专题01 集合、逻辑用语与不等式
考点01 集合及运算
1．（24-25高三上·北京朝阳·期末）已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
易错分析：在求解不等式解集的交、并、补运算时，一定要注意等号能否取得.
2．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知集合，，若，则中所有元素之和为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（ ）
A．1 B． C．2 D．1或2
易错分析：根据集合间的关系求参数时，一定要注意检验是否满足元素的互异性.
4．已知集合，若，则所有符合条件的实数组成的集合是（ ）
A． B． C． D．
易错分析：已知集合间的包含关系求参数时要注意讨论两种情况.
5．已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
6．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围为 ．
7．（2024·河南驻马店·二模）已知集合，若，则 ；若，则的取值范围为 .
考点02 常用逻辑用语
1．（24-25高三上·北京朝阳·期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
易错分析：在判断充分条件、必要条件时一定要弄清相关概念，以防出错.
2．（24-25高三上·江苏常州·期末）已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025高三·全国·专题练习）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·山东·二模）已知，，若是的充分不必要条件，则（ ）
A． B． C． D．
易错分析：已知充分、必要条件求参数范围，一定注意正确转化为集合间的包含关系再求解.
5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
易错分析：要注意“A是B的充分条件”和“A的充分条件是B”的区别.
6．已知，则的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·重庆·三模）（多选）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·天津河北·期末）命题 ，的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
易错分析：写全称命题和存在量词命题的否定要注意两点：一是转换量词；二是否定结论.
9．（2024·四川·模拟预测）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高三上·山西·阶段练习）若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
易错分析：不等式的恒成立问题和有解一般都要转化为函数的最值问题.
11．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）已知命题“，”为真命题，则实数m的可能取值是（ ）
A． B．0 C．1 D．
考点03 不等式
1．（2024·北京海淀·三模）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（2025高三·全国·专题练习）若，那么下列不等式一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
易错分析：利用不等式的性质判断不等关系式时，一定要注意不等式性质成立的前提条件.
3．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
易错分析： 解一元二次不等式时要注意二次项系数的符号，它决定了不等式解集的性质.
4．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C． D．
易错分析： 通过一元二次不等式的解集，可以判断其对应的二次函数的开口和零点.
5．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（ ）
A． B． C． D．
易错分析： 一元二次型不等式在R上的恒成立问题，要注意讨论二次项是否可以为零.
6．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．若函数在处取得最小值，则等于（ ）
A． B． C．3 D．4
易错分析： 利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件是否成立.
8．（23-24高三上·上海杨浦·期中）关于x的不等式的解集是 .
9．不等式的解集是 ．
易错分析： 分式不等式一般转化为整式不等式求解，要注意转化的等价性，避免造成取值范围的变大.
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考点01 集合及运算
1．（24-25高三上·北京朝阳·期末）已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据补集关系分析运算即可.
【详解】因为全集，集合，
所以.
故选：D.
易错分析：在求解不等式解集的交、并、补运算时，一定要注意等号能否取得.
2．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知集合，，若，则中所有元素之和为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由，求出或，再分类讨论由集合的互异性可求出，即可得出答案.
【详解】由得或，解得：或，
若，则，不符合题意；
若，，从而，
所以中所有元素之和为4.
故选：C.
3．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（ ）
A．1 B． C．2 D．1或2
【答案】C
【分析】得到，分和两种情况，求出，舍去不合要求的解，得到答案.
【详解】由题意得，
当时，解得或，
当时，满足要求，
当时，，，，中元素均与互异性矛盾，舍去，
当时，，此时，中元素与互异性矛盾，舍去，
综上，.
故选：C
易错分析：根据集合间的关系求参数时，一定要注意检验是否满足元素的互异性.
4．已知集合，若，则所有符合条件的实数组成的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，得到，分和两种情况讨论，即可求解
【详解】等价于，
当时，，此时，符合；
当时，，因为，故或，即或．
所以符合条件的实数组成的集合是．
故选：D
易错分析：已知集合间的包含关系求参数时要注意讨论两种情况.
5．已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
【答案】ABC
【分析】解一元二次不等式求集合A，根据各选项中集合的关系，列不等式或方程求参数值或范围，判断A、B、C的正误，已知参数，解一元二次不等式求集合B，应用交运算求判断正误即可.
【详解】由已知得：，令
A：若，即是方程的两个根，则，得，正确；
B：若，则，解得，正确；
C：当时，，解得或，正确；
D：当时，有，所以，错误；
故选：ABC.
6．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】对集合根据和进行分类讨论，再由确定不等关系求解即可.
【详解】因为，所以，则.
当时，，由，得，解得；
当时，，此时，符合条件．
综上所述，a的取值范围为.
故答案为：.
7．（2024·河南驻马店·二模）已知集合，若，则 ；若，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】解出集合中的不等式，利用集合的交并补运算即可求解.
【详解】即，
则，
所以，
若，则，
，
若，，
则，故的取值范围为.
故答案为：；.
考点02 常用逻辑用语
1．（24-25高三上·北京朝阳·期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由对数函数的单调性，结合充分条件和必要条件的定义即可下结论.
【详解】当时，，所以充分性成立；
若，即，
当时，，所以不成立，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
易错分析：在判断充分条件、必要条件时一定要弄清相关概念，以防出错.
2．（24-25高三上·江苏常州·期末）已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用推出关系去判断充要关系即可.
【详解】当时，是等差数列，不是等比数列，
当既是等差数列又是等比数列，则，
故“既是等差数列又是等比数列”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
3．（2025高三·全国·专题练习）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】借助数形结合解不等式，结合图象判断结果.
【详解】画出函数与的图象，如图所示．
由图象知，在上，两函数有2个公共点，，
在上，两函数有一个公共点．
观察图象可知：在上，；在上，；
在上，；在上，恒有．
因此，“”是“”的充分不必要条件，
故选:A．
4．（2024·山东·二模）已知，，若是的充分不必要条件，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先化简命题，依题意可得当时恒成立，参变分离可得在上恒成立，结合函数的单调性计算可得.
【详解】命题，即，
因为是的充分不必要条件，
显然当时满足，
所以当时恒成立，
则在上恒成立，
又函数在上单调递增，且，
所以.
故选：A
易错分析：已知充分、必要条件求参数范围，一定注意正确转化为集合间的包含关系再求解.
5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数的取值范围，再求其真子集，即可判断选项.
【详解】若命题“，”为假命题，
则命题的否定“，”为真命题，
即，恒成立，
，，当，取得最大值，
所以，选项中只有是的真子集，
所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为.
故选：D
易错分析：要注意“A是B的充分条件”和“A的充分条件是B”的区别.
6．已知，则的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用指数函数的性质，求得不等式的解集，结合选项，以及必要不充分条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得，即，解得，
结合选项，可得的一个必要不充分条件为.
故选：A.
7．（2024·重庆·三模）（多选）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根据题意，转化为存在，设定，利用二次函数的性质，求得的最小值为，求得的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解.
【详解】由题意，存在，使得，即，
当时，即时，的最小值为，故；
所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集，
结合选项可得，C和D项符合条件.
故选：CD.
8．（24-25高三上·天津河北·期末）命题 ，的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】命题 ，为存在量词命题，
其否定为：，.
故选：C
易错分析：写全称命题和存在量词命题的否定要注意两点：一是转换量词；二是否定结论.
9．（2024·四川·模拟预测）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分离参数，求函数的最小值即可求解.
【详解】因为命题“”为真命题，所以．
令与在上均为增函数，
故为增函数，当时，有最小值，即，
故选：A．
10．（24-25高三上·山西·阶段练习）若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】问题转化为当时，恒成立，利用二次函数的性质，求出在上的最大值，解不等式求实数的取值范围即可.
【详解】因为为假命题，所以为真命题，
即当时，恒成立.
因为函数图象的对称轴为，
所以当时，，所以，
即，解得或，
即实数的取值范围为.
故选：D.
易错分析：不等式的恒成立问题和有解一般都要转化为函数的最值问题.
11．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）已知命题“，”为真命题，则实数m的可能取值是（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】AB
【分析】先利用题给条件求得实数m的取值范围，进而得到实数m的可能取值.
【详解】因为命题“，”为真命题，
所以，，
令，，则，
可知为增函数，当时，有最小值，
故实数m的取值范围为，
故选：AB.
考点03 不等式
1．（2024·北京海淀·三模）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】举反例即可判断ABC，根据基本不等式和指数运算即可判断D.
【详解】对A，当时，则，故A错误；
对B，当时，则，则，故B错误；
对C，当时，根据对数函数单调性知，故C错误；
对D，若，则，
当且仅当时取等号，故D正确.
故选：D.
2．（2025高三·全国·专题练习）若，那么下列不等式一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用作差法判断AD，利用不等式的性质判断BC.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，故B错误；
对于C，因为，，，所以，
因为，，所以，所以，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：B
易错分析：利用不等式的性质判断不等关系式时，一定要注意不等式性质成立的前提条件.
3．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解出集合、，利用补集和并集的定义可求得集合.
【详解】由，得，解得或，则或，
由，得，所以，，
所以．
故选：D．
易错分析： 解一元二次不等式时要注意二次项系数的符号，它决定了不等式解集的性质.
4．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得且方程的解为，利用韦达定理将用表示，再根据一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为，
所以且方程的解为，
所以，所以，
则不等式，即为不等式，
则，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
易错分析： 通过一元二次不等式的解集，可以判断其对应的二次函数的开口和零点.
5．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分类讨论，利用判别式小于0，即可得到结论
【详解】当，即时，，恒成立；
当时，，解之得，
综上可得
故选：D
易错分析： 一元二次型不等式在R上的恒成立问题，要注意讨论二次项是否可以为零.
6．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】换元，利用对勾函数的单调性求出最小值.
【详解】令，则，
而函数在上单调递增，
所以当，即时，取得最小值.
故选：D
7．若函数在处取得最小值，则等于（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】由，利用基本不等式求解.
【详解】解：因为函数，
当且仅当，即时，等号成立，
所以等于3，
故选：C
易错分析： 利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件是否成立.
8．（23-24高三上·上海杨浦·期中）关于x的不等式的解集是 .
【答案】或
【分析】利用分式不等式的解法求解即可.
【详解】因为，
所以，解得或，
所以的解集为或.
故答案为：或.
9．不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】移项通分得，即，再利用穿根法即可得到答案.
【详解】，即，即，
则，根据穿根法解得，
故答案为：.
易错分析： 分式不等式一般转化为整式不等式求解，要注意转化的等价性，避免造成取值范围的变大.
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