专题02 函数与导数
考点01 函数的定义域
1．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·河北沧州·期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
易错分析：已知函数f(x)的定义域为[a,b]，求f[g(x)]的定义域应由求得.
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的定义域为，值域为，则（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的定义域和值域都是
D．函数的定义域和值域都是
6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ．
考点02 函数的单调性
1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
易错分析：求函数的单调区间应先求函数的定义域，因为单调区间一定是函数定义域的子集.
2．函数的单调增区间为（ ）
A． B． C．和 D．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（且）在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
易错分析：函数在上单调递增，则函数一定在区间上有意义.
4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
5．（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·四川眉山·期中）命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
易错分析：分析分段函数的单调性时要注意两方面，一是各段的单调性，二是分段处函数值的大小关系.
8．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知的最小值是，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点03 导数的几何意义
1．（24-25高三上·黑龙江·期末）设函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
易错分析： 求曲线的切线方程时要区分在P点和过P点的切线的不同.
3．（2024·湖南·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河北邯郸·二模）设函数的图像与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·河南信阳·三模）动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
易错分析： 复合函数求导时要注意正确应用复合函数的求导法则.
7．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
8．（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（ ）
A． B．1 C． D．
9．已知直线是曲线的切线，则（ ）
A． B．1 C． D．2
10．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 .
11．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
考点04 导数与函数的单调性
1．函数的递增区间是（ ）
A． B．和
C． D．
易错分析： 利用导数求函数的单调区间时要先求函数的定义域，再在定义域上求函数的单调区间.
2．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
3．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
易错分析： 已知函数的单调性求参数问题往往要转化为函数的最值问题处理.
6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．m>1
8．若都有成立，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
9．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知函数.
(1)若曲线在处的切线方程为，求实数的值；
(2)讨论函数的单调性.
考点05导数与函数的极值
1．（24-25高三上·北京海淀·期末）设函数，则“”是“没有极值点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（24-25高三上·江苏常州·期末）若函数在处取得极小值，则实数（ ）
A． B．2 C．2或0 D．0
易错分析： 已知函数的极值（点）求参数要注意函数极值点其本质是函数单调性的转折点，对于可导函数而言，极值点处导数为零且两侧导函数的符号相反.
3．（2024·河北·模拟预测）设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为（ ）
A．0 B． C． D．
4．函数在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数有极值点在闭区间上，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2024·广西·二模）已知是函数的极小值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三·全国·专题练习）函数的极值点为（ ）
A．3 B． C． D．
8．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知函数，则（ ）
A．函数有两个零点 B．函数在区间上单调递增
C．函数的极小值为 D．函数是奇函数
9．（24-25高三上·青海·期中）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（ ）
A．
B．
C．有3个零点
D．直线与的图像仅有1个公共点
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考点01 函数的定义域
1．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项．
【详解】对于A选项，函数的定义域为；
对于B选项，由，得，故函数的定义域为；
对于C选项，函数的定义域为；
对于D选项，函数的定义域为．
故选：B．
2．（24-25高三上·河北沧州·期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由解析式可得函数的定义域应满足，求解即可.
【详解】函数的定义域应满足：
,解得且，
所以函数的定义域为.
故选:D.
3．已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出的定义域，然后由抽象函数的定义域的求法求解即可.
【详解】因为，
由得：，
所以的定义域为：，
由得，所以，
故的定义域为：.
故选：A
易错分析：已知函数f(x)的定义域为[a,b]，求f[g(x)]的定义域应由求得.
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数的定义域得到的范围，根据分母不为0及被开方数非负得到关于的不等式，求出不等式的解集．
【详解】解：由函数的定义域是，得到，
故即
解得：；
所以原函数的定义域是：．
故选：．
【点睛】本题考查学生掌握复合函数的定义域，考查了对数不等式的解法，属于基础题．
5．已知函数的定义域为，值域为，则（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的定义域和值域都是
D．函数的定义域和值域都是
【答案】B
【分析】根据题意，由抽象函数单调性的求解，逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误；
对于B选项：因为的值域为，所以的值域为，可得向下平移两个单位的函数的值域也为，故B选项正确；
对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误；
对于D选项：若函数的值域为，则，此时无法判断其定义域是否为，故D选项错误.
故选：B
6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据的定义域为，得到的定义域为，再由求解.
【详解】解：因为的定义域为，
则，即，
所以的定义域为，
又，
所以函数的定义域为.
故答案为：
考点02 函数的单调性
1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出定义域，再利用二次函数单调性判断出结果.
【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
故选：D.
易错分析：求函数的单调区间应先求函数的定义域，因为单调区间一定是函数定义域的子集.
2．函数的单调增区间为（ ）
A． B． C．和 D．
【答案】C
【分析】由可得且，然后求出的减区间即可.
【详解】由可得且，
因为开口向下，其对称轴为，
所以的减区间为和
所以的单调增区间为和
故选：C
3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（且）在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对数型复合函数单调性列式求解即得.
【详解】由函数在上单调递增，得或，解得或，
实数的取值范围是.
故选：D
易错分析：函数在上单调递增，则函数一定在区间上有意义.
4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数、二次函数的单调性即可求解.
【详解】由于在上单调递减，令，，
因为为减函数，又在区间上单调递增，
由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减，
且在上恒成立，因为为二次函数，开口向下，
对称轴为，由在上单调递减，可得，解得，
由在上恒成立，即，，
可得在上恒成立，则，
综上，实数a的取值范围为
故选：D.
5．（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由题设条件证明，再验证时条件满足即可.
【详解】若在上单调递增，
则必然在处有定义，所以，即；
若，则当时，所以在上有定义，
再由知在上单调递增，所以在上单调递增.
故选：C.
6．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性、结合对数型复合函数的单调性列不等式求解作答.
【详解】由或.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
又函数在上单调递增，所以.
即的取值范围为：.
故选：D
7．（24-25高三上·四川眉山·期中）命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
【答案】A
【分析】根据分段函数的单调性得到不等式得到，分离常数后，由的单调性得到，结合集合的包含关系得到是的充分不必要条件.
【详解】要在上单调递减，
则，解得，
在为增函数，则，解得，
因为是的真子集，故命题是命题的充分不必要条件.
故选：A
易错分析：分析分段函数的单调性时要注意两方面，一是各段的单调性，二是分段处函数值的大小关系.
8．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知的最小值是，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因为函数有最小值，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，再结合，即可解得结果.
【详解】因为函数的最小值是，
所以当时，函数单调递减，即，解得①
当时，函数单调递增，即②
又因最小值为，得，解得③，联立①②③可得.
故选：D
考点03 导数的几何意义
1．（24-25高三上·黑龙江·期末）设函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出导函数，再得出切线的斜率进而得出点斜式方程即可.
【详解】由题意得，
于是当时，曲线在点处的切线斜率为，
此时切线方程为，即.
故选:D.
2．过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设切点坐标为，求得切线方程为，把原点代入方程，得到，解得，即可求得切线方程.
【详解】由函数，可得，
设切点坐标为，可得切线方程为，
把原点代入方程，可得，即，
解得，所以切线方程为，即.
故选：A.
易错分析： 求曲线的切线方程时要区分在P点和过P点的切线的不同.
3．（2024·湖南·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】由题意，的导函数，故曲线在点处的切线斜率为，
则切线方程，即，
故选：B.
4．（2024·河北邯郸·二模）设函数的图像与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令可计算出切点坐标，结合导数的几何意义可得切线斜率，即可得解.
【详解】令，即，即，解得，
故，，则，
则其切线方程为：，即.
故选：C.
5．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【详解】设曲线在点处的切线方程为，
因为，
所以，
所以
所以
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
6．（2024·河南信阳·三模）动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出定义域，求导，结合基本不等式得到，求出以P为切点的切线的倾斜角取值范围.
【详解】令，解得，故的定义域为，
，当且仅当，即时，等号成立，
故，故以P为切点的切线的倾斜角取值范围是.
故选：C
易错分析： 复合函数求导时要注意正确应用复合函数的求导法则.
7．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据切线的斜率的几何意义可知，求出切点，代入切线即可求出.
【详解】设切点为
因为切线，
所以，
解得（舍去）
代入曲线得，
所以切点为
代入切线方程可得，解得.
故选：D.
8．（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】求出的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为，求得函数的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得的值，进而得到的值.
【详解】由曲线，得，
在处的切线斜率为，当时，，
曲线在处的，即，
曲线，导数为，
设切点为，则，解得，切点在切线上，
即有，得.
故选：A.
9．已知直线是曲线的切线，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答.
【详解】函数，求导得，令直线与曲线相切的切点为，
于是且，所以.
故选：B
10．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程.
【详解】因为，所以，
令，得，解得，所以切线斜率为2，
因为，令，得，
解得，所以切点坐标为.
所以在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
11．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
【答案】2
【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得．将切点代入两条曲线，联立方程可分别求得.
【详解】直线是曲线的切线，也是曲线的切线，
则两个切点都在直线上，设两个切点分别为,，,，
则两个曲线的导数分别为，，
由导数的几何意义可知，则，
且切点在各自曲线上，
则将代入①可得，，③
③②可得，
故答案为：2．
考点04 导数与函数的单调性
1．函数的递增区间是（ ）
A． B．和
C． D．
【答案】C
【分析】利用导数求的递增区间.
【详解】由题设，且，可得，
所以递增区间为.
故选：C
易错分析： 利用导数求函数的单调区间时要先求函数的定义域，再在定义域上求函数的单调区间.
2．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导，解不等式可得.
【详解】的定义域为
解不等式，可得，
故函数的递减区间为.
故选：B．
3．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导，导函数在上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决.
【详解】，又在上单调递增，故在上恒成立，而时，易见，只需要即可，故.
故选：B.
4．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求得导函数，根据函数单调递减可知在区间上恒成立，即可由定义域及不等式求得的取值范围.
【详解】函数，.
则，
因为在区间上单调递减，
则在区间上恒成立，即，
所以在区间上恒成立，
所以，解得，
故选：A.
5．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把题意转化为在上有解，设，利用导数判断单调性，即可求解.
【详解】由可得：.
因为函数在区间内存在单调递增区间，
所以在上有解，即在上有解.
设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以.
所以.
故选：D
易错分析： 已知函数的单调性求参数问题往往要转化为函数的最值问题处理.
6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，只需存在区间，使得当时，，根据导数的零点大小分，和讨论求解.
【详解】由题意得，
要使在上存在单调递减区间，只需存在区间，使得当时，，
当时，，显然不存在满足条件的区间；
当时，的解集为，因为，
所以要使在上存在单调递减区间，则，解得；
当时，的解集为，因为，
所以要使在上存在单调递减区间，则，解得.
综上，的取值范围为.
故选：A.
7．若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．m>1
【答案】B
【详解】首先求出的定义域和极值点，由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可．
【分析】函数的定义域为，
且，
令，得，
因为在区间上不单调，
所以，解得：
故选：B.
8．若都有成立，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】将所给不等式转化为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此得出正确的选项.
【详解】根据题意，若，则.
设.
所以可得在，函数为增函数.
对于，其导数.
若，解得，即函数的递增区间为；
若都有成立，即在，函数为增函数，则的最大值为1.
故选：B.
9．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知函数.
(1)若曲线在处的切线方程为，求实数的值；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)或；
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义结合切线方程，列式求解，即得答案.
（2）求出函数的导数，结合二次函数的判别式，分类讨论，判断导数正负，即可求得答案.
【详解】（1）由于，则，
点在上， 故；
又，则，
则，解得或；
（2）由题意得的定义域为，
则，
令，
当时，即，所以在上单调递减；
当时，，
当时，，则在上单调递增；
当时，，的根为，
由于，即，
当或时，，
在和上单调递增；
当时，，
在上单调递减；
综上，当时，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减.
当时，在上单调递增.
考点05导数与函数的极值
1．（24-25高三上·北京海淀·期末）设函数，则“”是“没有极值点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义，及充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】函数，求导得，
当时，，当且仅当时取等号，则在R上单调递增，无极值点；
若没有极值点，则没有变号零点，因此，解得，
所以“”是“没有极值点”的充分必要条件.
故选：C
2．（24-25高三上·江苏常州·期末）若函数在处取得极小值，则实数（ ）
A． B．2 C．2或0 D．0
【答案】D
【分析】对函数求导，根据极小值点求参数，注意验证即可得答案.
【详解】由，则，得或2，
时，，在R上单调递增，不满足；
时，，在上，在上，
所以在上单调递增，在上单调递减，满足题设，
所以.
故选：D
易错分析： 已知函数的极值（点）求参数要注意函数极值点其本质是函数单调性的转折点，对于可导函数而言，极值点处导数为零且两侧导函数的符号相反.
3．（2024·河北·模拟预测）设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】对函数求导后，令导数为零，讨论方程的根，再根据零点的定义即可求值.
【详解】由，得，
令，则或，
当时，由，得，
所以，则
当时，由，得，
由，得或，
当时，不存在极值点，
当时，得，
综上，，
所以当时，.
故选：B
4．函数在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导，根据极值分析可得与有2个变号交点，对求导，利用导数判断其单调性和最值，结合的图象分析求解.
【详解】因为的定义域为，且，
令，可得，
由题意可知与有2个变号交点，
则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
可得，且当x趋近于0，趋近于，当x趋近于，趋近于0，
可得的图象，如图所示：
由图象可得，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数有极值点在闭区间上，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对求导，求出的单调性和极值，可得或，解不等式即可得出答案.
【详解】因为的定义域为，
所以，
令，解得：或，
令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以为的极大值点，为的极小值点，
所以或，
解得：或.
所以的取值范围为：.
故选：A.
6．（2024·广西·二模）已知是函数的极小值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据极小值的定义，在的左侧函数递减，右侧函数递增可得.
【详解】由已知，，
令得或，
由题意是极小值点，则，
若，则时，，单调递减，时，，单调递增，
则是函数的极小值点，
若，则时，，单调递减，时，，单调递增，
则是函数的极大值点，不合题意，
综上，，即.
故选：A.
7．（2025高三·全国·专题练习）函数的极值点为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】求导，运用导函数正负得到单调性，得到极值点.
【详解】由已知，得的定义域为，且，
令，得（负根舍去）.
当时，；
当时，，
当时，取得极小值，故的极小值点为，无极大值点.
故选:B.
8．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知函数，则（ ）
A．函数有两个零点 B．函数在区间上单调递增
C．函数的极小值为 D．函数是奇函数
【答案】AC
【分析】求出函数的解析式，可求出函数的零点，可判断A选项；利用导数分析函数的单调性，可判断B选项；利用函数的极值与导数的关系可判断C选项；计算出的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，
所以，令，可得，
可知函数有两个零点，A对；
对于BC选项，因为，由可得或，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
故在区间上不单调，函数的极小值为，B错C对；
对于D选项，设，若为奇函数，则，
即，但，
所以函数不是奇函数．
故选：AC．
9．（24-25高三上·青海·期中）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（ ）
A．
B．
C．有3个零点
D．直线与的图像仅有1个公共点
【答案】ACD
【分析】首先求函数的导数，根据极小值点以及极小值求参数，判断AB，再根据导数与函数的关系判断函数的图象，即可判断CD.
【详解】由题意得
则，解得，故A正确.
由，解得，故B错误.
，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以的极大值为，
画出草图，所以有3个零点，故C正确；
直线与的图像仅有1个公共点，故D正确.
故选：ACD.
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