专题12 概率
目 录
易错点01 混淆互斥、对立、独立事件的概念
易错点02 混淆“有放回”与“不放回”致错
易错点03 古典概型问题忽略“等可能性”
易错点04 对条件概率理解不透彻致错
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易错点01：混淆互斥、对立、独立事件的概念
典例 （2024·上海虹口·一模）已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（ ）．
A．事件和事件独立 B．事件和事件互斥
C．事件和事件对立 D．事件和事件互斥
【答案】B
【分析】根据互斥事件、相互独立事件的定义判断即可.
【详解】因为事件和事件满足，则一定可以得到事件和事件互斥，但不一定对立，故B正确，C错误；
因为，当，不为时，事件和事件不独立，故A错误；
抛掷一枚骰子，记出现点为事件，出现点为事件，
则，，显然事件和事件不互斥，故D错误.
故选：B
【易错剖析】
本题容易混淆互斥事件、对立事件和相互独立事件的概率而出错.
【避错攻略】
1.互斥事件与对立事件
（1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用韦恩图表示如下：
如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥．
（2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为．
【解读】互斥事件与对立事件的关系
①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．
②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．
2、相互独立事件的概念
（1）对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．
由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．
（2）相互独立事件的性质：如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．
两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．
易错提醒：(1)判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
(2)互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：①相同点：二者都是描述两个事件间的关系；
②不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
1．（24-25高三上·上海·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （ ）
A．是相互独立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互独立事件
C．既是相互独立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互独立事件
2．（24-25高二上·湖北·期中）一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和不超过6”，事件“摸出的两个球的编号都大于3”，事件“摸出的两个球中有编号为4的球”，则（ ）
A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是对立事件
C．事件与事件是互斥事件 D．事件与事件是互斥事件
3．（24-25高三上·江苏南京·期中）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A．与为互斥事件 B．与相互独立
C． D．
1．（24-25高三上·上海黄浦·期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
2．（2024·全国·模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（ ）
A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥
C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立
3．（24-25高三上·上海·开学考试）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
4．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知，，，则事件与的关系是（ ）
A．与互斥不对立 B．与对立
C．与相互独立 D．与既互斥又独立
5．（2024·江苏·二模）随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件“甲乙两人所选课程完全不同”，事件“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则（ ）
A．A与B为对立事件 B．A与C互斥
C．A与C相互独立 D．B与C相互独立
6．（24-25高三上·上海·期中）对于一个古典概型的样本空间和事件、、、，其中，，，，，，，，则（ ）（注：表示集合的元素个数）
A．与不互斥 B．与互斥但不对立
C．与互斥 D．与相互独立
易错点02：混淆“有放回”与“不放回”致错
典例 （24-25高三上·天津南开·期中）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解.
【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，
记事件 “抽到的两人是一男生一女生”，
在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为:
共12个样本点，
其中有8个样本点，所以.
在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为:
共16个样本点，
其中有8个样本点，所以.
故选：A.
【易错剖析】
本题求解时容易混淆“有放回”和“无放回”的区别而出错.
【避错攻略】
1. 定义和操作方式
（1） 无放回抽取 ：每次抽取后，抽出的元素不再放回原处。例如，如果有10个元素，第一次抽取后剩下9个，第二次抽取时只剩下9个元素可供选择。
（2） 有放回抽取 ：每次抽取后，元素仍然放回原处，搅拌均匀后再进行下一次抽取。这样，每次抽取时元素总数保持不变和概率不变。
2. 概率模型和应用场景
（1） 无放回抽取 ：适用于超几何分布，主要用于处理总体中成功与失败的独立事件，如抽奖活动中奖概率等。
（2） 有放回抽取 ：适用于二项分布，常用于重复独立试验的情况，如多次投掷硬币、多次独立试验等。
3. 数学表达和计算方法
（1） 无放回抽取 ：计算概率时需要考虑元素的顺序和组合数。例如，从n个元素中抽取m个元素的组合数为
（2） 有放回抽取 ：每次抽取是相互独立的，因此可以直接使用二项分布公式进行计算，即P(X=k) = binom(n, p, k)，其中n是试验次数，p是成功的概率，k是成功的次数。
易错提醒：在处理与抽样有关的概率问题时要区分“有放回抽取”和“无放回抽取”的不同，有放回抽取时每一次抽取背景是一样的，即总体个数不变概率不变；无放回抽取时每一次抽取背景是变化的，即总体个数要变，概率也变.
1．（2024·四川宜宾·一模）从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之积是3的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·上海徐汇·一模）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（ ）
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
1．（24-25高三上·专题训练）从甲袋中随机摸出1个球是红球的概率是，从乙袋中随机摸出1个球是红球的概率是，从两袋中有放回的各摸两次球且每次摸出一个球，则是（ ）
A．4个球不都是红球的概率 B．4个球都是红球的概率
C．4个球中恰有3个红球的概率 D．4个球中恰有1个红球的概率
2．（23-24高二下·江苏苏州·期末）在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三·上海·随堂练习）盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）从1，2，3，4，5这5个数字中每次随机取出一个数字，取出后放回，连续取两次，至少有一个是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三·全国·专题练习）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三·全国·专题练习）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.
(1)求甲、乙两人摸出的两个球编号之和为6的概率；
(2)这种游戏规则公平吗？试说明理由.
7．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为. 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，………，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止. 每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的.用表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.
（1）求随机变量的概率分布列和数学期望；
（2）求甲取到白棋的概率.
易错点03：古典概型问题忽略“等可能性”
【典例】（2025全国高三专题训练） 甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是 .
【答案】
【解析】根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从7张卡片中抽取了5张，
且甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12；
总的情况相当于从7张卡片中抽取了5张并进行全排列，即共种排法；
其中三张卡片数字之和为12的组合有；；；；共5种情况；
当甲抽取的数字为；；；时，
乙在剩余的4个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有种；
当甲抽取的数字为时，
若乙抽取的两张卡片数字可能为，此时不合题意，此时共有种；
所以符合题意的排列总数为种，
可得所求概率为.
故答案为：
【易错剖析】
在处理古典概型问题时一定要注意基本事件的等可能性，否则容易误用古典概型概率公式而出错.
【避错攻略】
1.古典概型的定义
一般地，若试验具有以下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
2.古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
3.古典概型解题步骤
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件；
（3）分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数；
（4）利用公式求出事件的概率．
易错提醒：在解决这类问题时，首要步骤是确认试验是否符合古典概型的特征。随后，关键在于构建样本空间，这一过程中需特别注意两点：一是样本中的元素是否存在顺序性，因为顺序的不同会构成不同的样本空间；二是取样时是否允许元素重复，即取样是放回还是不放回，这直接决定了样本中元素是否可以重复出现。明确了这两点后，就可以计算出样本空间的总样本点数量，以及所求事件对应的样本点数量，最后利用古典概型的概率计算公式，得出所求事件的概率。
1．（2024·山东日照·三模）从标有1，2，3，4，5的5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，则出现重复编号卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东广州·模拟预测）一个盒子里装有3个黑球，2个白球，它们除颜色外完全相同.现每次从袋中不放回地随机取出一个球，记事件表示“第次取出的球是黑球”，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ．
1．（24-25高三上·江苏连云港·期末）已知在个电子元件中，有个次品，个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到个次品都找到为止，则经过次测试恰好将个次品全部找出的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三上·专题训练）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．（2024·全国·模拟预测）4个产品中有3个正品，1个次品．现每次取出1个做检查（检查完后不再放回），直到次品被找到为止，则经过3次检查恰好将次品找到的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东佛山·模拟预测）在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（ ）
A． B． C． D． E．均不是
5．（2024·广西·模拟预测）每次从0～9这10个数字中随机取一个数字（取后放回），连续取n次，依次得到n个数字组成的数字序列．若使该序列中的数字0至少出现一次的概率不小于0.9，则n的最小值是（ ）（参考数据）
A．23 B．22 C．21 D．20
6．（24-25高二上·北京平谷·阶段练习）从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是 .
7．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）甲 乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的概率为 .
8．（24-25高三上·天津·阶段练习）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ；从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 .
9．（2024·浙江宁波·一模）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个大小质地完全相同的小球.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第一轮，甲先从盒子中不放回地随机取两个球，乙接着从盒子中不放回地随机取一个球，若甲抽取的两个小球数字之和大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分；第二轮，甲、乙从盒子中剩余的两个球中依次不放回地随机取一个球，若甲抽取的小球数字大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分.则在两轮游戏中甲共获得2分的概率为 .
易错点04：对条件概率理解不透彻致错
典例 （24-25高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设相应事件,根据题意利用全概率公式运算求解即可.
【详解】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则，，
设“学生肥胖”为事件B，则，，
由全概率公式可得，
所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为.
故选：A
【易错剖析】
本题容易混淆“交事件概率”与“条件概率”的区别而致错.
【避错攻略】
1、条件概率
（1）条件概率的定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．
（2）条件概率的性质
①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．
②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．
③如果与互斥，则．
2、全概率公式
（1）全概率公式：；
（2）若样本空间中的事件，，…，满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意事件，都有，且
．
3、贝叶斯公式
（1）一般地，当且时，有
（2）定理若样本空间中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意概率非零的事件，都有，
且
易错提醒：解决条件概率问题的步骤
第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步．
第二步，计算概率，这里有两种思路：
思路一 缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝计算
思路二 直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝计算
1．（2025高三·全国·专题练习）已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·天津河东·期末）某厂产品有的产品不需要调试就可以出厂上市，另的产品经过调试以后有能出厂，则该厂产品能出厂的概率 ；任取一出厂产品，求未经调试的概率 ．
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一 二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是 .
1．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）在某次电子竞技大赛中，甲、乙进入决赛，决赛采取五局三胜的冠亚军争夺赛制．已知甲在每局比赛中获胜的概率均为，比赛无平局且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·江苏南通·期中）（多选）随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与互斥 B．事件A与相互独立 C．D．
3．（24-25高三上·天津河西·期末）甲袋中有2个白球4个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球的概率是 ；若先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，则取出的是白球的概率是 .
4．（24-25高三上·天津南开·期末）已知甲 乙 丙三人参加射击比赛，甲 乙 丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为 ；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为 .
5．（24-25高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知某条线路上有两辆相邻班次的BRT（快速公交车），若准点到站的概率为，在准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下不准点到站的概率为，则准点到站的概率为 .
6．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）设有甲、乙两个不透明的箱子，每个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球，其中甲箱有4个红球和3个白球，乙箱有3个红球和2个白球.从甲箱中随机摸出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机摸出1个球.
(1)求从乙箱中摸出白球的概率；
(2)若从乙箱中摸出白球，求从甲箱中摸出2个红球的概率.
7．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案．
(1)若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回．
（ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率；
（ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率；
(2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题12 概率
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易错点01 混淆互斥、对立、独立事件的概念
易错点02 混淆“有放回”与“不放回”致错
易错点03 古典概型问题忽略“等可能性”
易错点04 对条件概率理解不透彻致错
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
易错点01：混淆互斥、对立、独立事件的概念
典例 （2024·上海虹口·一模）已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（ ）．
A．事件和事件独立 B．事件和事件互斥
C．事件和事件对立 D．事件和事件互斥
【答案】B
【分析】根据互斥事件、相互独立事件的定义判断即可.
【详解】因为事件和事件满足，则一定可以得到事件和事件互斥，但不一定对立，故B正确，C错误；
因为，当，不为时，事件和事件不独立，故A错误；
抛掷一枚骰子，记出现点为事件，出现点为事件，
则，，显然事件和事件不互斥，故D错误.
故选：B
【易错剖析】
本题容易混淆互斥事件、对立事件和相互独立事件的概率而出错.
【避错攻略】
1.互斥事件与对立事件
（1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用韦恩图表示如下：
如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥．
（2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为．
【解读】互斥事件与对立事件的关系
①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．
②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．
2、相互独立事件的概念
（1）对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．
由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．
（2）相互独立事件的性质：如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．
两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．
易错提醒：(1)判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
(2)互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：①相同点：二者都是描述两个事件间的关系；
②不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
1．（24-25高三上·上海·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （ ）
A．是相互独立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互独立事件
C．既是相互独立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互独立事件
【答案】A
【分析】根据互相独立事件、互斥事件的定义确定即可.
【详解】因为，，所以，
所以，，
所以，
所以事件与事件是相互独立事件，不是互斥事件.
故选：A.
2．（24-25高二上·湖北·期中）一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和不超过6”，事件“摸出的两个球的编号都大于3”，事件“摸出的两个球中有编号为4的球”，则（ ）
A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是对立事件
C．事件与事件是互斥事件 D．事件与事件是互斥事件
【答案】D
【分析】先列举出各事件包含的基本事件，再根据相互独立事件的概率特征判断A；根据互斥事件、对立事件的概念判断B，C，D.
【详解】解：由题意可知：所以基本事件为： ，
；
；，
所以，，，
对于A，因为，而，故错误；
对于B，因为，
所以事件与事件不是对立事件，故错误；
对于C，因为，
则，
所以事件与事件不是互斥事件，故错误；
对于D，因为，，
所以，
所以事件与事件是互斥事件，故正确.
故选：D.
3．（24-25高三上·江苏南京·期中）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A．与为互斥事件 B．与相互独立
C． D．
【答案】BD
【分析】由互斥事件、相互独立事件的定义判断AB；利用概率的基本性质计算判断C；求出条件概率判断D.
【详解】依题意，不放回的随机取两次，共有种不同结果，
，共个不同结果，
，共个不同结果，
，共个不同结果，
对于A，事件能同时发生，如基本事件，与不互斥，A错误；
对于B，，，
共6个不同结果，，与相互独立，B正确；
对于C，，共9个不同结果，
，，C错误；
对于D，由选项B知，，D正确.
故选：BD
1．（24-25高三上·上海黄浦·期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【分析】根据条件，利用互斥事件的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于选项A，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项A错误，
对于选项B，当朝上面的点数为时，与同时发生，即与不是互斥事件，所以选项B正确，
对于选项C，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项C错误，
对于选项D，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项D错误，
故选：B.
2．（2024·全国·模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（ ）
A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥
C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立
【答案】A
【分析】利用互斥事件，独立事件的定义即得.
【详解】由题意得，，
所以.
所以与，与均相互独立，与，与均不互斥.
故选：A.
3．（24-25高三上·上海·开学考试）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】写出事件的全部基本事件，再根据互斥事件、对立事件的定义判断即可.
【详解】解：设事件=｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝，
则所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，
事件=｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }；
事件｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}，
事件｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}，
事件｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝，
由互斥事件及对立事的定义可知事件、事件与均是互斥而非对立的事件.
故选：B
4．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知，，，则事件与的关系是（ ）
A．与互斥不对立 B．与对立
C．与相互独立 D．与既互斥又独立
【答案】C
【分析】利用计算出，可得到则能得到与不互斥，不对立；再利用算出即可得到答案
【详解】由可得，
因为，则与不互斥，不对立，
由可得，
因为，所以与相互独立
故选：C
5．（2024·江苏·二模）随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件“甲乙两人所选课程完全不同”，事件“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则（ ）
A．A与B为对立事件 B．A与C互斥
C．A与C相互独立 D．B与C相互独立
【答案】C
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念即可判断A、B，再根据古典概型的概率公式求出、、、、，根据相互独立事件的定义判断C、D；
【详解】解：依题意甲、乙两人所选课程有如下情形①有一门相同，②两门都相同，③两门都不相同；
故与互斥不对立，与不互斥，
所以，，
且，，
所以，，
即与相互独立，与不相互独立.
故选：C
6．（24-25高三上·上海·期中）对于一个古典概型的样本空间和事件、、、，其中，，，，，，，，则（ ）（注：表示集合的元素个数）
A．与不互斥 B．与互斥但不对立
C．与互斥 D．与相互独立
【答案】D
【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据的关系判断事件是否独立.
【详解】对于A，因为，，，
则，故A、B互斥，A错误；
对于B，因为，所以A、D互斥且对立，B错误；
对于C，因为，，A、D对立，
则，C与D不互斥，C错误；
对于D，由，，，
所以，即A与C相互独立，D正确.
故选：D.
易错点02：混淆“有放回”与“不放回”致错
典例 （24-25高三上·天津南开·期中）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解.
【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，
记事件 “抽到的两人是一男生一女生”，
在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为:
共12个样本点，
其中有8个样本点，所以.
在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为:
共16个样本点，
其中有8个样本点，所以.
故选：A.
【易错剖析】
本题求解时容易混淆“有放回”和“无放回”的区别而出错.
【避错攻略】
1. 定义和操作方式
（1） 无放回抽取 ：每次抽取后，抽出的元素不再放回原处。例如，如果有10个元素，第一次抽取后剩下9个，第二次抽取时只剩下9个元素可供选择。
（2） 有放回抽取 ：每次抽取后，元素仍然放回原处，搅拌均匀后再进行下一次抽取。这样，每次抽取时元素总数保持不变和概率不变。
2. 概率模型和应用场景
（1） 无放回抽取 ：适用于超几何分布，主要用于处理总体中成功与失败的独立事件，如抽奖活动中奖概率等。
（2） 有放回抽取 ：适用于二项分布，常用于重复独立试验的情况，如多次投掷硬币、多次独立试验等。
3. 数学表达和计算方法
（1） 无放回抽取 ：计算概率时需要考虑元素的顺序和组合数。例如，从n个元素中抽取m个元素的组合数为
（2） 有放回抽取 ：每次抽取是相互独立的，因此可以直接使用二项分布公式进行计算，即P(X=k) = binom(n, p, k)，其中n是试验次数，p是成功的概率，k是成功的次数。
易错提醒：在处理与抽样有关的概率问题时要区分“有放回抽取”和“无放回抽取”的不同，有放回抽取时每一次抽取背景是一样的，即总体个数不变概率不变；无放回抽取时每一次抽取背景是变化的，即总体个数要变，概率也变.
1．（2024·四川宜宾·一模）从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之积是3的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，用列举法分析“从六张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案.
【详解】根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张，
有，，，，，，，，，，，，，，共15种取法，
其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有，，，，，，，，共9种情况，
则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率.
故选：C.
2．（24-25高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】甲获胜的情形有三种：第一种，甲第一次就摸到红球；第二种，甲、乙第一次都摸到白球，甲第二次摸到红球；第三种，甲、乙第一、二次都摸到白球，第三次摸甲摸到红球.利用古典概率的加法求解即可
【详解】；
故选：C.
3．（2024·上海徐汇·一模）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（ ）
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
【答案】B
【分析】因为重复摸球次数足够多，所以将频率视为概率，应用古典概型概率的计算公式计算即可.
【详解】设红球个数为，
由题意可得：，解得：.
故选：B
1．（24-25高三上·专题训练）从甲袋中随机摸出1个球是红球的概率是，从乙袋中随机摸出1个球是红球的概率是，从两袋中有放回的各摸两次球且每次摸出一个球，则是（ ）
A．4个球不都是红球的概率 B．4个球都是红球的概率
C．4个球中恰有3个红球的概率 D．4个球中恰有1个红球的概率
【答案】C
【分析】由独立事件乘法公式及互斥事件计算公式即可求解
【详解】4个球都是红球的概率为，故B错误；
4个球不都是红球的概率为，故A错误；
4个球中恰有3个红球的概率为，故C正确；
4个球中恰有1个红球的概率，故D错误.
故选：C.
2．（23-24高二下·江苏苏州·期末）在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】借助全概率公式计算即可得.
【详解】设事件为第一次从中随机摸出一个球的颜色为白色，
事件为第二次再从中随机摸出一个球是黄球，
则
.
故选：B.
3．（24-25高三·上海·随堂练习）盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设，，根据，
由全概率公式计算可得结果.
【详解】设，，则，
由全概率公式，
由题意，，，．
所以．
故选：A.
4．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）从1，2，3，4，5这5个数字中每次随机取出一个数字，取出后放回，连续取两次，至少有一个是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用对立事件概率公式、概率乘法公式，结合古典概型运算公式进行求解即可.
【详解】设连续取两次，一次都没有奇数为事件，
因为，
所以，
故选：D
5．（2024高三·全国·专题练习）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，先列举出所有情况，再从中挑出数字之和是5的倍数的情况，结合古典概型求概率，即可求解．
【详解】从6张卡片中无放回地随机抽取2张，有
共15种情况，其中数字之和为5的倍数的有共3种情况，
所以所求的概率为.
故选：A.
6．（2024高三·全国·专题练习）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.
(1)求甲、乙两人摸出的两个球编号之和为6的概率；
(2)这种游戏规则公平吗？试说明理由.
【答案】(1)
(2)这种游戏规则不公平，理由见解析
【分析】（1）设“甲、乙两人摸出的两个球编号之和为6”为事件，然后列举出事件包含的基本事件，并得到数量，再计算出甲、乙二人取出的数字共有数量，然后得到事件的概率；
（2）设“甲胜”为事件，“乙胜”为事件，然后列举出事件所包含的基本事件及数量，由此得到事件的概率，由对立事件求出事件的概率，从而判断游戏的公平性.
【详解】（1）设“甲、乙两人摸出的两个球编号之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为，，，，共5个，又甲、乙二人取出的数字共有（个）等可能的结果，所以；
（2）这种游戏规则不公平.
设“甲胜”为事件，“乙胜”为事件，
则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：，，，，，，，，，，，，.
所以甲胜的概率，
从而乙胜的概率，
由于，所以这种游戏规则不公平.
7．袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为. 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，………，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止. 每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的.用表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.
（1）求随机变量的概率分布列和数学期望；
（2）求甲取到白棋的概率.
【解析】设袋中白棋共有个，，则依题意知：，∴，
即 ，解之得（舍去）.
（1）袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量的所有可能取值是1，2，3，4，5.
，，，
，.
（注：此段4分的分配是每错1个扣1分，错到4个即不得分.）
随机变量的概率分布列为：
1 2 3 4 5
所以.
（2）记事件“甲取到白棋”，则事件包括以下三个互斥事件：
“甲第1次取棋时取出白棋”；
“甲第2次取棋时取出白棋”；
“甲第3次取棋时取出白棋”.
依题意知：，，，
所以，甲取到白棋的概率为
易错点03：古典概型问题忽略“等可能性”
【典例】（2025全国高三专题训练） 甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是 .
【答案】
【解析】根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从7张卡片中抽取了5张，
且甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12；
总的情况相当于从7张卡片中抽取了5张并进行全排列，即共种排法；
其中三张卡片数字之和为12的组合有；；；；共5种情况；
当甲抽取的数字为；；；时，
乙在剩余的4个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有种；
当甲抽取的数字为时，
若乙抽取的两张卡片数字可能为，此时不合题意，此时共有种；
所以符合题意的排列总数为种，
可得所求概率为.
故答案为：
【易错剖析】
在处理古典概型问题时一定要注意基本事件的等可能性，否则容易误用古典概型概率公式而出错.
【避错攻略】
1.古典概型的定义
一般地，若试验具有以下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
2.古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
3.古典概型解题步骤
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件；
（3）分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数；
（4）利用公式求出事件的概率．
易错提醒：在解决这类问题时，首要步骤是确认试验是否符合古典概型的特征。随后，关键在于构建样本空间，这一过程中需特别注意两点：一是样本中的元素是否存在顺序性，因为顺序的不同会构成不同的样本空间；二是取样时是否允许元素重复，即取样是放回还是不放回，这直接决定了样本中元素是否可以重复出现。明确了这两点后，就可以计算出样本空间的总样本点数量，以及所求事件对应的样本点数量，最后利用古典概型的概率计算公式，得出所求事件的概率。
1．（2024·山东日照·三模）从标有1，2，3，4，5的5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，则出现重复编号卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出5张卡片中有放回地抽取三次的基本事件，再算出三次都不重复的基本事件，利用间接法以及古典概型即可求解.
【详解】5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，共有 种取法，
三次都不重复的取法有种，
由加法原理和乘法原理，
出现重复编号卡片的概率.
故选：B.
2．（2024·广东广州·模拟预测）一个盒子里装有3个黑球，2个白球，它们除颜色外完全相同.现每次从袋中不放回地随机取出一个球，记事件表示“第次取出的球是黑球”，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】使用古典概率方法即可确定，，然后可以验证选项A和D，最后使用加法公式验证选项B，使用条件概率公式验证选项C即可.
【详解】依次一个一个地往外取球（不放回）的试验，基本事件总数是，它们等可能，
对于A，表示第1次、第2次取出的球都是黑球，，A正确；
对于В，，，В正确；
对于C，有，C错误；
对于D，有，D正确.
故选：C
3．（2024·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ．
【答案】
【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.
【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，
设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，
故，故，
故，
若，则，则为：，故有2种，
若，则，则为：，
，故有10种，
当，则，则为：
，
，
故有16种，
当，则，同理有16种，
当，则，同理有10种，
当，则，同理有2种，
共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，
故所求概率为.
故答案为：
1．（24-25高三上·江苏连云港·期末）已知在个电子元件中，有个次品，个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到个次品都找到为止，则经过次测试恰好将个次品全部找出的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据概率的乘法公式可得解.
【详解】由已知可得前两次测试一次取得正品一次取得次品，第三次测试恰好取得次品，
则，
故选：B.
2．（2025高三上·专题训练）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解.
【详解】将两名男生编号为，两名女生编号，记“抽到的两人都是女生”，
从两名男生和两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为
共16个样本点，其中有4个样本点，所以.
在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为
共12个样本点，其中有2个样本点，所以.
故选：C.
3．（2024·全国·模拟预测）4个产品中有3个正品，1个次品．现每次取出1个做检查（检查完后不再放回），直到次品被找到为止，则经过3次检查恰好将次品找到的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】法一，直接法，第3次抽到次品或前3次抽到的都是正品；法二，求其对立面，经过1次检查恰好将1个次品或经过2次检查恰好将1个次品找到.
【详解】方法一：经过3次检查恰好将1个次品找到包括两种情况：
①第3次抽到次品，前2次抽到2个正品；
②前3次抽到的都是正品，
所以经过3次检查恰好将次品找到的概率是；
方法二：①经过1次检查恰好将1个次品找到的概率是；
②经过2次检查恰好将1个次品找到的概率是，
所以经过3次检查恰好将次品找到的概率是.
故选：C．
4．（2024·广东佛山·模拟预测）在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（ ）
A． B． C． D． E．均不是
【答案】B
【分析】由题意，基本事件的总数为，这六爻恰好有三个阳爻包含基本事件数为，由此能求出这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率.
【详解】在一次所谓“算卦”中得到六爻，
基本事件的总数为，
这六爻恰好有三个阳爻包含的基本事件数为，
所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是.
故选：B.
5．（2024·广西·模拟预测）每次从0～9这10个数字中随机取一个数字（取后放回），连续取n次，依次得到n个数字组成的数字序列．若使该序列中的数字0至少出现一次的概率不小于0.9，则n的最小值是（ ）（参考数据）
A．23 B．22 C．21 D．20
【答案】B
【分析】分别计算所有基本事件的个数以及不含0的基本事件，然后利用古典概型进行计算即可.
【详解】解：有放回地排列个数字，得个基本事件，其中不含0的基本事件为．
由题意得，即，∴．
∴最小取22．
故选：B．
6．（24-25高二上·北京平谷·阶段练习）从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是 .
【答案】/
【分析】列举所有可能的情况求解即可.
【详解】由题意，任取两个数所有可能的情况有，，，，，，，，，共10种情况，
其中两个数都是奇数的情况有，，共3种情况，故两个数都是奇数的概率是.
故答案为：
7．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）甲 乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的概率为 .
【答案】/
【分析】将问题转化为在三个盒子中各放入2个编号不同的小球，甲从每个盒子中各取一个小球，求甲取到每个盒子中编号较大小球的概率，然后可解.
【详解】将问题转化为：在三个盒子中各放入2个编号不同的小球，甲从每个盒子中各取一个小球，求甲取到每个盒子中编号较大小球的概率.
甲从三个盒子中各取一球，共有种取法，三个都是编号较大小球只有一种取法，
所以，甲获得3分的概率为.
故答案为：
8．（24-25高三上·天津·阶段练习）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ；从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 .
【答案】 /0.3 /0.4
【分析】利用古典概型求概率公式即可求出结果；
【详解】从5名同学中随机选3名参加社区服务工作共有种选法，
其中甲、乙都入选共有种，
所以甲、乙都入选的概率；
从6张卡片中无放回随机抽取2张共有种抽取情况，
抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的情况有：，，，，，共计6种情况，
所以抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率.
故答案为： ，
9．（2024·浙江宁波·一模）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个大小质地完全相同的小球.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第一轮，甲先从盒子中不放回地随机取两个球，乙接着从盒子中不放回地随机取一个球，若甲抽取的两个小球数字之和大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分；第二轮，甲、乙从盒子中剩余的两个球中依次不放回地随机取一个球，若甲抽取的小球数字大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分.则在两轮游戏中甲共获得2分的概率为 .
【答案】
【分析】列举第一轮中甲得1分的情况，结合排列组合以及乘法公式即可求解.
【详解】若第一轮在第一轮中得1分，
若第一轮中甲抽到的小球为1，3，则乙抽到的小球只能是2，
若第一轮中甲抽到的小球为1，4，则乙抽到的小球可以是2或3，
若第一轮中甲抽到的小球为2，3，则乙抽到的小球可以是1或4，
若第一轮中甲抽到的小球为1，5或者2，4或者2，5或者3，4或者3，5或者4，5时，则乙抽到的小球可以是剩下三个小球中的任何一个，故共有，
因此第一轮中甲得1分的概率为,
在第二轮的过程中，只剩下两个球，要使甲在第二轮中得1分，只需要甲在剩下两个球中抽到号码大的球即可，故概率为，
因此甲在两轮中共得2分的概率为，
故答案为：
易错点04：对条件概率理解不透彻致错
典例 （24-25高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设相应事件,根据题意利用全概率公式运算求解即可.
【详解】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则，，
设“学生肥胖”为事件B，则，，
由全概率公式可得，
所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为.
故选：A
【易错剖析】
本题容易混淆“交事件概率”与“条件概率”的区别而致错.
【避错攻略】
1、条件概率
（1）条件概率的定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．
（2）条件概率的性质
①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．
②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．
③如果与互斥，则．
2、全概率公式
（1）全概率公式：；
（2）若样本空间中的事件，，…，满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意事件，都有，且
．
3、贝叶斯公式
（1）一般地，当且时，有
（2）定理若样本空间中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意概率非零的事件，都有，
且
易错提醒：解决条件概率问题的步骤
第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步．
第二步，计算概率，这里有两种思路：
思路一 缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝计算
思路二 直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝计算
1．（2025高三·全国·专题练习）已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两个事件的和事件的概率公式求出，利用全概率公式得到，再利用条件概率求解即可.
【详解】记事件A：甲去北京旅游，事件B：乙去北京旅游，
则，，，
因为，即，解得，
又因为，即，解得，
因为，所以，
所以.
故选：D.
2．（24-25高三上·天津河东·期末）某厂产品有的产品不需要调试就可以出厂上市，另的产品经过调试以后有能出厂，则该厂产品能出厂的概率 ；任取一出厂产品，求未经调试的概率 ．
【答案】
【分析】答题空一：根据题意设出事件，利用全概率公式即可求解；答题空二：利用空一结果，根据贝叶斯公式即可求解.
【详解】设事件表示产品能出厂上市，事件表示产品不需要调试，表示产品需要调试，
则有，，，，
由全概率公式可得：
；
由贝叶斯公式可得：
.
故答案为：；
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一 二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是 .
【答案】/
【分析】根据条件概率和全概率公式的概率公式求解.
【详解】由于六件货物的质量之和不是3的倍数，因而不可能出现三个箱子的总重量都相同的情况.
设事件表示存在两个箱子，它们的总质量相同且同时最小，事件表示第一 二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量.
考虑三个箱子的摆放顺序，可得.
当发生时，这两个箱子的货物组合只能是和和和三种可能，故.
当不发生时，表示仅有一个箱子的总质量最小，于是由对称性，得.
故.
故答案为：.
1．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）在某次电子竞技大赛中，甲、乙进入决赛，决赛采取五局三胜的冠亚军争夺赛制．已知甲在每局比赛中获胜的概率均为，比赛无平局且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出甲获得冠军的概率，再利用条件概率公式即可求解.
【详解】若比赛进行了三局，甲获得冠军的概率为；
若比赛进行了四局，甲获得冠军的概率为；
若比赛进行了五局，甲第五场赢，甲获得冠军的概率为．
设甲获得冠军为事件，比赛进行了五局为事件，
所以甲获得冠军的概率为，
比赛进行了五局且甲获得冠军的概率为,
故甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为．
故选：A
2．（24-25高三上·江苏南通·期中）（多选）随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与互斥 B．事件A与相互独立 C．D．
【答案】ABC
【分析】根据互斥事件的定义，结合独立事件的定义、条件概率的公式逐一判断即可.
【详解】因为与一定互斥，所以A对；
独立，B对．
对．
错，
故选：ABC
3．（24-25高三上·天津河西·期末）甲袋中有2个白球4个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球的概率是 ；若先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，则取出的是白球的概率是 .
【答案】
【分析】根据题意可知应用古典概型及独立事件的概率乘积公式，利用全概率公式即可求解.
【详解】设从甲袋取出白球为事件A，再从乙袋取出白球为事件B，
若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球为事件
则，.
；
设“从甲袋中取出的一个球为白球”，
“从甲袋中取出的一个球为黑球”，
“从乙袋中取出的一个球为白球”，
根据全概率公式则有
.
故答案为：；.
4．（24-25高三上·天津南开·期末）已知甲 乙 丙三人参加射击比赛，甲 乙 丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为 ；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为 .
【答案】 ； ．
【分析】记甲 乙 丙三人射击一次命中分别为事件，则每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为，由互斥事件、对立事件、独立事件概率公式计算可得，然后由条件概率公式计算在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率．
【详解】记甲 乙 丙三人射击一次命中分别为事件，由题意，
则每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为
,
记三人中恰有两人命中为事件，“三人中恰有两人命中的前提下，甲命中”为事件，
则，
，
，
故答案为：；．
5．（24-25高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知某条线路上有两辆相邻班次的BRT（快速公交车），若准点到站的概率为，在准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下不准点到站的概率为，则准点到站的概率为 .
【答案】/
【分析】根据已知条件以及条件概率列方程，从而求得准点到站的概率.
【详解】设事件A为“A准点到站”，时间B为“B准点到站”
依题意，,
而，
而，则，
又，解得，
故答案为：
6．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）设有甲、乙两个不透明的箱子，每个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球，其中甲箱有4个红球和3个白球，乙箱有3个红球和2个白球.从甲箱中随机摸出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机摸出1个球.
(1)求从乙箱中摸出白球的概率；
(2)若从乙箱中摸出白球，求从甲箱中摸出2个红球的概率.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用独立乘法公式、全概率公式求从乙箱中摸出白球的概率
（2）应用条件概率的求法求从甲箱中摸出2个红球的概率.
【详解】（1）由题意，从甲摸出2红球概率为，此时从乙摸出白球概率为，
从甲摸出2白球概率为，此时从乙摸出白球概率为，
从甲摸出红白球各一个的概率为，此时从乙摸出白球概率为，
所以从乙箱中摸出白球的概率为.
（2）由（1）知，从乙箱中摸出白球情况下，甲箱中摸出2个红球的概率为.
7．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案．
(1)若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回．
（ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率；
（ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率；
(2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率．
【答案】(1)（i）；（i i）
(2)
【分析】（1）（i）先求出没有女生档案的概率，再用1减去这个概率得到有女生档案的概率；（ii）分类讨论，结合条件概率公式计算即可；
（2）要分从第一个档案袋取出的是男生档案和女生档案两种情况来计算概率，再求和即可.
【详解】（1）（i）设事件为“取出的人的档案中有女生档案”，则为“取出的人的档案中没有女生档案”.
第一个档案袋内有份男生档案和份女生档案，总共份档案.
第一次取到男生档案的概率为，因为不放回，此时剩下份档案，
其中男生有份，所以第二次取到男生档案的概率为，那么.
所以.
（ii）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率
设事件为“第次取出的档案是女生”，事件为“取出的人的档案中有女生档案”.
根据条件概率公式.
计算，即取出的人档案中有女生且第次取出的是女生的概率.
分两种情况：第一种情况，第一次取男生第二次取女生，概率为；
第二种情况，第一次取女生第二次取女生，概率为.
所以.
已知，则.
（2）设事件为“从第二个档案中取出的档案是女生”.
分两种情况：
若从第一个档案袋中取出的是男生档案，概率为，
此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案，
那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为.
若从第一个档案袋中取出的是女生档案，概率为，
此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案，
那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为.
所以.
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