·专题练习）若异面直线的方向向量与的方向向量的夹角为，则与所成的角为（ ）
A． B．
C．或 D．以上均不对
2．（24-25高三上·湖南·开学考试）两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知则线段的长为（ ）
A．8 B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，点为上靠近点的三等分点，点为上靠近点A的四等分点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
1．（2024·贵州毕节·三模）在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为4，点是底面内一动点，且，则当，两点间距离最小时，直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·重庆北碚·阶段练习）已知正方体的棱长为1，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·陕西榆林·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点，，直线与所成角的大小为，则四校锥的体积为 .
4．（23-24·高三上·海阶段练习）已知四面体中，，E、F分别为、的中点，且异面直线与所成的角为，则___________.
5．（24-25·高三·上海复旦附中期中）如图所示，在三棱锥中，，、分别为与的中点，，则异面直线与所成角的大小是______．
6．（2024·海南·模拟预测）如图，已知线段为圆柱的三条母线，为底面圆的一条直径，是母线的中点，且.
(1)求证：平面DOC；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
7．（2024·上海宝山·一模）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且该四棱锥的体积为.
(1)证明：平面底面；
(2)求异面直线和所成角的余弦值.
8．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，点E，F分别为棱，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与直线的夹角的余弦值．
易错点06：混淆线面角与法向量与直线方向向量的夹角
典例 （2024·四川广安统考二模）已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点在底面的射影为中点，则平面，
又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，
、、的方向分别为、、轴的
正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为平面，平面，则，
因为，，则，
则、、、，
所以，，
易知平面的一个法向量为，
，
因此，直线与平面所成角的余弦值为.故选：B.
【易错剖析】
本题容易误认为直线与平面所成角的余弦值等于与法向量的夹角的余弦而出错.
【避错攻略】
1.直线与平面所成角
（1）斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.
【解读】斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.
直线和平面所成角
①平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；
②直线与平面垂直时，它们的所成角为；
③直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.
故直线与平面所成角的范围为.
2.直线与平面所成角的求法
（1）几何法
①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线；
②连接斜足与垂足；
③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角.
（2）等体积法
①利用等体积法求垂线段的长；
②
（3）向量法
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
易错提醒：易错点为线面角与向量夹角转化不清等问题，若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值.
1．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，分别是直线与平面的方向向量、法向量，若，则与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·河北石家庄·期末）已知圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为（ ）
A．15° B． C． D．
3．（24-25高三上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，已知是的中点，则与平面所成角的余弦值为 ．
1．（2024高三·全国·专题练习）已知正四棱台的侧面积为，，，则与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）在平行六面体中，，则与平面ABCD所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川攀枝花·一模）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三·全国·专题练习）已知三棱锥，，，，则直线与平面所成角的正切值为 ，三棱锥外接球的体积为 .
5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图，在直三棱柱中，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
7．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习） 如图（1），在平面四边形中，，， 过点作，垂足为．如图（2），把沿折起，使得点A到达点处，且．
(1)证明：．
(2)若点为的点，求直线与平面所成角的正弦值．
8．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，E是棱上的动点（不含端点），F是棱上的动点．
(1)求证：无论E点如何运动，总存在点F为使得；
(2)若为等边三角形，二面角的大小为，直线与平面所成角的正弦值为 ，求的值.
易错点06：混淆线面角与法向量与直线方向向量的夹角
【典例】 （2025高三阶段性训练）在正方体中，设，分别为棱，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】（1）连接交于，连接，，.
在正方体中，，，四边形是平行四边形，
所以，.
正方形中，，故是的中点，
所以，且，
在中，，分别是，的中点，
所以，且，
所以，且，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
所以平面.
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设正方体的棱长为2，故，，，，.
在正方体中，平面，故是平面的一个法向量.
设是平面的法向量，，，
故即
取，则
所以是平面的一个法向量.
故，
设二面角的大小为，
据图可知，，
所以二面角的余弦值为.
【易错剖析】
本题在利用平面的法向量求二面角时，容易误认为二面角等于两个半平面法向量所成的角而出错。
【避错攻略】
1、二面角的定义
（1）半平面：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面．
（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面．
（3）平面角：如图，在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角．
2、二面角的度量
二面角大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小，特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角，二面角的范围是．
3、 用空间向量求二面角的大小
（1）二面角与法向量夹角关系：如果，分别是平面，的一个法向量，设与所成角的大小为，与的夹角为，则有向量与的夹角或其补角就是二面角的平面角（如图所示）．
（2）向量法求二面角
①，
当时，取“＋”号；当时，取“－”号．
②，不需要进行符号的判断，进一步可由确定二面角的大小．
易错提醒：判断二面角与法向量夹角的关系有两种，一是通过图形判断，即设两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成夹角为锐二面角为，则；规定两个平面所成夹角范围，则钝二面角；二是根据两个法向量的方向进行判断，即同进同出互补，一进一出相等.
1．（2024高三·全国·专题练面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
2．（24-25高三上·全国·课后作业）在棱长为的正方体中，满足，，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平行六面体中，．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面平面，点在线段上，且直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值．
1．（24-25高二上·湖南娄底·阶段练习）已知二面角中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则二面角的平面角满足（ ）
A．余弦值为 B．正弦值为
C．大小为 D．大小为
2．（24-25高三上·湖北·期末）如图，四棱锥中，是边长为2的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，．
(1)证明：；
(2)过两点的平面与直线分别交于点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值．
3．（24-25高三上·甘肃武威·期末）如图，在三棱柱中，四边形和均为矩形，.
(1)证明：；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.
4．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）如图，边长为6的正三角形中，为的三等分点（靠近点），分别为的三等分点（靠近点）.将沿折起到的位置，连结，取中点，连结.
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，求二面角的大小.
5．（24-25高三上·湖南郴州·期末）如图，在几何体中，平面，，且，四边形为菱形，，.
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
6.如图所示，在三棱柱中，侧棱底面为的中点..
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题11 立体几何与空间向量
目 录
题型一：立体几何初步
易错点01 对斜二测法规则掌握不牢出错
易错点02 线面位置关系考虑不全面出错
易错点03 对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻
题型二 空间向量及其应用
易错点04 忽略建系的条件而出错
易错点05 忽略异面直线所成角的范围出错
易错点06 混淆线面角与法向量与直线方向向量的夹角
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
题型一：立体几何初步
易错点01：对斜二测法规则掌握不牢出错
典例 （2024·山西太原高三模拟）如图，是用斜二测画法得到的△AOB的直观图，其中则AB的长度为 ．
【答案】
【解析】把直观图还原为,如图所示：
根据直观图画法规则知,,
所以的长度为.
故答案为：.
【易错剖析】
直观图还原原图时容易混淆长度的“变”与“不变”，即与轴平行(重合)的线段长度不变，与轴平行(重合)的线段长度直观图是原图的一半.
【避错攻略】
1.空间几何体的直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.
直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.
2.水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法）
（1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或）
（2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段.
（3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半.
（4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图.
方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有.
3.空间几何体的直观图的绘制方法
（1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面；
（2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；
（3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；
（4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.
4.斜二测画法保留了原图形中的三个性质
①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．
易错提醒：斜二测画法要注意： ①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半.
1．（2025高三·全国·专题练习）已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由直观图作出直角梯形的平面图形，然后斜二测画法规则结合已知的数据可求得结果.
【详解】由直观图作出直角梯形的平面图形，如图.
按照斜二测画法规则，由，
得直角梯形中，，.
过作，交于，
则，
所以直角梯形边的长度为，
故选：B.
2．（24-25高三上·浙江·期中）水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
【答案】B
【分析】由图形和通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边，，且，故三角形为等比三角形.
【详解】由图形知，在原中，，因为，则，
因为，则，所以，即原是一个等边三角形；
故选：B
3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据斜二测画法规则还原出原图形，进而确定旋转体的形状，再根据相关特征计算几何体体积即可.
【详解】解：由题意，
所以 ，
如图，原图形 中， ，
所以直角梯形 的边 为轴旋转一周得到的几何体为圆台，
，
故选：D.
1．（23-24高三下·山西运城·期末）如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由斜二测画法画出圆图可得答案.
【详解】由斜二测画法规则知，正方形的原实际图形是平行四边形，
如图，其中，
因此有，
所以原图形的周长为.
故选：B.
2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】根据斜二测的性质还原图形，再由勾股定理即可求解.
【详解】解：还原四边形，如图所示：
依题意可得：．
取的中点，连接，
则，且，
故.
故选：B.
3．（24-25高三·安徽池州·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】结合图形可得，则可得四边形面积，后可得四边形的面积.
【详解】设轴与交点为D，因轴，轴，则，
又轴，则四边形为平行四边形，故.
又，结合A′B′⊥x′轴，则，故.
则四边形面积为，
因四边形面积是四边形的面积的倍，
则四边形OABC的面积为.
故选：B
4．（23-24高三上·河北邢台·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由三角形面积公式求出的长，结合斜二测画法可得原图中的长.
【详解】画出平面直角坐标系，在轴上取，即，
在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取，
过点作轴，并使，
连接，则即为原来的图形，如图②所示：
原图形中，于点，
则BD为原图形中边上的高，且，
在直观图③中作于点，则的面积，
在直角三角形中，，
所以，
故原图形中AC边上的高为．
故选：D．
5．（2025高三·专题测试）已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕 转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将梯形复原为原图即直角梯形，确定相关的边长，结合题意以及圆台的侧面积公式，即可求得答案.
【详解】由题意将梯形复原为原图，即直角梯形，
其中，则，
故将梯形绕 转一周得到一个几何体为圆台，
圆台上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，母线长为5，
故该几何体的侧面积为，
故选：C
6．（2025高三·全国·专题练习）（多选）如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】首先算出长度，再利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，从而判断各个选项正误.
【详解】如图所示，在直观图中，过作于，
.
又，
所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图：
那么有，故选项B正确；
又因为，故选项A C错误；
而，故选项D正确.
故选：BD.
7．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）（多选）已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形，则（ ）
A．的最小值小于 B．的最大值小于
C．的最小值大于 D．的最大值大于
【答案】AD
【分析】根据题意，由斜二测画法的性质，画出直观图，然后对选项逐一判断，即可得到结果
【详解】
对于AB选项，考虑正方形的一条边与轴重合，由斜二测画法的性质，
另一条边与轴重合，如图所示，
由于对称性与旋转可换性，图中与均等价为所求角.
而由斜二测图性质， ，
过作的垂线，则，
即，故的最小值小于，故正确；
过作的垂线，易有，且，
故，则的最大值大于，故B错误；
对于CD选项，设图形绕点逆时针旋转，则 ，
即 ，
其中，则最小值为，
最大值为， 故C错误， D正确.
故选 ：AD.
8．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知在斜二测画法下的直观图(其中A与对应，B与对应)为下图所示的，其中，，则的面积为 ；以该为底面的三棱锥中，，，则三棱锥的外接球半径为 .
【答案】
【分析】根据斜二测画法得到中，对应的高为，求出面积，并得到为等边三角形，并作出辅助线，得到三棱锥外接球的球心，由余弦定理得到，并求出外接球的半径.
【详解】由斜二测画法原理可知中，，边上的高，
所以；
由勾股定理得，故为等边三角形，
由得是边长为2的等边三角形.
设D，E分别为，的外心，的中点为F，
连接，，过点D，E分别作平面、平面的垂线，
设两垂线交于点O，则点O为该三棱锥外接球的球心，
连接，，则 为外接球的半径，
依题意，且，，
由余弦定理得，
所以，由E为的外心，
所以，，
因为，，，
所以，
所以，所以，
所以，
即外接球的半径.
故答案为：，
易错点02：线面位置关系考虑不全面出错
典例 （2024·甘肃兰州校考模拟预测）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】当，时，可能有，但也有可能或，故A选项错误；
当，时，可能有，但也有可能或，故选项B错误；
在如图所示的正方体中，
取为，为，为平面，为平面，这时满足，，，但不成立，故选项C错误；
当，，时，必有，从而，故选项D正确；
故选：D.
【易错剖析】
本题求解时容易因为考虑不全面而出错.
【避错攻略】
1、 平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
【解读】①此公理是判定直线在平面内的依据；②此公理是判定点在面内的方法
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)．
【解读】①此公理是确定一个平面的依据；②此公理是判定若干点共面的依据.
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
【解读】①此推论是判定若干条直线共面的依据；
②此推论是判定若干平面重合的依据；
③此推论是判定几何图形是平面图形的依据.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
【解读】①此公理是判定两个平面相交的依据；
②此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）；
③此推论是判定几何图形是平面图形的依据.
2、 空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
【解读】①两条异面直线不能确定一个平面．
②不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.
易错提醒：确定空间中点线面位置关系，热点是线线、线面位置关系，空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线,可采用直接法或反证法；对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决，确定位置关系时要考虑到所有可能,一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。
1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知直线平面，点，那么过点且平行于直线的直线（ ）
A．有且只有1条，且在平面内 B．有且只有1条，不在平面内
C．有无数条，不都在平面内 D．有无数条，都在平面内
【答案】A
【分析】根据线面平行的性质可得存在性，根据平行的传递性可得唯一性，故可得正确的选项.
【详解】由题设，故存在唯一平面，是的，
设，因为平面，，故，而，
故存在一条直线与平行，若还有另一条直线，则，
而，矛盾，故有且只有1条，且在平面内，
故A正确，
故选：A.
2．（24-25高二上·上海·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．两个平面可以有且仅有一个公共点 B．三条相互平行的直线必在同一个平面内
C．两两相交的三条直线一定共面 D．过不在一直线上的三点有且仅有一个平面
【答案】D
【分析】以正方体为载体，结合空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解.
【详解】在A中，两个平面有一个公共点时，这两个平面交于一条直线，故A错误；
在B中，在正方体中，AB、DC、三条直线互相平行，但不共面，
故三条互相平行的直线可以在不同的平面内，故B错误；
在C中，在正方体中，两两相交的三条直线AB、AD、不共面，
故两两相交的三条直线不一定共面，故C错误；
在D中，过不在一直线上的三点有且仅有一个平面，定理正确，故D正确.
故选：D.
3．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）在三棱锥中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线EH与FG一定平行 B．直线EH与FG一定相交
C．直线EH与FG可能异面 D．直线EH与FG一定共面
【答案】D
【分析】根据两条平行线确定一个平面，即可求解.
【详解】由于，所以E，F，G，H四点确定一个平面EFGH，因此直线EH与FG一定共面，故D正确，C错误；
只有当,时，此时四边形为平行四边形，此时，故A不正确；
只有当但时，此时四边形EFGH为梯形，此时EH，GF相交于一点，故B不正确.
故选：D.
1．（2024·陕西铜川·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若直线两两相交，则直线共面
B．若直线与平面所成的角相等，则直线互相平行
C．若平面上有三个不共线的点到平面的距离相等，则平面与平面平行
D．若不共面的4个点到平面的距离相等，则这样的平面有且只有7个
【答案】D
【分析】根据题意，结合空间中直线与平面位置关系的判定和性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，当直线交于同一点时，则直线可能不共面，所以A错误；
对于B中，当直线倾斜方向不同时，直线与平面所成的角也可能相等，所以B错误；
对于C中，当这3个点不在平面的同侧时，平面与平面相交，所以C错误；
对于D中，根据题意，显然这4个点不可能在平面的同侧，
当这4个点在平面两侧1，3分布时，这样的平面有4个，
当这4个点在平面两侧2，2分布时，这样的平面有3个，
所以这样的平面有且只有7个，所以D正确.
故选：D．
2．（2024·宁夏银川·三模）是两个不同的点，为两个不同的平面，下列推理错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】A、B可由书上的公理可直接判断；C可由与相交时，交点为A点的情况进行判断；D可直接根据线面位置关系来判断点面位置关系.
【详解】A，直线上两个不同点在某个平面内，则直线在该平面内，故正确；
B，两个不同点同时在两个不同平面内，则两点所在直线为两平面的交线，故正确；
C，有两种情况，与相交或，其中与相交，且交点为A点，则C错误；
D，直线在面内，则直线上的点都在面内，故结论正确；
故选：C.
3．（2024·四川南充·三模）如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．E、F、G、H四点共面
C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为
D．、、三线共点
【答案】C
【分析】根据线线平行及菱形对角线垂直判断A，根据两直线平行确定平面判断B，作出截面四边形，根据截面边长的大小判断C，利用相交平面的公共点共线得三点共线可判断D.
【详解】如图，
连接，由分别为中点，可得，
由可知，侧面为菱形，
所以，所以，故A正确；
连接，因为E、F、G、H分别为、、、的中点，
所以，，所以，所以E、F、G、H四点共面，故B正确；
延长交的延长线于点，连接，交于点，连接，，
设确定平面为，则，所以，所以，
则易知三棱柱的截面四边形为， 在中，，
在中，，而中，，
而，所以截面的周长大于，故C错误；
由B知，且，所以梯形的两腰、所在直线必相交于一点，
因为平面，平面，
又平面平面，所以，所以与重合，
即、、三线共点于，故D正确.
故选：C
4．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）在空间中，下列命题是真命题的是（ ）
A．经过三个点有且只有一个平面
B．垂直同一直线的两条直线平行
C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D．若两个平面平行，则其中一个平面中的任何直线都平行于另一个平面
【答案】D
【分析】借助长方体以及平行六面体，举例即可判断B、C；根据面面平行的定义，即可判断D项.
【详解】对于A项，若三点共线，则经过三个点的平面有无数个，故A项错误；
对于B项，如图1，长方体中，有，，但是，故B项错误；
对于C项，如图2，平行六面体中，，，但是与不相等，故C项错误；
对于D项，若两个平面平行，根据面面平行的定义可知，其中一个平面中的任何直线都平行于另一个平面，故D项正确.
故选：D.
5．（2025高三·全国·专题练习）在正方体中，下列选项错误的是（ ）
A．与异面 B．
C．平面平面 D．平面
【答案】D
【分析】根据异面直线的性质即可求解A，根据线面垂直的性质可判断B，根据线线平行可证明线面平行判断D，根据面面平行的判定求解C.
【详解】由于,而与相交，结合正方体的性质易知与异面，所以A正确；
因为平面，平面，所以，
又在正方体中易知，，
，平面，所以平面，
又平面，所以，所以B正确；
因为，平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
因为，，平面，
所以平面平面，所以C正确；
因为，平面，平面，
所以平面，所以D错误．故选D．
故选：D
6．（24-25高三上·天津·阶段练习）m，n为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（ ）
A．，，则
B．m，n与所成角均为30°，则
C．，，，则直线m，n到的距离相等
D．，，则m，n可以是异面直线
【答案】D
【分析】根据直线、平面的位置关系、等角定理，结合图形，通过举反例进行判断.
【详解】对于A，，，则有可能，A错误；
对于B，m，n与所成角均为30°，则可能相交或平行或异面，B错误；
对于C，，，，直线m，n到的距离可以不相等，C选项错误；
对于D，，，则m，n可以是平行直线，相交直线，也可以是异面直线，D选项正确.
故选：D.
易错点03：对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻
典例 （2025高三上·专题训练）已知四棱锥的底面为菱形，其中，点在线段上，若平面平面，则 ．
【答案】/0.4
【详解】设平面与直线交于点，连接，取中点，连接，与交于点，连接，
因为，平面，平面，所以平面，
又平面平面，平面，所以，从而，
又菱形中，，所以是等边三角形，则，
而，所以，
又，平面，所以平面，
而平面，所以，从而，
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，
设，则由已知得，，
，，
中，，从而，，，
，
所以.
故答案为：.
【易错剖析】
在利用面面垂直的性质定理的过程中，往往以为两个面内的任意两条直线都垂直而出错。
【避错攻略】
空间中的垂直关系
（1）线线垂直
①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直
②勾股定理的逆定理证线线垂直
③菱形、正方形的对角线互相垂直
（2）线面垂直的判定定理
判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直
图形语言 符号语言
（3）线面垂直的性质定理
性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
图形语言 符号语言
性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行
图形语言 符号语言
（4）面面垂直的判定定理
判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直 （或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）
图形语言 符号语言
（5）面面垂直的性质定理
性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面
图形语言 符号语言
易错提醒：线面垂直的判定定理使用时一定要注意直线与平面内两相交直线垂直；面面垂直的性质定理要注意一个平面内直线和两个平面的交线垂直，才能推出直线与平面垂直.
1．（24-25高三上·天津河西·期末）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】根据各项给定的线面、面面的位置关系，结合平面的的基本性质及空间想象判断正误即可.
【详解】A：若，则、可能平行或相交，故A错；
B：若，则或，故B错；
C：若，则或，故C错；
D：若，则存在直线，使得，
又，所以，所以.故D对.
故选：D
2．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知在三棱锥中，平面平面，，，，，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由面面垂直的性质得到平面，利用余弦定理及基本不等式求出，从而求出的面积最大值，最后根据计算可得；
【详解】解：因为，即，又平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
在中，，由余弦定理，
即，所以，所以，当且仅当时取等号；
所以，即的面积最大值为；
所以，即三棱锥的体积的最大值为；
故选：D
3．（24-25高三上·湖南怀化·期中）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上一点（不同于，）且，则二面角的大小为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】C
【分析】根据线面垂直的性质定理和直径所对的圆周角为得出平面，确定为二面角的一个平面角，由几何关系得出结果.
【详解】由已知，平面，
平面，平面，
，
，
是等腰直角三角形，
是直径，是圆周上的一点，
，即，
又，
平面，
又平面平面，
为二面角的一个平面角，
即二面角的大小为，
故选：C
1．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据线面、面面垂直的判定定理与性质定理判断即可.
【详解】充分性：若，因为，，，所以，
因为，所以，则充分性成立.
必要性：当时，与不一定垂直，则必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．（24-25高三上·上海浦东新·期末）设、为两条直线，、为两个平面，且．下述四个命题中为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若且，则 D．若，则或
【答案】B
【分析】选项A，利用线面垂直的性质，即可求解；选项B，在正方体中，通过取特例，即可求解；选项C和D，利用线面平行的性质和判定，即可求解.
【详解】对于选项A，因为，所以，又，所以，故选项A是真命题，
对于选项B，如图，取平面为，平面为，则直线为直线，取为直线，
显然有，但与异面，所以选项B为假命题，
对于选项C，在内任取不在直线上的一点，过确定，则，因为，所以，
同理可得，，所以，又，故，
又，所以，得到，故选项C为真命题，
对于选项D，因为，所以，，若，因为，则，
若，易知，又，，所以，故选项D为真命题，
故选：B.
3．（2025高三·全国·专题练习）设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，，则或与相交
【答案】D
【分析】对于ABC：根据空间线、面垂直关系逐项分析判断即可；对于D：根据线、面平行关系分析判断即可.
【详解】对于A，若，，则，
又，则或，故A错误；
对于B，若，，，则与还可能平行或相交，故B错误；
对于C，若，，则或，故C错误；
对于D，若，，，，则与平行或相交，故D正确；
故选：D．
，故C正确.
故选：ACD
4．（2025高三·全国·专题练习）已知三棱柱的棱长均为3，为的中点，在上，且平面，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等体积法进行转化，求出，证明出⊥平面，故点到平面的距离为，利用得到答案.
【详解】如图，因为三棱柱的棱长均为3，所以是边长为3的等边三角形，
因为为的中点，所以⊥，，
因为平面，且，平面，所以，，
则在中，，
．
因为，平面，平面，所以平面，
则上所有点到平面的距离相等，
因为⊥，，，平面，
所以⊥平面，
又因为在上，故点到平面的距离为，
所以.
故选：D
5．（24-25高三上·山西大同·阶段练习）已知菱形的边长为，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先把平面平面，转化为，再利用等边三角形的性质，确定和的外接圆的圆心的位置，从而得到四边形为正方形，进一步得到，再求出的外接圆半径，在包含球半径的中求解即可.
【详解】如图所示，取的中点，连接，
由题意可知和均为全等的等边三角形，
所以，且，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，因为平面，所以.
设为球心，为的外心，为的外心，
则平面，平面，且，
所以四边形为正方形，即.
又因为的外接圆半径，
所以在中，，即，
所以球的表面积为.
故选：B.
6．（24-25高三上·山东·阶段练习）（多选）如图，在棱长为1的正四面体中，点是顶点在底面内的射影，为的中点，则（ ）
A．
B．
C．点到平面的距离为
D．三棱锥的外接球体积为
【答案】AC
【分析】利用正四面体的结构特征，求出，再结合线面垂直、球的体积公式判断各选项即可.
【详解】在棱长为1的正四面体中，平面，连接，
则，,，
，同理，
对于A，，则，A正确；
对于B，由选项A知，，若，而平面，
则平面，又平面，于是，，
而，即，因此不垂直，B错误；
对于C，由选项A知，两两垂直，则有平面，
因此点到平面的距离为，C正确；
对于D，三棱锥的外接球与以为棱的正方体外接球相同，
则该球的直径为，半径为，体积为，D错误.
故选：AC
7．（2025高三·全国·专题练习）（多选）如图，在三棱柱中，平面，点分别为棱，的中点，，则（ ）
A．若，则 B．平面
C． D．
【答案】AC
【分析】由几何关系可得A正确；由线面垂直的定义可得B错误；由线面垂直的判定定理可得C正确；连接，由得到与不平行可得D错误；
【详解】对于A，在三棱柱中，，
又，则，
又，故，故A正确；
对于B，因为分别为的中点，所以，
又由题可知，即与不垂直，因此与不垂直，
又平面，所以与平面不垂直，故B错误；
对于C，因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以，故C正确；
对于D，如图，连接，因为分别为的中点，且，
所以且，所以四边形是平行四边形，
所以，又，所以与不平行，
故与不平行，故D错误；
故选：AC.
题型二 空间向量及其应用
易错点04：忽略建系的条件而出错
典例 （2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．
(1)若为线段中点，求证：平面．
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值.
【详解】（1）取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面.
（2）
因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为
【易错剖析】
在建立空间坐标系以前，必须要先证明需要的垂直关系，以防因步骤不全而丢分.
【避错攻略】
1.空间直角坐标系的定义
在空间中选定一点O和一个单位正交基底，以点O为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫作原点，，，都叫作坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.
2.画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使（或45°），.
3.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
4.空间点的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，，，为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理得，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫作点A在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中x叫作点A的横坐标，y叫作点A的纵坐标，z叫作点A的竖坐标.
5.建立空间直角坐标系策略
策略一：建立空间直角坐标系时，可以按照以下步骤进行
（1）确定空间直角坐标系的三个坐标轴方向，一般选择为某轴、y轴和z轴。
（2）确定空间直角坐标系的原点，一般选择为三个轴的交点。
（3）确定坐标轴的正方向，一般按照右手定则确定，即当右手的大拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向时，中指所指的方向即为z轴正方向。
（4）确定坐标轴的长度和间距，一般选择适当的数值，方便计算。
（5）根据需要，可以在空间直角坐标系中建立坐标系网格和标注坐标轴上的刻度值，方便进行坐标计算和表示几何体。
策略二：利用共顶点且相互垂直的三条棱建系：
策略三：利用线面垂直建系
策略四：利用面面垂直建系
策略五：利用正棱锥的中心与高所在直线建系
易错提醒：利用空间坐标系处理空间角、空间距离问题，是高考中的重点题目，但在建立坐标系以前必须先证明要用到的垂直关系，而不能相当然的利用图中的直线作为空间坐标系的坐标轴.
1．（24-25高三上·江苏扬州·期末）（多选）如图，在棱长为1的正四面体中，点是顶点在底面内的射影，为的中点，则（ ）
A．
B．
C．点到平面的距离为
D．三棱锥的外接球的表面积为
【答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法判断位置关系判断选项AB；先求出平面的法向量，然后利用点到平面的向量距离公式求解判断C；利用勾股定理建立方程，求出，即可求出三棱锥外接球的表面积判断D.
【详解】如下图所示：
在正四面体中，平面，则为的中心，
且，，
因为平面，平面，所以，
则，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如上图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
对于A，，，
所以，所以，正确；
对于B，，，
所以，所以不成立，错误；
对于C，，，设平面的法向量为，
则，令得，
又，所以点到平面的距离为，正确；
对于D，因为，所以，设三棱锥外接球的半径为，
则根据球的截面性质得，解得，
所以三棱锥外接球的表面积为，正确.
故选：ACD
2．（24-25高三上·天津河西·期末）如图所示，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，，点在平面上的投影为线段的中点分别是线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).
【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，根据已知求得，计算即可证；
（2）求向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；
（3）先求平面的一个法向量，再利用距离的向量法公式即可求解.
【详解】（1）证明：点在平面上的投影为线段的中点平面，
四边形是直角梯形，，
，且，
如图，以为原点，分别以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得，，
所以，，
设平面的一个法向量，
则，则，
令，故，
，
平面，
平面.
（2）由（1），，
设平面的一个法向量，
则，则，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设点到平面的距离为，由（1），
则，
所以点到平面的距离为.
3．（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.
(1)证明：平面.
(2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【详解】（1）因为四边形是菱形，所以.
因为，，平面，且，所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以，即.
因为，平面，且，所以平面.
（2）取棱的中点，连接，因为四边形是菱形，，
所以为等边三角形，故⊥，
又平面，平面，
所以，，故，，两两垂直，
故以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设，则，，，，
故，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，得.
平面的一个法向量为，设面与面所成的锐二面角为，
则，
整理得，解得或（舍去）.
故存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是.
1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）在空间几何体中，四边形均为直角梯形．如图，设，，．
(1)求证：平面平面；
(2)若二面角的余弦值为，求的值．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】（1）根据已知条件的三个直角，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，证得法向量平行即可；
（2）求出两个半平面的法向量，代入余弦公式可以求得三棱柱其他边的长度，用余弦公式即可求得的值.
【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则由题意，，
设，则，，
则，， ，，，
因为，所以，
设平面的法向量为，
则，
取，则，
设平面的法向量为，
则，
取，则，
所以，所以，
所以平面平面；
（2）设平面的法向量为，
则，
取，则，
设二面角的平面角为，
所以，·
所以，即，
解得或（舍），则，
所以，即，
又，所以.
2．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面ABCD，，，，，，点E为线段PD上的动点．
(1)若平面平面，求证：；
(2)若平面ABE与平面PCD的夹角的余弦值为，求的值．
【答案】(1)证明见详解 (2)或
【分析】（1）由证明平面，再由线面平行的性质得到；
（2）取中点，作，由等腰三角形得到，再由面面垂直的性质得到平面，从而得到，然后建立空间直角坐标系，由已知线段的几何关系求得线段长，写出点坐标，设得到点坐标，然后写出面的向量求出两个面的法向量，由空间向量表示出面面角建立方程，解得的值即为的值.
【详解】（1）∵，平面，平面，
∴平面，
又∵平面，平面平面，
∴.
（2）如图，取中点，连接，过作交于点，
∵，∴，
又∵平面平面，且平面平面，平面，
∴平面，又∵平面，
∴，
∵，
∴，
∴以为原点，，，为坐标轴建立空间直角坐标系，
∵，，，且，∴
∴，，，，，
∴，设，则，
∴，，，，
设平面ABE与平面PCD的法向量分别为：，，
则，，
令，，解得，，
设平面ABE与平面PCD的夹角为，则，
即，∴或，
即或.
3．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）如图，在三棱柱中，平面．
(1)证明：．
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由线面垂直可得，结合，可得平面，进而可得答案；
（2）以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.
【详解】（1）平面，
平面，，
又，，平面，
平面，
又平面，；
（2）由（1）知平面，平面，，
以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，，
，
设平面的法向量为，
则，
，
设平面的法向量为，
则，
，
设平面与平面夹角为，
则
4．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面是菱形，平面平面，分别是棱，的中点，是棱上一点，且
(1)证明：平面；
(2)在菱形中，若，
（ⅰ）求三棱锥的体积；
（ⅱ）若二面角的余弦值为，求的值
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）1；（ⅱ）
【分析】（1）根据三角形的中位线与平行四边形的性质，利用线面平行判定，可得答案；
（2）（i）由题意作出三棱锥的高，利用菱形的性质以及正三角形的性质，结合三棱锥体积公式，可得答案；
（ii）由题意建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.
【详解】（1）证明：取中点，连接，如下图：
为的中点，为的中点，，，且，
在三棱柱中，易知，，
据此可得四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面.
（2）（ⅰ）过作，如下图：
平面平面，平面平面，平面，
在菱形中，边长为，，
正的面积，
三棱锥的体积．
（ⅱ）由（i）可知平面，易知为中点，，
如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
，
由，则，
，，，
设平面和平面的一个法向量分别为，
，，，
设二面角的平面角为，
，整理可得，
分解因式可得，
解得．
5．（24-25高三上·山东·阶段练习）如图，在四棱锥中，分别为棱的中点，平面，四边形是边长为4的正方形.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形中位线以及平行四边形性质，结合线面平行判定，可得答案；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.
【详解】（1）取的中点为，连接，如图：
在中，分别为的中点，则，，
在正方形中，为的中点，则，，
因为，，所以在平行四边形中，，
因为平面，平面，所以平面.
（2）取的中点为，连接，易知两两垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴，如下图：
则，
由分别为的中点，则，
取，，，
设平面的法向量，则，
令，则，所以平面的一个法向量，
设平面的法向量，则，
令，则，所以平面的一个法向量，
平面与平面夹角的余弦值为.
易错点05：忽略异面直线所成角的范围出错
典例 （24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知正方体，E为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线夹角的余弦.
【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，
则，，
因此，
所以异面直线，所成角的余弦值为.
故选：A
【易错剖析】
本题在求异面直线所成角的余弦时易忽略异面直线所成角的范围而错选B.
【避错攻略】
1.两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
【解读】（1）在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．
（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路．
2．异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为．
3．两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b． 求异面直线所成的角的步骤
4．求异面直线所成的角的方法
（1）几何法
一作，即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角
二证，即证明作出的角是异面直线所成的角
三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角
（2）向量法
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为θ，则
易错提醒：求解异面直线所成角相关问题时，要注意两点：一是几何法所做的角和异面直线所成角相等或互补；二是异面直线的方向向量所成角一异面直线所成角也是相等或互补的关系，而区分的依据都是异面直线所成角的范围.
1．（2025高三·全国·专题练习）若异面直线的方向向量与的方向向量的夹角为，则与所成的角为（ ）
A． B．
C．或 D．以上均不对
【答案】A
【分析】根据题意，由异面直线与其方向向量的夹角相等或互补以及异面直线夹角的范围，即可得到结果.
【详解】与所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，
且异面直线所成角的范围为，
因为异面直线的方向向量与的方向向量的夹角为，
所以与所成的角为，
故选：A．
2．（24-25高三上·湖南·开学考试）两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知则线段的长为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用空间向量，结合模长运算处理，重点注意、的夹角与异面直线的夹角之间的关系．
【详解】由题意知：，所以，
又异面直线所成的角为，则
所以，则或（舍去）
故选：B.
3．（2024·全国·模拟预测）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，点为上靠近点的三等分点，点为上靠近点A的四等分点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【答案】
【分析】取的中点，连接，可知或其补角为异面直线与所成的角．结合余弦定理分析求解.
【详解】如图，取的中点，连接，
则，则，可知或其补角为异面直线与所成的角．
因为，即为等边三角形，
不妨取，连接，则，
过点作于点，则，可得，
连接，则，
过点作，垂足为，连接，则，
所以，则，
又，所以，
故异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：.
1．（2024·贵州毕节·三模）在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为4，点是底面内一动点，且，则当，两点间距离最小时，直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意作出相应图形连接，交于点，连接，由四棱锥为正四棱锥，可得底面，从而可求得即点在以为圆心，1为半径的圆上，然后建立空间直角坐标系，再利用异面直线向量求法即可求解.
【详解】根据题意作图如图所示，连接，交于点，连接，
因为四棱锥为正四棱锥，可得底面．
由底面边长为，可得，所以，
在中，，，可得，
又由，在中，可得，
即点在以为圆心，1为半径的圆上，
所以当点为圆与的交点时，，两点间距离最小，最小值为．
以，，所在直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，
可得，，，，
则，，可得，
所以直线与直线所成角的余弦值为，故A正确.
故选：A.
2．（24-25高三上·重庆北碚·阶段练习）已知正方体的棱长为1，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别以为建立空间直角坐标系，设，根据，求得，即可求得结果.
【详解】分别以为建立空间直角坐标系，设，
则,
直线与所成角的余弦值为，
.
解得：,,.
故选：B.
3．（24-25高三上·陕西榆林·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点，，直线与所成角的大小为，则四校锥的体积为 .
【答案】
【分析】作辅助线，根据线面垂直的性质定理得到线线垂直，再根据边长之间的关系以及余弦定理求得，再根据棱锥的体积公式可求得结果.
【详解】连接，如图所示：
因为，所以直线与所成角为（或其补角），
因为平面，所以，
又底面为矩形，所以，
因为，平面，平面，而平面，
所以，所以均为直角三角形，
设，则，即，
因为点E为的中点，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，解得，
所以四棱锥的体积.
故答案为：.
4．（23-24·高三上·海阶段练习）已知四面体中，，E、F分别为、的中点，且异面直线与所成的角为，则___________.
【答案】或
【分析】取中点，先通过平行关系分析异面直线与所成的角为或其补角，然后通过分类讨论结合角度以及长度、余弦定理求解出的长度.
【详解】取中点，连接，因为分别为的中点，
所以，，
所以异面直线与所成的角即为或其补角，
当异面直线与所成的角为时，
，且，所以为等边三角形，所以；
当异面直线与所成的角为的补角时，
，且，所以，
所以，
综上可知，长为或，
故答案为：或.
5．（24-25·高三·上海复旦附中期中）如图所示，在三棱锥中，，、分别为与的中点，，则异面直线与所成角的大小是______．
【答案】
【分析】取的中点，分别连接，把异面直线与所成的角即为直线与所成的角，在中，根据，即可求解.
【详解】如图所示，取的中点，分别连接，
因为、分别为与的中点，
可得，且，
所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，
在中，因为，所以，
所以，即直线与所成的角为，
所以异面直线与所成的角.
故答案为：.
6．（2024·海南·模拟预测）如图，已知线段为圆柱的三条母线，为底面圆的一条直径，是母线的中点，且.
(1)求证：平面DOC；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）通过证明，，再根据线面垂直的判定定理即可证明平面；
（2）建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，通过法向量即可求解二面角的余弦值.
【详解】（1）连接.
因为为底面圆的直径，
所以为的中点，.
又因为，所以.
由圆柱的性质知平面，而平面，
所以，又，且平面，
所以平面，
因为平面，所以.
因为，为母线的中点，
所以，
，
，
，
所以，则.
又平面，且，
所以平面.
（2）连接，易知平面，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以.
设平面的法向量为，则令，得.
设平面的法向量为，则令，得.
设平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面的夹角的余弦值为.
7．（2024·上海宝山·一模）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且该四棱锥的体积为.
(1)证明：平面底面；
(2)求异面直线和所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由四棱锥的体积为得到高 ，取的中点为，计算出，从而底面即可得证.
（2）因为，所以即为异面直线和所成的角或其补角，最后在中利用余弦定理即可求出夹角.
【详解】（1）证明：设该四棱锥的高为，则体积 ， 从而，
等腰中，设边的中点为，易知，
在中，，所以，
所以该四棱锥的高为即为，
即底面，又平面，
所以面底面.
（2）因为，
所以即为异面直线和所成的角或其补角；
由（1）知平面底面，且平面底面，
在矩形中，，所以平面，
因为平面，从而，
中，，所以，
同理可得，
中，，
由余弦定理可得，
所以异面直线和所成角的余弦值为.
8．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，点E，F分别为棱，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与直线的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证为平行四边形，再由线线平行证明线面平行即可；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得．
【详解】（1）∵是直三棱柱，∴，
又点E，F分别为棱的中点，∴，
∴四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，
故平面．
（2）如图，直三棱柱中，
以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，
于是，
设直线与直线的夹角为，
则，
则直线与直线的夹角的余弦值为．
易错点06：混淆线面角与法向量与直线方向向量的夹角
典例 （2024·四川广安统考二模）已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点在底面的射影为中点，则平面，
又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，
、、的方向分别为、、轴的
正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为平面，平面，则，
因为，，则，
则、、、，
所以，，
易知平面的一个法向量为，
，
因此，直线与平面所成角的余弦值为.故选：B.
【易错剖析】
本题容易误认为直线与平面所成角的余弦值等于与法向量的夹角的余弦而出错.
【避错攻略】
1.直线与平面所成角
（1）斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.
【解读】斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.
直线和平面所成角
①平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；
②直线与平面垂直时，它们的所成角为；
③直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.
故直线与平面所成角的范围为.
2.直线与平面所成角的求法
（1）几何法
①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线；
②连接斜足与垂足；
③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角.
（2）等体积法
①利用等体积法求垂线段的长；
②
（3）向量法
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
易错提醒：易错点为线面角与向量夹角转化不清等问题，若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值.
1．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，分别是直线与平面的方向向量、法向量，若，则与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先设线面角为，再根据空间向量法求出线面角正弦值进而求出角.
【详解】设与所成的角为，，
则，∴.
故选:B．
2．（23-24高三上·河北石家庄·期末）已知圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为（ ）
A．15° B． C． D．
【答案】C
【分析】设相应长度，根据圆锥的侧面积和轴截面面积列式可得，再结合线面夹角运算求解.
【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，高为，
由题意可得：，解得，
设该圆锥的母线与底面所成的角为，则，
可得，所以该圆锥的母线与底面所成的角为.
故选：C.
3．（24-25高三上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，已知是的中点，则与平面所成角的余弦值为 ．
【答案】/
【分析】由条件可得平面，则就是与平面所成的角，根据题中条件求解即可.
【详解】∵平面，∴平面．
连接，如图所示，则是在平面上的射影，
∴就是与平面所成的角．
设，则，
∵，∴，
∵，是的中点，∴，
∴，
∵平面，平面，∴，
∴，
∴，
∴与平面所成角的余弦值为
故答案为：.
1．（2024高三·全国·专题练习）已知正四棱台的侧面积为，，，则与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，，过点作平面，且在上，过点作，连接，易得，从而是与平面所成的角求解．
【详解】如图，
连接，，过点作平面，垂足为，且在上，
则，
过点作，垂足为，连接，又平面,
所以平面，平面，所以，
显然是与平面所成的角．
，解得．
又，所以．
又易知，所以．
又，所以，
所以与平面所成的角为，
故选：C．
2．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）在平行六面体中，，则与平面ABCD所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明是平面的法向量后，可得直线与平面所成角的正弦值即为与所成角的余弦值，借助空间向量夹角公式计算即可得.
【详解】
连接，为的中点，
，
，
，
，
故
；
，
又
，
又
，
故，
又、平面，且，
故平面，即是平面的法向量，
设与平面ABCD所成角为
所以
故选：B.
3．（2024·四川攀枝花·一模）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法与同角三角函数的基本关系可求得直线与平面所成角的余弦值.
【详解】在堑堵中，平面，，，，
以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以，
因此，直线与平面所成角的余弦值为．
故选：A．
4．（2025高三·全国·专题练习）已知三棱锥，，，，则直线与平面所成角的正切值为 ，三棱锥外接球的体积为 .
【答案】
【分析】根据题意，可证平面，则平面平面，取的中点，连接，则即直线与平面所成的角，求解即可；连接，如图2，过球心作的平行线，与直线交于点，连接，设，根据，，可解外接圆半径，从而得解.
【详解】因为，，，平面，
所以平面，又平面，故平面平面，
如图1，取的中点，连接，
由于，则，平面平面，平面，
所以点在平面上的射影为点，
连接，则即直线与平面所成的角，
由，，易得，，
所以，即直线与平面所成角的正切值为.
设外接圆的圆心为的中点，则半径为，
设三棱锥外接球球心为，半径为，
连接，易知，故球心与点在平面的两侧，
连接，如图2，过球心作的平行线，与直线交于点，连接，则，，，设，
由，，得，
解得，则，
所以三棱锥外接球的体积是.
5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图，在直三棱柱中，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件，得到面，利用线面垂直的性质得到，再利用几何关系得到，再由线面垂直的判断定理，即可证明结果；
（2）建立空间直角坐标系，再利用线面角的向量求法，即可求解.
【详解】（1）由题知面，又面，所以，
又，，面，所以面，
又面，所以，
又，所以四边形是正方形，得到，
又，面，所以平面.
（2）如图，建立空间直角坐标系，因为，
则，，
得到，，，
直线与平面所成角为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为.
7．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习） 如图（1），在平面四边形中，，， 过点作，垂足为．如图（2），把沿折起，使得点A到达点处，且．
(1)证明：．
(2)若点为的点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）先证明平面，可得，连接，再证明平面，进而可得；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，代入空间线面角公式计算即可；
【详解】（1）依题意，，而，平面，
则平面，又平面，则，
由，，得，，
连接，则，而，平面PCE，
因此平面，又平面，
所以．
（2）由（1）知两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
8．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，E是棱上的动点（不含端点），F是棱上的动点．
(1)求证：无论E点如何运动，总存在点F为使得；
(2)若为等边三角形，二面角的大小为，直线与平面所成角的正弦值为 ，求的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）作交于点，可得；
（2）取中点，中点，连接，证得是二面角的平面角，同时证明平面平面，以为原点，为轴，作轴与垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，求出平面的一个法向量，由空间向量法求线面角可求得，然后求出后可得比值．
【详解】（1）在中，无论在上如何移动，不是端点时，都可作交于点，
因为，所以；
（2）取中点，中点，连接，
因为是等腰梯形，是等边三角形，所以，，，
则是二面角的平面角，所以，
，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，
平面平面，则平面内过与垂直的直线必与平面垂直，
以为原点，为轴，在平面内作轴与垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，因为，
所以则，，，
又，，
所以，，，
，，，
，，，
设，， ，
设平面的一个法向量是，
则，取，得，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，整理得，解得或，
又，所以，
此时，，，
所以．
易错点06：混淆线面角与法向量与直线方向向量的夹角
【典例】 （2025高三阶段性训练）在正方体中，设，分别为棱，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】（1）连接交于，连接，，.
在正方体中，，，四边形是平行四边形，
所以，.
正方形中，，故是的中点，
所以，且，
在中，，分别是，的中点，
所以，且，
所以，且，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
所以平面.
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设正方体的棱长为2，故，，，，.
在正方体中，平面，故是平面的一个法向量.
设是平面的法向量，，，
故即
取，则
所以是平面的一个法向量.
故，
设二面角的大小为，
据图可知，，
所以二面角的余弦值为.
【易错剖析】
本题在利用平面的法向量求二面角时，容易误认为二面角等于两个半平面法向量所成的角而出错。
【避错攻略】
1、二面角的定义
（1）半平面：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面．
（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面．
（3）平面角：如图，在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角．
2、二面角的度量
二面角大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小，特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角，二面角的范围是．
3、 用空间向量求二面角的大小
（1）二面角与法向量夹角关系：如果，分别是平面，的一个法向量，设与所成角的大小为，与的夹角为，则有向量与的夹角或其补角就是二面角的平面角（如图所示）．
（2）向量法求二面角
①，
当时，取“＋”号；当时，取“－”号．
②，不需要进行符号的判断，进一步可由确定二面角的大小．
易错提醒：判断二面角与法向量夹角的关系有两种，一是通过图形判断，即设两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成夹角为锐二面角为，则；规定两个平面所成夹角范围，则钝二面角；二是根据两个法向量的方向进行判断，即同进同出互补，一进一出相等.
1．（2024高三·全国·专题练面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】先利用空间向量夹角的坐标公式求解两法向量夹角的余弦值，再根据两平面夹角的向量表示求解即可.
【详解】∵，，
∴，，
，
因此向量与的夹角满足.
又∵向量，分别为平面和平面的法向量，
∴平面与夹角等于向量，的夹角或其补角，
又∵两个平面夹角范围为，
故平面与平面夹角的余弦值等于.
故选：B
2．（24-25高三上·全国·课后作业）在棱长为的正方体中，满足，，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法求得平面的法向量，进而可得二面角余弦值.
【详解】
分别以射线，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
由，，
所以，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
所以，
由图可知二面角为锐角，
则二面角的余弦值为，
故选：A.
3．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平行六面体中，．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面平面，点在线段上，且直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）利用直线与平面垂直的判定证得平面，因为平面，由平面与平面垂直的判断即可得得证；
（2）先由平面与平面垂直的性质得到平面，从而可得，建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面的法向量，利用平面与平面的夹角的余弦公式即可求解.
【详解】（1）因为．
由余弦定理求得，，所以，
所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，结合（1）知，两两垂直，
则以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，如图所示．
则，
故，
所以，所以．
设，则，
即，所以．
设平面的法向量为，
则，
令，则，
所以．
因为，
所以，
解得，从而，
记平面的法向量为，
则，令，则，所以．
则，
即平面与平面的夹角余弦值为．
1．（24-25高二上·湖南娄底·阶段练习）已知二面角中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则二面角的平面角满足（ ）
A．余弦值为 B．正弦值为
C．大小为 D．大小为
【答案】B
【分析】利用二面角的向量求法即可求得答案．
【详解】设所求二面角的平面角的大小为，
则，
所以或，故CD错误，
又因为，故A错误，B正确.
故选：B.
2．（24-25高三上·湖北·期末）如图，四棱锥中，是边长为2的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，．
(1)证明：；
(2)过两点的平面与直线分别交于点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据几何关系，证明平面，即可证明线线垂直；
（2）根据线面平行的性质定理说明，再根据（1）的结果，以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用向量法求解.
【详解】（1）连结，因为是等腰直角三角形，且为斜边的中点，
所以，且，
，，
所以，
所以，且，平面，
所以平面，且平面，
所以.
（2）连结，因为平面，平面，平面平面，
所以，即，
由（1）知平面，
如图以点为原点，为轴，过点作与平行的直线为轴，
，，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，，
则平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为
则，即，令，则，
所以平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
3．（24-25高三上·甘肃武威·期末）如图，在三棱柱中，四边形和均为矩形，.
(1)证明：；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）求证平面即可由线面垂直定义得证；
（2）建立空间直角坐标系，求平面与平面的一个法向量即可由平面夹角的向量法公式计算得解.
【详解】（1）证明：因为四边形为矩形，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，即，
取，，则，
设平面的一个法向量为，则，即
取，，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
4．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）如图，边长为6的正三角形中，为的三等分点（靠近点），分别为的三等分点（靠近点）.将沿折起到的位置，连结，取中点，连结.
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，得四边形为平行四边形，且，再由线面平行的判定定理可得答案；
（2）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案.
【详解】（1）取的中点，连接，则，，
分别为的三等分点，所以，且，
所以，，所以四边形为平行四边形，
可得，又平面，平面，
所以平面；
（2）由题意知，，，
由余弦定理得，
所以，即，即得，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设为平面的一个法向量，
则，，令，则，
所以，
平面的一个法向量为，
则，
由图可得二面角的平面角为钝角，
所以二面角的平面角为.
5．（24-25高三上·湖南郴州·期末）如图，在几何体中，平面，，且，四边形为菱形，，.
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直即可得线线垂直;
（2）利用空间向量法来求二面角夹角余弦值即可.
【详解】（1）
由平面，平面，得：，
再由四边形为菱形，得：，
因为，所以平面，且，
所以平面，又因为平面，
所以；
（2）
以菱形中心为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
由，，可知，
再由，可知，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则有，
令，则，即，
设平面的法向量为，
则有，
令，则，即，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
6.如图所示，在三棱柱中，侧棱底面为的中点..
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】（1）
连接交于，连接,
在中，为中点，为中点,
所以，
又因为平面，平面
所以平面.
（2）由题意侧棱底面，所以底面，即，
又，所以平面,
所以可建立空间直角坐标系如图：
以为原点，以，，分别为轴，轴，轴，
则，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
取则
所以平面的一个法向量为，
因为底面，
所以平面的一个法向量为,
设二面角大小为，
则，
所以二面角的余弦值为.
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