专题14 排列组合与二项式定理
目 录
题型一：两个原理
易错点01 混淆两个计数原理而出错
易错点02 分步“有序”导致错误
易错点03 分步不合理导致重复或遗漏
题型二 排列组合
易错点04 忽视排列数组合数公式的隐含条件致误
易错点05 分组问题混淆“均分”与“非均分”
易错点07 计数时混淆有序与定序
题型三 二项式定理
易错点08 混淆“系数”与“二项式系数”而出错
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题型一：两个原理
易错点01：混淆两个计数原理而出错
典例 （24-25高三上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】在甲单独参加某项比赛条件下，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法数，再在甲不单独参加某项比赛条件下，.由分步乘法计数原理及排列知识求满足条件的方法数，最后利用分类加法原理求结论.
【详解】满足条件的报名方法可分为两类：
第一类：甲单独参加某项比赛，
先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有种，
再将余下人，安排到与下的三个项目，
由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，
故满足条件的报名方法有,
所以甲单独参加某项比赛的报名方法有种，
第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛，先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法，再安排余下三人，有种方法，所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有种，
所以满足条件的不同的报名方法共有种方法.
故选：C.
【易错剖析】
在利用两个计数原理处理计数问题时，往往容易因为混淆分类、分步而错用两个原理致错.
【避错攻略】
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法。
分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m·n种不同的方法。
两个计数原理的综合应用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
易错提醒：两个原理的辨析：
(1)联系
分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题.
(2)区别
分类加法计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果，具体区
别如下表：
区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
① 针对的是“分类”问题 针对的是“分步”问题
② 各种方法相互独立 各个步骤中的方法互相依存
③ 用其中任何一种方法都可以完成这件事 只有各个步骤都完成才算完成这件事
(3)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择
分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理；
分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理.
在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用.
1．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
2．（2025·上海·模拟预测）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ）．
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·天津红桥·期中）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有 种．
1．（24-25高三上·重庆·期末）已知某班级将学生分为4个不同的大组，每个大组均有14名学生，现从这个班级里抽取5名学生参加年级活动，要求每个大组至少有1名同学参加，则不同的抽取结果共有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
2．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i项为，若，，，则这样的数列共有（ ）
A．70个 B．71个 C．80个 D．81个
3．（24-25高二下·全国·课后作业）某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（ ）
A．80种 B．90种 C．100种 D．120种
4．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种
A．114 B．120 C．126 D．132
5．（2024·江西新余·模拟预测）为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（ ）种.
A． B． C． D．
6．（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ）
A． B． C． D．
易错点02：分步“有序”导致错误
典例 （24-25高二上·福建泉州·阶段训练）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ）
A． 560 B． 2735 C． 1136 D． 480
【答案】 C
【解析】方法一 将“至少有1个是一等品”的不同取法分三类：“恰有1个一等品”“恰有2个一等品”“恰有3个一等品”．由分类加法计数原理，得不同取法有（种）．
方法二 考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有（种），故选C.
【易错剖析】
由于对实际问题中“至少有1个一等品”意义理解不明，可能导致下面的错误：按分步乘法计数原理，第一步确保有1个一等品，有种取法；第二步从余下的19个零件中任取两个，有种不同的取法，故共有（种）取法，实际上这个解法是错误的．下面我们作如下分析，第一步取出1个一等品，那么第二步就有3种可能：①取出的2个都是二等品，这时的取法有（种）；②取出1个一等品，1个二等品，因为取出2个一等品是分步完成的，这2个一等品的取法就有了先后顺序，而实际上这2个一等品是没有先后顺序的，因此这时的取法就产生了多一倍的重复，即这时的取法有（种）；③取出的2个都是一等品，这时我们取出的3个都是一等品了，实际的取法种数应是．
【避错攻略】
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在最开始计算之前进行仔细分析—需要分类还是需要分步；分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数；分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
易错提醒：对于“至少”“至多”类型的问题，考生应注意从两个方面处理：一是从正面进行处理，可以根据要求进行合理分类，利用分类加法计数原理求解；二是求解该事件的对立事件，即利用排除法求解，其实质还是先进行分类．求解时要根据具体情况选取类别较少的一种方法进行解答．
1．（24-25高三上·广西·期中）为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在内的5名城区教师前往四所乡镇学校支教，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只能去一所学校，则甲、乙不安排在同一所学校的方法数有（ ）
A．1440种 B．240种 C．216种 D．120种
2．（24-25高三上·广东·开学考试）某中学数学组来了名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的，，三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．（24-25高三上·广东河源·阶段练习）某市教育局人事部门打算将甲 乙 丙 丁 戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，则不同的安排方法种数是 .
1．（24-25高二下·全国·课后作业）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（ ）
A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种
2．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么不同的选法种数为（ ）
A．15 B．40 C．55 D．70
3．（24-25高三上·河北唐山·开学考试）某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河南安阳·模拟预测）教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市3所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选择.若每名校长拜访3家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种 B．64种 C．72种 D．80种
5．（24-25高三·上海·随堂练习）将4名志愿者分配到花样滑冰、速度滑冰2个项目协助培训工作，每名志愿者分配到1个项目，每个项目至少分配到1名志愿者，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答）
6．（24-25高三·上海·随堂练习）重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，是我国民间的传统节日，人们常在此日感恩敬老．某校在重阳节当日安排6名学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案是 种．
7．（24-25高三·上海·课堂例题）在迎新班会上，小王设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球中奖，则中奖的概率为 .（结果保留两位小数）
7．（2024·河南周口·模拟预测）十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有 种．（用数字作答）
易错点03：分步不合理导致重复或遗漏
典例 （24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域与区域）所涂颜色相同.若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种.
【答案】
【分析】确定区域，，，的颜色，分区域与区域涂的颜色是否相同两种情况讨论，进而可得出答案.
【详解】解：根据题意，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色．
先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择，
当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择；
当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择，
故不同的涂色方案有种．
故答案为：
【易错剖析】
本题在求解过程中容易错用分步乘法计数原理，从1到8依次涂色，方法数为，错解的根源是涂完1、2后，3号可以与1相同，也可以不同，而3号的颜色影响4号颜色的选择.
【避错攻略】
1.分类计数原理的应用原则
分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，
分类时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种方法必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏.
2.分类计数原理的应用原则
①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才能完成这件事；
②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不可能完成；不能缺少步骤.
③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各个步骤既不能重复也不能遗漏.
易错提醒：使用分步计数原理时，要注意以下三点：（1） 步骤完整性 ：完成一件事必须且只需连续完成所有步骤。每个步骤的方法选择与其他步骤无关，但所有步骤必须依次完成；
（2） 独立性 ：每一步的方法选择是独立的，即前一步的选择不会影响后一步的选择；
（3） 连续性 ：只有当前一步完成后，才能进行下一步。所有步骤必须依次进行，不能跳过任何一步 .
1．（24-25高三上·广西·阶段练习）如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
2．（24-25高二上·辽宁·期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）
A．48种 B．96种 C．102种 D．120种
3．（23-24高三上·河南·期中）玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（ ）
A．216 B．360 C．720 D．1080
1．（25-26高三上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（ ）．
A．240种
B．300种
C．360种
D．420种
2．（24-25高二上·山东菏泽·期中）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现要给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的着色方案种数为（ ）
A．36 B．48 C．72 D．144
3．（2025高三·全国·专题练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色，欲给如图所示的地图中南昌市及与它相邻的4个城市着色，要求相邻城市不涂同一颜色，则不同的涂色方法共有 种.
4．（24-25高三上·福建福州·期中）如图，对某市的个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同的着色方法有 种.
5．（24-25高三·全国·专题训练）已知自然界氧的同位素有，氢的同位素有（自然界中存在极微，可忽略不计），水由氧元素和氢元素组成，化学式为，则自然界中水分子共有 种．
6．（2025年高考模拟）现有A，B，C，D，E五个兴趣小组，在劳动实践课上制作的手工艺品，摆放到如图所示桌面上的四个区域，供学生参观，若要求相邻区域不可以放入同一个兴趣小组的手工艺品，每个区域内只能摆放一个兴趣小组的手工艺品，共有 种摆法．
7．（2024·河南新乡·模拟预测）2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为 ．
8．（24-25高三上·全国·单元测试）如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种.（用数字作答）
题型二：排列组合
易错点04：忽视排列数组合数公式的隐含条件致误
典例 （24-25高三上·河北·期末）若，则（ ）
A．1 B．2 C．8 D．9
【答案】B
【分析】直接利用排列数和组合数的公式计算.
【详解】由得，
解得
故选：B.
【易错剖析】
本题在求解过程中容易忽略这一隐含条件而出错.
【避错攻略】
1、排列与排列数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．
（2）排列数的公式：．
特例：当时，；规定：．
（3）排列数的性质：①；②；③．
2、组合与组合数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．
（2）组合数公式及其推导
求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数；
第二步，求每一个组合中个元素的全排列数；
根据分步计数原理，得到；
因此．
这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：．
易错提醒：无论是排列数还是组合数，在计算含参题目中要注意隐含条件.
1．（23-24高二下·河南·期中）若，则（ ）
A．5 B．20 C．60 D．120
2．（23-24高三下·宁夏吴忠·期中）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·上海宝山·一模）已知关于正整数的方程，则该方程的解为 .
1．（24-25高三上·全国·专题训练）若，则的值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
2．（23-24高二下·陕西西安·期末）若，则n等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知组合数，则关于的不等式的解集为 ．
4．（24-25高三上·河北承德·开学考试）若，则 .
5．（24-25高三·上海·课堂例题）若，则 ．
6．（24-25高三·上海·课堂例题）不等式的解集为 ．
7．（23-24高三·全国·对口高考）计算的值为 .
8．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）若，则 .
易错点05：分组问题混淆“均分”与“非均分”
典例 （24-25高三上·天津武清·期末）为了推动城乡义务教育一体化发展，某师范大学6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为 ．
【答案】540
【分析】先将6名毕业生分成3组，结合平均分组和不平均分组公式，得到分配方案数，再进行全排列，求出答案.
【详解】第一步将6名毕业生分成3组，且每组至少1人，一共有3种分配方案，
其中1、1、4分配方式有种；
1、2、3，分配方式有种；
2、2、2，分配方式有种，
第二步将分好的3组毕业生分配到3所乡村小学，其分法有种，
利用分步计数原理可知，分配方案的总数为．
故答案为：540
【易错剖析】
本题容易在分组过程中，忽略均分组的计数方法而出错.
【避错攻略】
分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
（2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
易错提醒：对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的,位置也应是不同的；③分堆时要注意是否均匀．
1．（24-25高三上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
2．（24-25高三上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．72 B．96 C．114 D．124
3．（25-26高三上·上海·单元测试）3位男生、3位女生平均分成三组，恰好每组都有一位男生和一位女生的概率是 .
1．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（ ）
A．32 B．24 C．18 D．12
2．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为（ ）
A．12 B．24 C．28 D．36
3．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）已知 A，B两个公司承包6项工程，每个公司至少承包2项，则承包方式共有（ ）
A．24种 B．70种 C．48种 D．50种
4．（2024高三下·江西新余·专题练习）将5本不同的书分给3位同学，则每位同学至少有1本书的不同分配方式共有（ ）种.
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·广东·开学考试）某中学数学组来了名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的，，三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
6．（24-25高三·上海·课堂例题）6本不同的书平均分给3人，共有（ ）种分法．
A．90 B．180 C．270 D．45
7．（24-25高三上·天津和平·期末）在杭州亚运会比赛中，6名志愿者被安排到安检、引导运动员入场、赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则合适的安排方案共有 种.（用数字作答）
8．（2024·陕西宝鸡·三模）围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成三个小组，则甲和乙在同一个小组的概率为 ．
易错点06：计数时混淆有序与定序
典例 （2024·山东临沂·模拟）身高互不相同的七名学生排成一排,从中间往两边越来越矮,不同的排法有（ ）
A．5040种 B．720种 C．240种 D．20种
【答案】D
【详解】最高个子站在中间,只需排好左右两边,第一步：先排左边,因顺序固定有种排法,第二步：排右边,因顺序固定,有1种排法,根据分步乘法计数原理,共有种,故选．
【易错剖析】
本题容易混淆定序与有序的区别而错解，即最高个子站在中间,只需排好左右两边,第一步：先排左边,有种排法,第二步：排右边,有 种排法,根据分步乘法计数原理,共有种,而错选B．
【避错攻略】
1.一般地，对于某些元素的顺序固定型问题，解决时有两种方法：
(1)倍缩法：先不考虑限制条件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列；
(2)空位(或占位)法：在总位置中，安排非定序元素的位置，然后对定序元素进行排列时，只有1种排法．如已知n个不同的元素进行排列，要求其中m(m≤n，n∈N*，m∈N*)个元素相对顺序固定不变，有种不同的方法，或从n个位置中排m个元素之外的n－m个元素，再放这定序的m个元素，共有A种不同的方法．
对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n个，新插入的元素为m个，则排列数为.
2.相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．
易错提醒：“定序”是指元素的相对顺序固定,定序问题可看作组合问题，可以看做排列问题之后除掉之间的顺序．
1．（24-25高三上·全国·专题训练）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（ ）
A．8个 B．12个 C．18个 D．24个
2．（23-24高三上·郑州·模拟）今有2个红球，3个黄球，同色球不加以区分，将这5个球排成一行，则不同的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
3．甲，乙等5人站成一排，则甲，乙相邻，且甲在乙左侧的概率为 .
1．某班2024年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为( )
A．2 B．11
C．36 D．42
2．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是________．
3．身高互不相同的7名同学站成一排，其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有________种(用数字作答)．
4．某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．
题型三：二项式定理
易错点07：混淆“系数”与“二项式系数”而出错
典例 （2024·宁夏银川·模拟预测）的展开式的第项的系数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二项式定理的通项可知展开式中的第项为，代入计算可得结果.
【详解】根据二项展开式的通项可知第项为，
因此展开式的第项的系数为.
故选：C
【易错剖析】
本题容易将展开式的系数与二项式系数混淆而出错.
【避错攻略】
1、二项式定理
（1）二项式定理：，
（2）通项公式：，表示展开式的第项：，
（3）二项式系数：系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数.
2、二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质：
①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
（2）二项式系数的最大项
二项式系数先增后减中间项最大
①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
（3）系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，
设第项系数最大，应有，从而解出来．
易错提醒：处理二项展开式的系数问题要区分“二项式系数”与“项的系数”的区别：二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.
1．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）的展开式中的系数为（ ）
A．2 B．6 C．4 D．-4
2．（24-25高三上·贵州·阶段练习）在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（ ）
A．8 B． C．28 D．
3．（2024·安徽阜阳·模拟预测）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项为 B．各项的系数和为64
C．第3项的二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为
1．（24-25高三上·天津和平·期末）二项式的展开式中，项的系数为 .
2．（24-25高三上·天津红桥·期末）的展开式中的的系数是 .
3．（24-25高三上·湖北武汉·期末）的展开式中的系数为 （用数字作答）
4．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）已知展开式的二项式系数之和为32，则该展开式中x的系数为 .
5．（24-25高三上·上海·阶段练习）在的展开式中系数最大的项是第 项．
6．（24-25高三·上海·随堂练习）已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ．
7．（24-25高三·上海·随堂练习）已知的二项式展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则展开式中第3项为 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题14 排列组合与二项式定理
目 录
题型一：两个原理
易错点01 混淆两个计数原理而出错
易错点02 分步“有序”导致错误
易错点03 分步不合理导致重复或遗漏
题型二 排列组合
易错点04 忽视排列数组合数公式的隐含条件致误
易错点05 分组问题混淆“均分”与“非均分”
易错点07 计数时混淆有序与定序
题型三 二项式定理
易错点08 混淆“系数”与“二项式系数”而出错
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
题型一：两个原理
易错点01：混淆两个计数原理而出错
典例 （24-25高三上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】在甲单独参加某项比赛条件下，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法数，再在甲不单独参加某项比赛条件下，.由分步乘法计数原理及排列知识求满足条件的方法数，最后利用分类加法原理求结论.
【详解】满足条件的报名方法可分为两类：
第一类：甲单独参加某项比赛，
先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有种，
再将余下人，安排到与下的三个项目，
由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，
故满足条件的报名方法有,
所以甲单独参加某项比赛的报名方法有种，
第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛，先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法，再安排余下三人，有种方法，所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有种，
所以满足条件的不同的报名方法共有种方法.
故选：C.
【易错剖析】
在利用两个计数原理处理计数问题时，往往容易因为混淆分类、分步而错用两个原理致错.
【避错攻略】
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法。
分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m·n种不同的方法。
两个计数原理的综合应用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
易错提醒：两个原理的辨析：
(1)联系
分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题.
(2)区别
分类加法计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果，具体区
别如下表：
区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
① 针对的是“分类”问题 针对的是“分步”问题
② 各种方法相互独立 各个步骤中的方法互相依存
③ 用其中任何一种方法都可以完成这件事 只有各个步骤都完成才算完成这件事
(3)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择
分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理；
分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理.
在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用.
1．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】由题意可得丙不是第1名，甲乙相邻，先排丙，再排甲，乙，最后再排丁，即可得答案.
【详解】解：由题意可得丙不是第1名，甲，乙相邻；
所以丙是第2名时，甲，乙只能是第3，4名，丁为第1名，此时共2种情况；
丙是第3名时，甲，乙只能是第1，2名，丁为第4名，此时共2种情况；
丙是第4名时，甲，乙有可能是第1，2名，或第2，3名，
当甲，乙是第1，2名时，丁为第3名，此时共2种情况；
当甲，乙是第2，3名时，丁为第1名，此时共2种情况；
所以一共有2+2+2+2=8种情况.
故选：C.
2．（2025·上海·模拟预测）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可.
【详解】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币，
共有种情况，
要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，
若保留两条边，则可保留也可擦去，
共有种情况；
若保留两条边，则可保留也可擦去，
共有种情况（其中有一种情况与上面重复），
则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况，
所以可以到达C点的概率为.
故选：B.
3．（23-24高二下·天津红桥·期中）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有 种．
【答案】50
【分析】分甲选龙和甲不选龙两种情况，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】第一种情况是甲选龙，乙只能选马，丙有10种方法，
第二种情况是甲选牛或马，甲有2种方法，乙也有2种方法，那么丙有10种方法，则共有种方法，
所以共有种方法.
故答案为：50
1．（24-25高三上·重庆·期末）已知某班级将学生分为4个不同的大组，每个大组均有14名学生，现从这个班级里抽取5名学生参加年级活动，要求每个大组至少有1名同学参加，则不同的抽取结果共有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
【答案】C
【分析】根据题意，必有一组应取2人，其余组别各取1人，运用分步乘法计数原理计算即得.
【详解】由题意，要求每个大组至少有1名同学参加，即在4个大组中，必有一个大组有2名同学参加活动，其余组别各有1个同学.
运用分步乘法计数原理解决：先从4个大组中抽取一个有2名同学参加的组，有种，
再从另外三个大组中分别各取1名同学，有种，
最后确定有2个同学参加的组的人选，有种.
由分步乘法计数原理，抽取结果共有个．
故选：C.
2．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i项为，若，，，则这样的数列共有（ ）
A．70个 B．71个 C．80个 D．81个
【答案】B
【分析】先分类，再分步，根据加法原理以及乘法原理、组合数即可求解.
【详解】若，则这样的数列有个；
若，则这样的数列有个；
若，则这样的数列有个，
所以满足条件的数列共有个，
故选：B．
3．（24-25高二下·全国·课后作业）某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（ ）
A．80种 B．90种 C．100种 D．120种
【答案】C
【分析】结合分类加法和分步乘法计数原理，利用组合数即可求得.
【详解】若恰有1名女生参加，则有种，
若恰有2名女生参加，则有种，
所以共有种不同的选派方式．
故选：C.
4．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种
A．114 B．120 C．126 D．132
【答案】A
【分析】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可.
【详解】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，
所以必有一人值班3天，另两人各值班2天.
第一类：值班3天在、、、、、时，共有种不同的值班方法；
第二类：值班3天在、时，共有种不同的值班方法；
第三类：值班3天在时，共有种不同的值班方法；
第四类：值班3天在时，共有种不同的值班方法；
综上可知三位老师在国庆节7天假期共有种不同的值班方法.
故选：A
5．（2024·江西新余·模拟预测）为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（ ）种.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】采用分类与分步计数原理，先排丙共有种分法，再分为甲、丙在同一所学校和甲、丙不在同一所学校两类，每类分别讨论，最后相加得到结果.
【详解】先将丙安排在一所学校，有种分法；
若甲、丙在同一所学校，那么乙就有种选法，
剩下3名教师可能分别有3、2、1人在最后一所学校（记为X校），
分别对应有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人随便排）、
（1人在X校，另2人分在同一所学校或不在同一所学校），
共种排法；
若甲、丙不在同一所学校，则甲有种选法，
若乙与丙在同一所学校，则剩下3名教师按上面方法有19种排法；
若乙与丙不在同一所学校，则有剩下3人可分别分为1、2、3组，
分别有、、种排法，故共有：
种排法.
故选：B.
6．（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是和不是进行分类; 个位不是时要注意选中的数有和不是情况求解.
【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择，
而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论:
①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况，
与百位数一样，只有一种选择，
与个位数一样，也只有一种选择;
②当个位数为2时，
如果百位数为2，则十位数有6种选择，
如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择:
当个位数为4时，
如果百位数为4，则十位数有6种选择，
如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择
综上所述，.
故选：B.
易错点02：分步“有序”导致错误
典例 （24-25高二上·福建泉州·阶段训练）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（ ）
A． 560 B． 2735 C． 1136 D． 480
【答案】 C
【解析】方法一 将“至少有1个是一等品”的不同取法分三类：“恰有1个一等品”“恰有2个一等品”“恰有3个一等品”．由分类加法计数原理，得不同取法有（种）．
方法二 考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有（种），故选C.
【易错剖析】
由于对实际问题中“至少有1个一等品”意义理解不明，可能导致下面的错误：按分步乘法计数原理，第一步确保有1个一等品，有种取法；第二步从余下的19个零件中任取两个，有种不同的取法，故共有（种）取法，实际上这个解法是错误的．下面我们作如下分析，第一步取出1个一等品，那么第二步就有3种可能：①取出的2个都是二等品，这时的取法有（种）；②取出1个一等品，1个二等品，因为取出2个一等品是分步完成的，这2个一等品的取法就有了先后顺序，而实际上这2个一等品是没有先后顺序的，因此这时的取法就产生了多一倍的重复，即这时的取法有（种）；③取出的2个都是一等品，这时我们取出的3个都是一等品了，实际的取法种数应是．
【避错攻略】
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在最开始计算之前进行仔细分析—需要分类还是需要分步；分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数；分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
易错提醒：对于“至少”“至多”类型的问题，考生应注意从两个方面处理：一是从正面进行处理，可以根据要求进行合理分类，利用分类加法计数原理求解；二是求解该事件的对立事件，即利用排除法求解，其实质还是先进行分类．求解时要根据具体情况选取类别较少的一种方法进行解答．
1．（24-25高三上·广西·期中）为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在内的5名城区教师前往四所乡镇学校支教，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只能去一所学校，则甲、乙不安排在同一所学校的方法数有（ ）
A．1440种 B．240种 C．216种 D．120种
【答案】C
【分析】根据分组分配计算所有的安排方法数，再计算甲、乙安排在同一个学校的方法总数，相减得符合的方法数.
【详解】根据题意，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则有种不同安排方法，
若甲、乙安排在同一个学校，则有种不同安排方法，
甲、乙不安排在同一所学校的方法数有种．
故选：C．
2．（24-25高三上·广东·开学考试）某中学数学组来了名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的，，三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【分析】先把名大学生按照分成三组，再将三个组分到个班，计算可得答案．
【详解】将名大学生分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，
则将名大学生分成三组，一组人，另两组都是人，有种方法，
再将组分到个班，共有种不同的分配方案，
故选：B．
3．（24-25高三上·广东河源·阶段练习）某市教育局人事部门打算将甲 乙 丙 丁 戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，则不同的安排方法种数是 .
【答案】
【分析】根据题意，先将5人分成4组，再安排的4个不同的学校，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，先将甲 乙 丙 丁 戊这5名应届大学毕业生，分成组，
其中一组两人，其他三组各一人，有种分法，
在把分成的4组安排到市4所不同的学校任教，有种安排方法，
由分步计数原理得，共有种不同安排方法.
故答案为：.
1．（24-25高二下·全国·课后作业）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（ ）
A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种
【答案】C
【分析】根据分类加法计数原理，结合排列组合以及分步乘法计数原理即可求解.
【详解】根据题意甲乙丙丁四个班的书可以按照3，1，2，1或者2，1，2，2或者2，1，3，1三种方式分配，
故总的分配方案有种．
故选：C
2．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么不同的选法种数为（ ）
A．15 B．40 C．55 D．70
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用排除法，结合组合计数问题列式计算即得.
【详解】从8名学生中任选4名有种，没有甲乙的选法有种，
所以甲乙至少1人参加的不同的选法种数为.
故选：C
3．（24-25高三上·河北唐山·开学考试）某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分步乘法计数原理，先从4人中选出2人作为一组，有种方法，再与另外2人一起进行排列，有种方法，相乘即可得到答案.
【详解】4名学生分到3个小区，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，
∴4名同学不同的分组方法只能为2，1，1，
∴不同的安排方法有(种).
故选：D.
4．（2024·河南安阳·模拟预测）教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市3所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选择.若每名校长拜访3家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种 B．64种 C．72种 D．80种
【答案】A
【分析】按照间接法，先计算3名校长在4家企业任取3家企业的所有安排情况，然后减去3名校长选的3家企业完全相同的安排方法数，即可求得所需安排情况种数.
【详解】解：3名校长在4家企业任取3家企业的所有安排情况为：种
又每家企业至少接待1名校长，故3名校长选的3家企业，不全相同，
因为3名校长选的3家企业完全相同有种，
则不同的安排方法共有：种.
故选：A.
5．（24-25高三·上海·随堂练习）将4名志愿者分配到花样滑冰、速度滑冰2个项目协助培训工作，每名志愿者分配到1个项目，每个项目至少分配到1名志愿者，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答）
【答案】14
【分析】分两种情况，每组2个人或者一组3人，一组1人，结合排列组合知识得到答案.
【详解】先将4名志愿者分成2组，分别是每组2个人或者一组3人，一组1人，
若每组2个人，分别分配给2个项目，则有种分法；
若一组3人，一组1人，分别分配给2个项目，则有种分法；
因此不同的分配方案共14种.
故答案为：14．
6．（24-25高三·上海·随堂练习）重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，是我国民间的传统节日，人们常在此日感恩敬老．某校在重阳节当日安排6名学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案是 种．
【答案】50
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合分组分配列式计算即得.
【详解】6名学生分成两组，要求每组不少于2人，则分组情况有两类：
第一类，一组2人一组4人，不同的分配方案为种；
第二类，每组3人，不同的分配方案为种，
所以不同的分配方案共有50种．
故答案为：50
7．（24-25高三·上海·课堂例题）在迎新班会上，小王设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球中奖，则中奖的概率为 .（结果保留两位小数）
【答案】0.19
【分析】根据给定条件，利用概率的加法公式，结合组合计数问题列式计算即得.
【详解】令中奖的事件为，则它是摸到3个红球的事件、摸到4个红球的事件、摸到5个红球的事件的和，它们互斥，
所以
故答案为：0.19
7．（2024·河南周口·模拟预测）十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有 种．（用数字作答）
【答案】
【分析】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是和，先求出5名工作人员分配到3个会议厅的情况数，甲乙两人分配到同一个会议厅的情况数，相减得到答案.
【详解】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是和，
人数组合是时，共有种情况，
其中甲 乙两人分配到同一个会议厅的情况为种，
从而甲 乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种；
人数组合是时，共有种情况，
其中甲 乙两人分配到同一个会议厅的情况为种，
从而甲 乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种，
所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种.
故答案为：.
易错点03：分步不合理导致重复或遗漏
典例 （24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域与区域）所涂颜色相同.若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种.
【答案】
【分析】确定区域，，，的颜色，分区域与区域涂的颜色是否相同两种情况讨论，进而可得出答案.
【详解】解：根据题意，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色．
先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择，
当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择；
当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择，
故不同的涂色方案有种．
故答案为：
【易错剖析】
本题在求解过程中容易错用分步乘法计数原理，从1到8依次涂色，方法数为，错解的根源是涂完1、2后，3号可以与1相同，也可以不同，而3号的颜色影响4号颜色的选择.
【避错攻略】
1.分类计数原理的应用原则
分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，
分类时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种方法必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏.
2.分类计数原理的应用原则
①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才能完成这件事；
②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不可能完成；不能缺少步骤.
③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各个步骤既不能重复也不能遗漏.
易错提醒：使用分步计数原理时，要注意以下三点：（1） 步骤完整性 ：完成一件事必须且只需连续完成所有步骤。每个步骤的方法选择与其他步骤无关，但所有步骤必须依次完成；
（2） 独立性 ：每一步的方法选择是独立的，即前一步的选择不会影响后一步的选择；
（3） 连续性 ：只有当前一步完成后，才能进行下一步。所有步骤必须依次进行，不能跳过任何一步 .
1．（24-25高三上·广西·阶段练习）如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】先涂，，，然后分类讨论的颜色，最后利用乘法原理与加法原理可得答案.
【详解】先涂，，，有种方法.
若的颜色不同于，，所涂颜色，有种涂法，此时有种涂法，则对应总涂法数为；
若的颜色与的颜色相同，此时有种涂法，则对应总涂法数为；
若的颜色与的颜色相同，此时有种涂法，则对应总涂法数为.
综上，总涂法数为.
故选：C
2．（24-25高二上·辽宁·期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）
A．48种 B．96种 C．102种 D．120种
【答案】B
【分析】设图中的六个区域分别为，按照是否同色，分两类，再结合分步乘法计数原理运算求解.
【详解】如图，设图中的六个区域分别为，
按照是否同色，分两类：
①不同色，先给涂色，有，再根据是否用余下那种颜色分两种情况，
不用第三种颜色，即用的颜色，用的颜色，有种，有种，则有种涂法；
用第三种颜色，即用第三种颜色，用的颜色，有种，有种，
或用第三种颜色， 用的颜色，则有种涂法，
所以不同色的涂法有：，
②同色，先给涂色，有，则只能用第三种颜色，有种，有种，
所以同色的涂法有：，
综上，不同的涂色方法有：种.
故选：B.
3．（23-24高三上·河南·期中）玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（ ）
A．216 B．360 C．720 D．1080
【答案】D
【分析】根据题意，结合棱柱的结构特征，分3步讨论侧棱、上底、下底的涂色方法，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，如图：
分3步进行分析：
①要求侧棱用同一种颜色，则侧棱有5种选色的方法，
②对于上底，有4种颜色可选，则有，
③对于下底，每条边与上底和侧棱的颜色不同，有种选法，
则共有种选法．
故选：D．
1．（25-26高三上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（ ）．
A．240种
B．300种
C．360种
D．420种
【答案】D
【分析】先安排中心区域A，再从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，分D与B选用同一种和选用不同种类菊花两种情况，结合计数原理得到答案.
【详解】先布置中心区域A共有5种方法，从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，
则B有4种布置方法，C有3种布置方法．
如果D与B选用同一种菊花，则E有3种布置方法；
如果D与B选用不同种类菊花，则D有2种布置方法，E有2种布置方法．
按照分步乘法与分类加法计数原理，
则全部的布置方法有（种）.
故选：D．
2．（24-25高二上·山东菏泽·期中）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现要给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的着色方案种数为（ ）
A．36 B．48 C．72 D．144
【答案】C
【分析】分使用了3种颜色和使用了4种颜色求解.
【详解】按使用颜色的种类分类，
第一类：使用了3种颜色，则1,3同色且2,5同色，则共种，
第二类：使用了4种颜色，则1,3同色2,5不同色或1,3不同色2,5同色，则共种，
所以不同的着色方案种数为种.
故选：C.
3．（2025高三·全国·专题练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色，欲给如图所示的地图中南昌市及与它相邻的4个城市着色，要求相邻城市不涂同一颜色，则不同的涂色方法共有 种.
【答案】72
【分析】分两种情况讨论，运用分类计数原理、分步计算原理进行求解即可.
【详解】由地图可知，与南昌市相邻的4个城市为：九江市、上饶市、抚州市、宜春市，
先给南昌市着色，有4种方法，再给与南昌市相邻的四个城市涂色，
可分以下两类：
①九江市与抚州市涂同种颜色，方法数为：（种）；
②九江市与抚州市涂不同颜色，方法数为：（种），
故不同涂色方法数为：.
故答案为：72
4．（24-25高三上·福建福州·期中）如图，对某市的个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同的着色方法有 种.
【答案】
【分析】利用分步乘法计数原理来求得正确答案.
【详解】按①②③④的顺序进行着色，
按分步计数原理可得不同的着色方法有.
故答案为：
5．（24-25高三·全国·专题训练）已知自然界氧的同位素有，氢的同位素有（自然界中存在极微，可忽略不计），水由氧元素和氢元素组成，化学式为，则自然界中水分子共有 种．
【答案】9
【分析】根据组合数的概念和分类、分步计数原理列式求解.
【详解】由水分子的化学式可知，相同氢原子构成“”有种，
不同的氢原子构成“”有种，则“”的组成共有种，
所以水分子一共有种．
故答案为：9.
6．（2025年高考模拟）现有A，B，C，D，E五个兴趣小组，在劳动实践课上制作的手工艺品，摆放到如图所示桌面上的四个区域，供学生参观，若要求相邻区域不可以放入同一个兴趣小组的手工艺品，每个区域内只能摆放一个兴趣小组的手工艺品，共有 种摆法．
【答案】260
【分析】分两类：第一类，2，3区域放同一兴趣小组的手工艺品，第二类，2，3区域摆放不同兴趣小组的手工艺品，每一类中运用分步计数原理可求每一类的方法数，进而可求总的方法数.
【详解】分两类：第一类，2，3区域放同一兴趣小组的手工艺品：
第一步，第1区域，有5种摆法，
第二步，第2，3区域有4种摆法，
第三步，第4区域有4种摆法，共计有种摆法；
第二类，2，3区域摆放不同兴趣小组的手工艺品：
第一步，第1区域，有5种摆法，
第二步，第2区域，有4种摆法，
第三步，第3区域，有3种摆法，第四步，第4区域，有3种摆法，
共计有5×4×3×3=180种摆法．
故共有80+180=260种摆法．
故答案为：260.
7．（2024·河南新乡·模拟预测）2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为 ．
【答案】10
【分析】先考虑最后一棒的方案，再考虑中间两棒的方案即可.
【详解】最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是从乙、丙中选1人，从除甲、乙、丙之外的2人中选1人组成，所以最后一棒的安排方案有：种；
安排最后一棒后，剩余两人安排在中间两棒，方案有：种，
由分步计数乘法原理，不同的传递方案种数为：种.
故答案为：10
8．（24-25高三上·全国·单元测试）如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种.（用数字作答）
【答案】750
【分析】从最左边的一个格子开始考虑，利用分步乘法计数原理进行计算.
【详解】首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择，左边第二个格子有5种选择，第三个格子有5种选择，第四个格子也有5种选择，
根据分步乘法计数原理得，共有＝750(种)涂色方法.
故答案为：750
题型二：排列组合
易错点04：忽视排列数组合数公式的隐含条件致误
典例 （24-25高三上·河北·期末）若，则（ ）
A．1 B．2 C．8 D．9
【答案】B
【分析】直接利用排列数和组合数的公式计算.
【详解】由得，
解得
故选：B.
【易错剖析】
本题在求解过程中容易忽略这一隐含条件而出错.
【避错攻略】
1、排列与排列数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．
（2）排列数的公式：．
特例：当时，；规定：．
（3）排列数的性质：①；②；③．
2、组合与组合数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．
（2）组合数公式及其推导
求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数；
第二步，求每一个组合中个元素的全排列数；
根据分步计数原理，得到；
因此．
这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：．
易错提醒：无论是排列数还是组合数，在计算含参题目中要注意隐含条件.
1．（23-24高二下·河南·期中）若，则（ ）
A．5 B．20 C．60 D．120
【答案】D
【分析】根据组合数的性质求出，再根据排列数公式计算可得.
【详解】因为，所以或，
解得（舍去）或，
所以.
故选：D
2．（23-24高三下·宁夏吴忠·期中）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用排列数公式化简并求解不等式.
【详解】不等式中，，化为，
整理得，解得，因此，
所以不等式的解集是.
故选：A
3．（2024·上海宝山·一模）已知关于正整数的方程，则该方程的解为 .
【答案】或
【分析】利用组合数的性质得到方程，解方程，结合的取值范围即可求解.
【详解】根据组合数的性质，由
可知：或，
即或，所以和均满足题意，
所以该方程的解为：或.
故答案为：或
1．（24-25高三上·全国·专题训练）若，则的值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【分析】根据题意，利用组合数的公式，列出方程求得，结合组合数的计算公式，即可求解.
【详解】由，所以，可得，解得，
所以．
故选：C.
2．（23-24高二下·陕西西安·期末）若，则n等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【分析】根据题意，结合组合数的性质，可得，再结合组合数的性质，从而得到关于n的方程，解方程即可.
【详解】解：根据题意，变形可得，；
由组合性质可得，，即，
则可得到.
故选：B.
【点睛】本题考查组合数的性质，掌握组合数性质是解题关键．组合数的两个性质：（1）；（2）．
3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知组合数，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】利用组合数的计算展开不等式求解即可；
【详解】不等式，
即不等式，
解得，又因且为正整数，
所以原不等式的解集为．
故答案为：.
4．（24-25高三上·河北承德·开学考试）若，则 .
【答案】
【分析】根据题意，结合组合数的计算公式，准确计算，即可求解.
【详解】由组合数的计算公式，可得，解得.
故答案为：.
5．（24-25高三·上海·课堂例题）若，则 ．
【答案】
【分析】根据排列、组合数的运算性质计算即可.
【详解】由，
则，
即，
化解得，
解得或（舍）.
故答案为：.
6．（24-25高三·上海·课堂例题）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】利用组合数公式，结合一元二次不等式求解即得.
【详解】不等式化为：，整理得，解得，而，
所以，原不等式的解集为.
故答案为：
7．（23-24高三·全国·对口高考）计算的值为 .
【答案】466
【分析】根据给定条件，结合组合数的意义求出n值，再利用组合数公式求解作答.
【详解】依题意，，解得，而，于是得，
所以，原式.
故答案为：466
8．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）若，则 .
【答案】或
【分析】根据组合数的性质得到方程，解得即可；
【详解】因为
所以或,
解得或，经检验成立
故答案为：或
易错点05：分组问题混淆“均分”与“非均分”
典例 （24-25高三上·天津武清·期末）为了推动城乡义务教育一体化发展，某师范大学6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为 ．
【答案】540
【分析】先将6名毕业生分成3组，结合平均分组和不平均分组公式，得到分配方案数，再进行全排列，求出答案.
【详解】第一步将6名毕业生分成3组，且每组至少1人，一共有3种分配方案，
其中1、1、4分配方式有种；
1、2、3，分配方式有种；
2、2、2，分配方式有种，
第二步将分好的3组毕业生分配到3所乡村小学，其分法有种，
利用分步计数原理可知，分配方案的总数为．
故答案为：540
【易错剖析】
本题容易在分组过程中，忽略均分组的计数方法而出错.
【避错攻略】
分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
（2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
易错提醒：对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的,位置也应是不同的；③分堆时要注意是否均匀．
1．（24-25高三上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】在甲单独参加某项比赛条件下，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法数，再在甲不单独参加某项比赛条件下，.由分步乘法计数原理及排列知识求满足条件的方法数，最后利用分类加法原理求结论.
【详解】满足条件的报名方法可分为两类：
第一类：甲单独参加某项比赛，
先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有种，
再将余下人，安排到与下的三个项目，
由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，
故满足条件的报名方法有,
所以甲单独参加某项比赛的报名方法有种，
第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛，
先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法，
再安排余下三人，有种方法，
所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有种，
所以满足条件的不同的报名方法共有种方法.
故选：C.
2．（24-25高三上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．72 B．96 C．114 D．124
【答案】C
【分析】根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求解.
【详解】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，
则不同的安排方法有种.
将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，
则不同的安排方法有种.
故不同的安排方法共有种.
故答案为：C.
3．（25-26高三上·上海·单元测试）3位男生、3位女生平均分成三组，恰好每组都有一位男生和一位女生的概率是 .
【答案】/0.4
【分析】求出3位男生、3位女生平均分成三组的情况数和恰好每组都有一位男生和一位女生的情况数，得到概率.
【详解】3位男生、3位女生平均分成三组，共有种情况，
其中恰好每组都有一位男生和一位女生的情况有种，
故恰好每组都有一位男生和一位女生的概率为.
故答案为：
1．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（ ）
A．32 B．24 C．18 D．12
【答案】B
【分析】按照A场地安排人数分类讨论，结合分类加法原理，利用排列组合知识求解即可.
【详解】按照A场地安排人数，可以分以下两类：
第一类，A场地安排1人，共种安排方法，
第二类，A场地安排2人，共种安排方法，
由分类加法计数原理得，共有（种）不同安排方法.
故选：B
2．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为（ ）
A．12 B．24 C．28 D．36
【答案】D
【分析】分三种情况，两人所选影片均不同，两人所选影片中，《名侦探柯南》相同，不是《名侦探柯南》相同，分别计算出相应的方案数，相加即可.
【详解】若两人所选影片均不同，此时小明先从除《名侦探柯南》中选择一部，
小华从剩余的3部中选择两部，此时共有种方案，
若两人所选影片中，《名侦探柯南》相同，则两人从剩余4部中各选1部，有种方案，
若两人所选影片中，不是《名侦探柯南》相同，相同的影片为4部中1部，有种选择，
再给小华从剩余3部中选择一部，有种选择，故共有种方案，
综上，共有种方案.
故选：D
3．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）已知 A，B两个公司承包6项工程，每个公司至少承包2项，则承包方式共有（ ）
A．24种 B．70种 C．48种 D．50种
【答案】D
【分析】根据题意，分A公司承包2项工程，承包3项工程和承包4项工程，分类解决问题.
【详解】根据题意，分三种情况：
①A公司承包2项工程，剩余4项工程B公司承包，则有种方式，
②A公司承包3项工程，剩余3项工程B公司承包，则有种方式，
③A公司承包4项工程，剩余2项工程B公司承包，则有种方式，
所以承包方式共有种方式.
故选：D
4．（2024高三下·江西新余·专题练习）将5本不同的书分给3位同学，则每位同学至少有1本书的不同分配方式共有（ ）种.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出将5本不同的书分成三份的方法数，再求出将分好的三份书籍分发给3位同学的方法数即可根据分步乘法计算原理求解.
【详解】由题可先将5本不同的书分成三份，共有种方法，
再将分好的三份书籍分发给3位同学的方法数有种，
所以将5本不同的书分给3位同学共有种分法.
故选：C.
5．（24-25高三上·广东·开学考试）某中学数学组来了名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的，，三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【分析】先把名大学生按照分成三组，再将三个组分到个班，计算可得答案．
【详解】将名大学生分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，
则将名大学生分成三组，一组人，另两组都是人，有种方法，
再将组分到个班，共有种不同的分配方案，
故选：B．
6．（24-25高三·上海·课堂例题）6本不同的书平均分给3人，共有（ ）种分法．
A．90 B．180 C．270 D．45
【答案】A
【分析】利用分步乘法计数原理，结合组合计数问题列式计算即得.
【详解】从6本不同的书中任取2本给第一个人，从余下的4本书中任取2本给第二个人，余下2本给第三个人，
因此不同给法种数是.
故选：A
7．（24-25高三上·天津和平·期末）在杭州亚运会比赛中，6名志愿者被安排到安检、引导运动员入场、赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则合适的安排方案共有 种.（用数字作答）
【答案】540
【分析】本题为先分组再分配问题，第一步先分组，第二步再分配.
【详解】6名志愿者被安排三项工作，每项工作至少安排1人，
则分组方式为或或；
第一步先分组，分组方式共有种；
第二步再分配，三个组三个任务，由排列的定义可知为全排列种分配方案；
第三步根据分步乘法原理总计种安排方案.
故答案为：540.
8．（2024·陕西宝鸡·三模）围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成三个小组，则甲和乙在同一个小组的概率为 ．
【答案】/
【分析】先求出5人分成3个小组的分法，然后求出甲和乙在一个小组的情况，利用古典概型即可求解．
【详解】解：把5人分成3个小组的分法有：3，1，1和2，2，1，
3，1，1的分法有种，甲和乙在一个小组的情况有种，
2，2，1的分法有种，甲和乙在一个小组的情况有种，
故所有的分组方法有25种，甲和乙在同一个小组的情况有6种，
故概率．
故答案为：．
易错点06：计数时混淆有序与定序
典例 （2024·山东临沂·模拟）身高互不相同的七名学生排成一排,从中间往两边越来越矮,不同的排法有（ ）
A．5040种 B．720种 C．240种 D．20种
【答案】D
【详解】最高个子站在中间,只需排好左右两边,第一步：先排左边,因顺序固定有种排法,第二步：排右边,因顺序固定,有1种排法,根据分步乘法计数原理,共有种,故选．
【易错剖析】
本题容易混淆定序与有序的区别而错解，即最高个子站在中间,只需排好左右两边,第一步：先排左边,有种排法,第二步：排右边,有 种排法,根据分步乘法计数原理,共有种,而错选B．
【避错攻略】
1.一般地，对于某些元素的顺序固定型问题，解决时有两种方法：
(1)倍缩法：先不考虑限制条件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列；
(2)空位(或占位)法：在总位置中，安排非定序元素的位置，然后对定序元素进行排列时，只有1种排法．如已知n个不同的元素进行排列，要求其中m(m≤n，n∈N*，m∈N*)个元素相对顺序固定不变，有种不同的方法，或从n个位置中排m个元素之外的n－m个元素，再放这定序的m个元素，共有A种不同的方法．
对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n个，新插入的元素为m个，则排列数为.
2.相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．
易错提醒：“定序”是指元素的相对顺序固定,定序问题可看作组合问题，可以看做排列问题之后除掉之间的顺序．
1．（24-25高三上·全国·专题训练）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（ ）
A．8个 B．12个 C．18个 D．24个
【答案】C
【分析】分首位为2、1计算出每种情况的结果数，再相加即可.
【详解】当首位为2时，这样的五位数有个；
当首位为1时，这样的五位数有个.
综上，这样的五位数共有个.
故选：C.
2．（23-24高三上·郑州·模拟）今有2个红球，3个黄球，同色球不加以区分，将这5个球排成一行，则不同的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将5个球全排列，再除以2个红球全排列数和3个黄球全排列数.
【详解】因为5个球有种排法，因为同色球不加以区分，2个红球有种排法，3个黄球排有种排法，所以共有种排法．
故选：D．
3．甲，乙等5人站成一排，则甲，乙相邻，且甲在乙左侧的概率为 .
【答案】/0.2
【分析】先求出甲，乙等5人站成一排共有的情况数，再计算出甲，乙相邻，且甲在乙左侧的情况数，从而计算出概率.
【详解】甲，乙等5人站成一排，共有种情况，
若甲，乙相邻，将两人捆绑后看为一个整体，两人可以交换位置，
和剩余的3人进行全排列，共有种情况，
故甲，乙相邻，且甲在乙左侧的情况有种情况，
所以甲，乙相邻，且甲在乙左侧的概率为.
故答案为：
1．某班2024年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为( )
A．2 B．11
C．36 D．42
【答案】 D
【详解】将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有6×7＝42种插入方法．
2．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是________．
【答案】 120
【详解】六个元素进行排序，保证甲、乙、丙三个元素顺序不变，再加入三个元素进行排序，共＝120种排法．
3．身高互不相同的7名同学站成一排，其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有________种(用数字作答)．
【答案】840
【详解】解法一：先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有A种排法，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排，即有A＝840种排法．
解法二：将7名同学全排列，有A种排法，因为甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列，所以共有＝840种排法．
4．某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．
【答案】720
【详解】原先七个节目的不同安排方法共有种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有＝720(种)．
题型三：二项式定理
易错点07：混淆“系数”与“二项式系数”而出错
典例 （2024·宁夏银川·模拟预测）的展开式的第项的系数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二项式定理的通项可知展开式中的第项为，代入计算可得结果.
【详解】根据二项展开式的通项可知第项为，
因此展开式的第项的系数为.
故选：C
【易错剖析】
本题容易将展开式的系数与二项式系数混淆而出错.
【避错攻略】
1、二项式定理
（1）二项式定理：，
（2）通项公式：，表示展开式的第项：，
（3）二项式系数：系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数.
2、二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质：
①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
（2）二项式系数的最大项
二项式系数先增后减中间项最大
①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
（3）系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，
设第项系数最大，应有，从而解出来．
易错提醒：处理二项展开式的系数问题要区分“二项式系数”与“项的系数”的区别：二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.
1．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）的展开式中的系数为（ ）
A．2 B．6 C．4 D．-4
【答案】B
【分析】利用二项式的展开式的通项可求得的展开式中的系数.
【详解】的展开式中的系数即为的展开式中的系数，
又二项式的展开式的通项为，
令，可得，
所以的展开式中的系数为，所以的展开式中的系数.
故选：B.
2．（24-25高三上·贵州·阶段练习）在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（ ）
A．8 B． C．28 D．
【答案】C
【分析】利用二项式系数的意义求解即可.
【详解】第3项的二项式系数为.
故选：C.
3．（2024·安徽阜阳·模拟预测）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项为 B．各项的系数和为64
C．第3项的二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为
【答案】A
【分析】对于A，由二项式展开式，通过赋值即可得解；对于B，直接赋值即可得解；对于C，由二项式系数的性质即可判断；对于D，由奇数项、偶数项二项式系数的性质即可判断.
【详解】对于A，的展开式通项为，
当时，常数项为，选项A正确；
对于B，令，得各项的系数和为，选项B错误；
对于C，展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误；
对于D，依题意奇数项二项式系数和为，选项D错误.
故选：A.
1．（24-25高三上·天津和平·期末）二项式的展开式中，项的系数为 .
【答案】80
【分析】利用二项式定理计算得到答案.
【详解】的展开式的通项为：
，
令，解得，
所以项的系数为.
故答案为：80.
2．（24-25高三上·天津红桥·期末）的展开式中的的系数是 .
【答案】280
【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求解.
【详解】二项式的展开式的通项是，
令，解得．故的展开式中的的系数是．
故答案为：.
3．（24-25高三上·湖北武汉·期末）的展开式中的系数为 （用数字作答）
【答案】
【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中和的系数，即可得的展开式中的系数.
【详解】的展开式的通项式
当时，,
当时，,
的展开式中含的系数为.
故答案为：.
4．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）已知展开式的二项式系数之和为32，则该展开式中x的系数为 .
【答案】
【分析】由二项式系数和为求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得.
【详解】依题意可得，所以，
则展开式的通项为
，，
令，解得，所以展开式中的系数为.
故答案为：
5．（24-25高三上·上海·阶段练习）在的展开式中系数最大的项是第 项．
【答案】
【分析】根据二项式的展开项的通项确定系数为，结合组合数的性质即可得系数最大的项.
【详解】的展开式的通项为，
则展开式的系数为，故为偶数时系数为正数，
由组合数，可知当，即时，取到最大值，也符合为偶数，
故展开式中系数最大的项是第项.
故答案为：.
6．（24-25高三·上海·随堂练习）已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ．
【答案】/
【分析】由二项式系数最大和系数最大的定义求解.
【详解】由题意得，通项，
当满足时，系数最大，
，即，解得
又
解得，
所以，
故．
故答案为：
7．（24-25高三·上海·随堂练习）已知的二项式展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则展开式中第3项为 ．
【答案】135x
【分析】赋值法得，再由二项式的展开式的通项可得答案.
【详解】令，得各项系数之和为，由已知得，所以，
所以二项式的展开式的通项为
，
所以．
故答案为：．
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