专题06 直线与圆、圆锥曲线
考点01 直线的方程
1．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知直线：，：，若，则（ ）
A．5 B．2 C．2或-5 D．5或-2
【答案】A
【分析】根据直线平行，结合一般式方程建立方程，分别验根，可得答案.
【详解】因为直线：与直线：平行，
所以，解得或.
当时，直线：与直线：重合，不符合题意；
当时，直线：与直线：平行，符合题意.
综上，.
故选：A.
易错分析：已知直线平行求参数时要注意直线重合与斜率不存在的情况.
2．“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由两直线平行得出的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】若直线与直线平行，
则有，解得或，
当时，直线即为，
直线，即为，两直线平行，符合题意；
当时，直线即为直线，
直线，即为，两直线平行，符合题意；
故两直线平行时，或，
所以“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件，
故选；C.
3．已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由可求出的值，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】若则且所以或
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
4．已知直线与直线互相平行，则实数的值为( )
A． B．2或 C．2 D．
【答案】D
【分析】两直线斜率存在时，两直线平行则它们斜率相等，据此求出a的值，再排除使两直线重合的a的值即可﹒
【详解】直线斜率必存在，
故两直线平行，则，即，解得，
当时，两直线重合，∴．
故选：D．
5．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.
【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，
又因为直线过点，所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即，
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为点在直线上，
所以，解得，
所以直线方程为，
故所求直线方程为或.故D项正确.
故选：D
易错分析：在应用直线方程的截距式时要判断是否存在截距为零的情况.
6．（23-24高三下·浙江·开学考试）直线过抛物线的焦点，且在轴与轴上的截距相同，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，求得抛物线的焦点为，设直线方程为，代入直线方程求得的值，即可求解.
【详解】由抛物线的焦点为，
又由直线在轴与轴的截距相同，可得直线方程为，
将点代入，可得，所以直线的长为.
故选：A.
7．直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据题意，由直线的方程，结合直线截距的定义计算，即可求解．
【详解】由题意，直线，
令，解得，故；令，解得，所以．
故选：B．
8．已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（ ）
A．1 B． C．2或1 D．或1
【答案】C
【分析】根据题意，分别求得直线在坐标轴上的截距，列出方程，即可求解.
【详解】由直线，显然，
当时，可得，即直线在轴上的截距为；
当时，可得，即直线在轴上的截距为；
因为直线在x轴和y轴上的截距相等，可得，
即，解得或.
故选：C.
9．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）已知点，则过点且与原点的距离为2的直线l的方程为 .
【答案】或
【分析】对直线的斜率分类讨论，再利用点到直线的距离公式及其点斜式即可得出答案.
【详解】①当的斜率不存在时显然成立，此时的方程为．
②当的斜率存在时，
设，即，
由点到直线的距离公式得，，解得，
．
故所求的方程为或．
故答案为：或．
易错分析：设直线方程的点斜式时要检验斜率不存在的情况是否满足题意.
考点02 圆的方程
1．（2024·吉林·三模）已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将一般方程转化为标准方程后可求参数的取值范围.
【详解】圆的标准方程为：，
故即或，
故选：D.
易错分析：当圆的一般方程中含有参数时要注意满足这一隐含条件.
2．（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知圆：，过点可作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到，求出的大范围，再由点在圆外，得到点到圆心的距离大于半径，从而求出参数的取值范围.
【详解】圆：，即，
则圆心为，半径，且，则，
又过点可作两条直线与圆相切，所以点在圆外，
所以，解得或，
综上可得实数的取值范围是.
故选：D
3．（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可.
【详解】由题意知，
故，
又由圆的一般方程，
可得，即，
即或，
所以实数的范围为.
故选：C.
4．（2024高三·全国·专题练习）过点作圆的切线，则的方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【分析】根据两点坐标求距离公式判断在圆上，结合直线与圆的位置关系计算即可求解.
【详解】，
，圆心坐标为，
，即在圆上，
则过点的切线方程为，
整理得.
故选：C
易错分析：求过某点的圆的切线方程时应先判断点与圆的位置关系，然后根据位置关系判断切线的条数，避免因为忽略斜率不存在的情况而漏解.
5．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先说明点在圆外，再设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出即可.
【详解】将代入圆方程得，则该点在圆外，
，即，则其圆心为，半径为1，
当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去，
则设切线方程为：，即，
则有，解得，此时切线方程为.
故选：C.
6．（2024高三·全国·专题练习）过圆x2＋y2－4x＝0上点P(1，)的圆的切线方程为（ ）
A．x＋y－4＝0
B．x－y＝0
C．x－y＋2＝0
D．x＝1或x－y＋2＝0
【答案】C
【详解】
注意到P(1，)在圆x2＋y2－4x＝0上，将点(1，)代入公式(x0－2)(x－2)＋(y0－0)(y－0)＝4，得直线方程x－y＋2＝0.
【考查意图】过圆上一点的圆的切线.
7．（24-25高三上·天津·阶段练习）若直线被圆截得的弦长为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题目得到圆的圆心和半径，利用几何法来表示弦长即可求得结果.
【详解】由题知，圆的圆心为，半径为，
由弦长为，解得.
故选：A
8．（2024·甘肃兰州·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，，则（ ）
A．0或1 B．1或 C．1或2 D．0或2
【答案】D
【分析】根据直线与圆相交，利用垂径定理可求参数的值.
【详解】
设圆心到直线的距离为，
则.由，得，
解得或.
故选：D
9．当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先确定曲线所表示的图形，再根据数形结合得出实数的取值范围.
【详解】直线恒过点，
由可得，等式两边平方得，
曲线表示圆的上半圆，作出示意图如下：
当直线与半圆相切时，即直线与半圆相切时，
有，解得，
当直线过时，，解得，
要想曲线与直线有个相异交点，
数形结合得到：实数的取值范围是.
故选：D.
易错分析：对曲线方程化简时要注意化简的等价性，避免因为化简不等价而造成增根.
10．若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可.
【详解】由知直线过定点，
由曲线，两边平方得，
则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点），
当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，
此时，解得，
当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点，
圆心到直线的距离，解得，
要使直线与曲线恰有两个交点，
则直线夹在两条直线之间，因此，
即实数的取值范围为.
故选：B.
11．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．] B． C． D．
【答案】A
【分析】画出图形，求出直线过定点，数形结合再由圆心到直线的距离等于半径和斜率的定义求解即可；
【详解】曲线即为半圆：，
其图象如图所示，
曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线，
当直线与半圆相切时，有，解得，
当直线过时，有，
因为直线与半圆有两个不同的交点，故，
故选：A.
12．（24-25高三上·黑龙江·期末）圆：与圆：的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】判断两圆的位置关系，即可判断出答案.
【详解】易得圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
且，即圆与圆相交，
故其公切线条数为2.
故选：B.
13．（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）若曲线与圆相切，则的值为（ ）
A．3 B．2或7 C．2 D．3或7
【答案】A
【分析】依题意可得曲线表示以为圆心，为半径的半圆（轴及轴上方部分），再确定圆心坐标，从而得到的值.
【详解】曲线，则，又，
所以曲线表示以为圆心，为半径的半圆（轴及轴上方部分），
圆的圆心为，半径为，
又，
若，即时满足曲线与圆相切.
故选：A
14．（2024高三·全国·专题练习）已知点P在圆上，点，满足的点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示确定点的轨迹，结合圆与圆的位置关系即可判断.
【详解】设点，则，且，
由，得，
即，
故点的轨迹为一个圆心为，半径为的圆，
则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为．
因为，所以两圆相交，满足这样的点有2个
故选：B
15．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知圆，圆．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出的距离，再由题意得到关于的不等式求得答案.
【详解】
如图，圆的半径为，圆上存在点，
过点作圆的两条切线，切点为，使得，
则，在中，，
又圆的半径等于，圆心坐标，
，，
，
由，
解得：，则的取值范围为.
故选：D.
考点03 圆锥曲线的定义
1．已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在
【答案】D
【分析】根据与的关系判断点的轨迹.
【详解】由题设知，
则动点P的轨迹不存在．
故选：D
易错分析：根据椭圆的定义判断曲线类型时要注意判断动点到两个定点距离和与两定点间距离大小的比较.
2．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知圆，，动圆与圆相内切，与圆相外切，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合圆与圆的位置关系与椭圆定义可得结果.
【详解】设圆的半径为，根据题意得：，，
所以，
根据椭圆的定义可知，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，
设其方程为，其中，，
，，则，
所以点的轨迹方程为，
故选：B
3．（2024高三·全国·专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（ ）
A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义求解即可.
【详解】表示平面内到点，的距离之和为的动点的轨迹，由于，所以点的轨迹是椭圆.
故选：B.
4．（2024高三·全国·专题练习）与圆外切，且与圆内切的圆的圆心在（ ）
A．抛物线上 B．圆上 C．双曲线的一支上 D．椭圆上
【答案】C
【分析】由两圆相切的条件得出动点满足的性质，再利用双曲线的定义可得．
【详解】由题设，的圆心为，，半径为的圆心为，半径为2，
若所求圆的圆心为，半径为，由图及已知条件易得，，
则，
由双曲线定义知，圆心在以为焦点的双曲线的右支上．
故选：C．
易错分析：双曲线的定义要注意两点：一是动点到两定点距离差的绝对值为常数2a，二是要2a<2c.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据中为定值，故先化简再分析满足的距离关系即可.
【详解】设，因为，
故，即.
故点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，
且，故.
所以点的轨迹方程为.
故选：B.
6．（2024·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，
设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为，
若圆与圆外切，则，，
可得；
若圆与圆内切，则，，
可得；
综上所述：，
可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，则，
所以动点P的轨迹方程为.
故选：B.
7．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，点P在双曲线C上，且，则（ ）
A．13 B．16 C．1或13 D．3或16
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义求解．
【详解】由双曲线可得．
因为，所以点在双曲线的左支上，
所以，则．
故选：A．
易错分析：双曲线上任意一点到焦点的距离都满足.
8．（2024高三·全国·专题练习）若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义即可写出点P的轨迹方程.
【详解】由题意，知P到的距离比它到的距离小2，
因此P到的距离与到直线的距离相等，
故P的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线，
所以P的轨迹方程为．
故选：C
9．在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等，
由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以，点的轨迹方程为.
故选：B.
10．点P到点的距离比它到直线l：的距离大4，则点P的轨迹是（ ）
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．以上都不对
【答案】D
【分析】根据给定条件，按点在直线及左侧、右侧两种情况分类讨论，结合抛物线定义判断即得.
【详解】由点P到点的距离比它到直线的距离大4，知点P既可以在直线的左侧，也可以在直线的右侧，
当点P在直线及左侧时，点P到点的距离等于它到直线的距离，
则点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线在直线及左侧部分；
当点P在直线的右侧时，点P到点的距离等于它到直线的距离，
则点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线在直线的右侧部分，
所以点P的轨迹包含以上两部分，选项ABC错误，D正确.
故选：D
考点04 圆锥曲线的方程及几何性质
1．（24-25高三上·福建泉州·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先化为椭圆标准方程，再根据椭圆方程性质列不等式组计算即可求参.
【详解】因为方程表示椭圆，
所以且与不相等，
所以.
故选：C.
易错分析：方程表示椭圆的条件是，表示双曲线的条件是.
2．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是（ ）.
A． B．或
C． D．
【答案】B
【分析】借助椭圆的标准方程与充要条件的定义计算即可.
【详解】若表示椭圆，
则，解得或.
故选：.
3．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）对于实数，“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据双曲线的特征得到的取值，再根据充分条件的判定即可得到结果.
【详解】若方程表示双曲线，
则，得或，
则“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，
故选：A.
4．（24-25高三上·江苏无锡·期中）求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【分析】分析可知，，对椭圆的焦点位置进行分类讨论，将点的坐标代入椭圆方程，求出的值，即可得出椭圆的标准方程.
【详解】由题意可知，，
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，
将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，
此时，椭圆的标准方程为；
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，
将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，
此时，椭圆的标准方程为.
综上所述，椭圆的标准方程为或.
故选：C.
易错分析：求椭圆标准方程的步骤是先定位、再定量，即先确定焦点在哪个坐标轴上，然后再求的值，当焦点位置不确定时要分情况讨论.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义确定的值，即可得双曲线方程.
【详解】因为，
由双曲线的定义可得即，且焦点在x轴上，
所以双曲线的方程为．
故选：A.
易错分析：已知圆锥曲线的方程和性质求参数，要注意分析焦点位置.
6．（24-25高三上·河南南阳·期中）已知椭圆的短轴长为4，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】根据短轴长求得，讨论大小及椭圆定义求参数.
【详解】由的短轴长为4，得，即，则，
若，则，显然矛盾；
若，则．
经验证，当时，椭圆的短轴长为4，
故选：B
7．（2024·山东·一模）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【分析】根据椭圆的离心率求出的值，对椭圆的焦点位置进行分类讨论，求出的值，即可求得椭圆的长轴长.
【详解】因为，所以，.
①若椭圆的焦点在轴上，则，可得，则，
此时，椭圆的长轴长为；
②若椭圆的焦点在轴上，则，可得，则，
此时，椭圆的长轴长为.
综上所述，椭圆的长轴长为或.
故选：D.
8．（2024·内蒙古·三模）已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的方程，结合离心率的定义和求法，列出方程，即可求解.
【详解】由椭圆，可得，，则，
所以，解得.
故选：B.
9．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，已知椭圆，.点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是上的动点，且为定值，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆性质以及圆的方程即可得，构造方程即可解得离心率.
【详解】易知，设，
要使为定值，则有，为常数；
显然，因此可得，
比较两边系数可得，
故，即，
整理可得，即，也即，
又，解得.
故选：A
易错分析：圆锥曲线的离心率问题要注意椭圆离心率的范围是，双曲线的离心率范围是.
10．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线经过点．记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到，的关系式，根据的取值范围，通过分析函数单调性可得到结果.
【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，不妨设焦点在轴上，点在第一象限．
点在线段的垂直平分线上，．
由椭圆、双曲线的定义得：，，，整理得，
，即，，
,其中.
令
则.
∵当时，，∴在单调递增，
，∴，即.
故选：B.
11．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知双曲线 ，过点 有且仅有一条直线与双曲线 的右支相切，则双曲线 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，作出草图，利用双曲线的性质结合图形分类讨论计算即可.
【详解】如图，由题意，点在图中阴影部分区域或双曲线C的右支上．
当点在双曲线C的右支上时，
，解得，此时离心率；
当点在图中阴影部分区域时，，解得，
此时离心率；
综上，双曲线C的离心率的取值范围为.
故选A．
12．（2024高三·全国·专题练习）设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×.而a>1，所以a＝.故选A.
13．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）过点的等轴双曲线的方程为 .
【答案】
【分析】根据题意设出双曲线方程，代入点的坐标，利用待定系数法求解即可.
【详解】因为双曲线为等轴双曲线，
所以设双曲线方程为，，
将点代入得，解得，
所以双曲线方程为，
故答案为：
14．（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）已知为等腰直角三角形，，点为的重心，若以、为双曲线的两顶点，且双曲线过点，则双曲线的离心率为 .
【答案】2
【分析】建立坐标系，设出双曲线的方程，利用双曲线E过点B，求得b的值，求得离心率.
【详解】不妨设，为的中点，则，
由为等腰直角三角形，，得，
以线段中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图，
双曲线的实轴长，则，设双曲线的方程为，
由点在双曲线上得，解得，
所以双曲线的离心率.
故答案为：2
考点05 直线与圆锥曲线的位置关系
1．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方程变形，分析曲线为半椭圆形状，再由直线与椭圆的位置关系，利用代数法求解判别式，结合图形分析范围可得答案.
【详解】由，得，即，
所以为椭圆的右半部分．
当时，直线与有两个公共点；
当时，直线，令，
将代入，得，
则，得，则．
由图可知，所以．
综上，的取值范围是．
故选：D.
易错分析：解题过程中若需要化简曲线方程，则一定要注意化简的等价性.
2．直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直线过定点，只要在椭圆的内部或在椭圆上即可保证直线与椭圆总是有交点的.
【详解】由于直线恒过点，
要使直线与椭圆恒有公共点，
则只要在椭圆的内部或在椭圆上即可，
即 ，解可得且，
故实数m的取值范围为.
故选：C．
易错分析：直线与圆锥曲线位置关系的判断一般有两个思考角度，一是方程法；二是几何法，即通过直线所过定点的位置进行判断.
3．（24-25高二上·浙江温州·期中）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到的取值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果.
【详解】联立方程，整理可得，
当时，即，方程有一解，即只有一个公共点；
当时，，解得；
所以直线与双曲线只有一个公共点时，或，
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件，
故选：A
易错分析：利用方程法判断直线与双曲线的位置关系，要注意分析两点，一是二次项系数是否为零，二是判别式的符号.
4．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式结合韦达定理可求实数的取值范围.
【详解】由题设，有，得，
因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得，
故选：D.
5．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】C
【分析】易知直线的斜率存在，设：，联立双曲线方程可得，分类讨论当、时，求出对应的k，即可下结论.
【详解】当直线的斜率不存在时，显然与双曲线没有公共点.
当直线的斜率存在时，设方程为，
与双曲线方程联立，
若即，此时直线和双曲线的公共点只有1个.
当时，；当时，.
当时，，
整理可得，因为，所以有两个不等的实数根，
又不是的根，且此时直线和双曲线的公共点只有1个.
综上可知，直线和双曲线的公共点只有1个时，对应直线有4条.
故选：C.
6．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【分析】结合双曲线的性质与点位置，画出对应图形即可得.
【详解】易知双曲线的焦点，顶点，渐近线为，
由可得该点在双曲线右顶点上方，
易得过点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，
有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1），
有两条双曲线右支的切线（图2），共4条.
故选：D.
7．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）在直角坐标系中，，分别是，轴上一点，且．动点满足，点的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线交于，两点，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）设出点坐标，表达出向量，即可根据关系式得出曲线的方程；
（2）作出图象，设出直线与椭圆的交点坐标和点到直线的距离，直曲联立得出一元二次方程，利用韦达定理得出面积的表达式，结合基本不等式即可求出最大值.
【详解】（1）由题意，
，分别是，轴上一点，且．
动点满足，
设，，，
∴，，，
即
∴，解得：，
∴曲线的方程为：．
（2）由题意及（1）得，
在中，
过点的直线与曲线交于，两点，
易知直线的斜率存在，设其方程为，即，设，，
由消去得，
由，得，
，．
设点到直线距离为，的面积为，
，解得：
设，则，
，
当且仅当时取等号，
∴面积的最大值为1．
易错分析：利用方程法处理直线与圆锥曲线的位置关系时，一定要写出，这是能利用韦达定理求解的前提条件.
8．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知双曲线的焦距为8．
(1)求M的方程；
(2)是否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦的中点为 若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由．
(3)若直线与M交于C，D两点，且为整数，求m的最小值．
【答案】(1)；
(2)存在，；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可.
（2）假定存在，利用中点弦问题列式求解并验证即得.
（3）把直线方程与双曲线方程联立，利用弦长公式推理求解.
【详解】（1）由双曲线的焦距为8，得，解得．
所以M的方程为.
（2）假设存在直线l，设，则，
两式相减得，由的中点为，
得，因此直线的斜率，
双曲线M的渐近线方程为，而，则直线l与M相交，
所以存在直线l满足要求，直线l的斜率为.
（3）由消去得，
，设，则，
因此．
由，得，又为整数，则当时，m取得最小值，
所以m的最小值为.
9．（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于，两点，且的周长为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过点，且与垂直，交椭圆于，两点，若，求四边形面积的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，，由题的周长为，据此可得答案；
（2）先讨论两直线，中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形的面积；再讨论两直线，的斜率都存在，且都不为0时，分别联立直线与椭圆方程求得与，从而得到的关于的关系式，由此得解.
【详解】（1）设，，由椭圆的定义可知的周长为，
所以，所以离心率.
（2）由（1）可知，又，所以，所以椭圆的方程为.
①当直线，中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，
四边形的面积；
②当直线，的斜率都存在，且都不为0时，设的方程为，，，由，可得，．
所以，．
所以．
设的方程为，同理可得．
所以四边形的面积
，
因为，当且仅当时取等号．
所以，即此时.
由①②可知，四边形面积的范围为.
易错分析：当需要设出直线方程时，注意分析斜率的存在性.
10．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相切于点．
（ⅰ）证明：直线与直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的离心率和短轴的概念建立方程组，解之即可求解；
（2）（ⅰ）设，：，联立椭圆方程，利用可得，结合得，解得，即可证明；（ii）由（i）可得点与直线垂直的直线方程，求出直线与轴交点，根据两点求距离公式证明，结合内角平分线定理即可下结论.
【详解】（1）根据题意得，
又，解得，，
所以椭圆：．
（2）（ⅰ）设点，所以，，
设直线的斜率为，方程为：，则，
由消去，得①，
因为直线与椭圆相切，所以方程①，
得，
所以②，
其中．
所以关于的方程②有两相等实根，所以，
所以为定值．
（ⅱ）椭圆：的左、右焦点，．
方法1：由（ⅰ）得过点与直线垂直的直线为：，
令，得，所以直线与轴交点，
所以，．
（），
同理．所以．
根据内角分线定理得，为的角平分线，设与轴交于点,
所以，
即，，三点共线，所以直线过点．
方法2：设点，则，
根据题意得，解得
所以，
所以，所以，，三点共线，
所以直线过点．
方法3：设点，则，
过垂直于的直线交于点，
由（ⅰ）可得：，则：．
联立直线与的方程得所以
所以，
所以，所以，，三点共线，
所以直线过点．
【点睛】方法点睛：求定点、定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定点（值），再证明这个点（值）与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点（值）．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题06 直线与圆、圆锥曲线
考点01 直线的方程
1．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知直线：，：，若，则（ ）
A．5 B．2 C．2或-5 D．5或-2
易错分析：已知直线平行求参数时要注意直线重合与斜率不存在的情况.
2．“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知直线与直线互相平行，则实数的值为( )
A． B．2或 C．2 D．
5．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
易错分析：在应用直线方程的截距式时要判断是否存在截距为零的情况.
6．（23-24高三下·浙江·开学考试）直线过抛物线的焦点，且在轴与轴上的截距相同，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（ ）
A．1 B． C．2或1 D．或1
9．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）已知点，则过点且与原点的距离为2的直线l的方程为 .
易错分析：设直线方程的点斜式时要检验斜率不存在的情况是否满足题意.
考点02 圆的方程
1．（2024·吉林·三模）已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
易错分析：当圆的一般方程中含有参数时要注意满足这一隐含条件.
2．（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知圆：，过点可作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三·全国·专题练习）过点作圆的切线，则的方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
易错分析：求过某点的圆的切线方程时应先判断点与圆的位置关系，然后根据位置关系判断切线的条数，避免因为忽略斜率不存在的情况而漏解.
5．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高三·全国·专题练习）过圆x2＋y2－4x＝0上点P(1，)的圆的切线方程为（ ）
A．x＋y－4＝0
B．x－y＝0
C．x－y＋2＝0
D．x＝1或x－y＋2＝0
7．（24-25高三上·天津·阶段练习）若直线被圆截得的弦长为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·甘肃兰州·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，，则（ ）
A．0或1 B．1或 C．1或2 D．0或2
9．当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
易错分析：对曲线方程化简时要注意化简的等价性，避免因为化简不等价而造成增根.
10．若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．] B． C． D．
12．（24-25高三上·黑龙江·期末）圆：与圆：的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）若曲线与圆相切，则的值为（ ）
A．3 B．2或7 C．2 D．3或7
14．（2024高三·全国·专题练习）已知点P在圆上，点，满足的点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
15．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知圆，圆．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
考点03 圆锥曲线的定义
1．已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在
易错分析：根据椭圆的定义判断曲线类型时要注意判断动点到两个定点距离和与两定点间距离大小的比较.
2．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知圆，，动圆与圆相内切，与圆相外切，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（ ）
A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线
4．（2024高三·全国·专题练习）与圆外切，且与圆内切的圆的圆心在（ ）
A．抛物线上 B．圆上 C．双曲线的一支上 D．椭圆上
易错分析：双曲线的定义要注意两点：一是动点到两定点距离差的绝对值为常数2a，二是要2a<2c.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，点P在双曲线C上，且，则（ ）
A．13 B．16 C．1或13 D．3或16
易错分析：双曲线上任意一点到焦点的距离都满足.
8．（2024高三·全国·专题练习）若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
10．点P到点的距离比它到直线l：的距离大4，则点P的轨迹是（ ）
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．以上都不对
考点04 圆锥曲线的方程及几何性质
1．（24-25高三上·福建泉州·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
易错分析：方程表示椭圆的条件是，表示双曲线的条件是.
2．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是（ ）.
A． B．或
C． D．
3．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）对于实数，“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（24-25高三上·江苏无锡·期中）求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（ ）
A． B．
C．或 D．
易错分析：求椭圆标准方程的步骤是先定位、再定量，即先确定焦点在哪个坐标轴上，然后再求的值，当焦点位置不确定时要分情况讨论.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
易错分析：已知圆锥曲线的方程和性质求参数，要注意分析焦点位置.
6．（24-25高三上·河南南阳·期中）已知椭圆的短轴长为4，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
7．（2024·山东·一模）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B．或
C． D．或
8．（2024·内蒙古·三模）已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，已知椭圆，.点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是上的动点，且为定值，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
易错分析：圆锥曲线的离心率问题要注意椭圆离心率的范围是，双曲线的离心率范围是.
10．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线经过点．记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知双曲线 ，过点 有且仅有一条直线与双曲线 的右支相切，则双曲线 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高三·全国·专题练习）设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝（ ）
A． B． C． D．
13．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）过点的等轴双曲线的方程为 .
14．（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）已知为等腰直角三角形，，点为的重心，若以、为双曲线的两顶点，且双曲线过点，则双曲线的离心率为 .
考点05 直线与圆锥曲线的位置关系
1．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
易错分析：解题过程中若需要化简曲线方程，则一定要注意化简的等价性.
2．直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
易错分析：直线与圆锥曲线位置关系的判断一般有两个思考角度，一是方程法；二是几何法，即通过直线所过定点的位置进行判断.
3．（24-25高二上·浙江温州·期中）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
易错分析：利用方程法判断直线与双曲线的位置关系，要注意分析两点，一是二次项系数是否为零，二是判别式的符号.
4．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
6．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）在直角坐标系中，，分别是，轴上一点，且．动点满足，点的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线交于，两点，求面积的最大值．
易错分析：利用方程法处理直线与圆锥曲线的位置关系时，一定要写出，这是能利用韦达定理求解的前提条件.
8．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知双曲线的焦距为8．
(1)求M的方程；
(2)是否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦的中点为 若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由．
(3)若直线与M交于C，D两点，且为整数，求m的最小值．
9．（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于，两点，且的周长为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过点，且与垂直，交椭圆于，两点，若，求四边形面积的范围.
易错分析：当需要设出直线方程时，注意分析斜率的存在性.
10．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相切于点．
（ⅰ）证明：直线与直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
