专题07 计数原理与概率统计
考点01 计数原理
1．（24-25高三上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．72 B．96 C．114 D．124
易错分析：分组分配问题中均分组问题要注意做到不重不漏，一般是先分组再分配.
2．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为（ ）
A．12 B．24 C．28 D．36
3．（24-25高三上·广东·开学考试）某中学数学组来了名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的，，三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．（2024·辽宁·模拟预测）现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3个5A级景区中随机选择1个景区游玩.在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，则这5名游客不同的选择方案种数为（ ）
A．52 B．72 C．76 D．100
5．（25-26高三上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（ ）．
A．240种
B．300种
C．360种
D．420种
易错分析：涂色问题一般是综合考查两个原理的应用，这类问题要注意合理的分步分类，一般可以从哪些部分可以同色入手分析.
6．（23-24高三下·山东济宁·期中）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”.后人称其为“赵爽弦图”.如图，现提供5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同.记事件：“区域2和区域4颜色不同”，事件：“所有区域颜色均不相同”，则（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（ ）
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
易错分析：二项展开式的通项公式是，注意通项公式是表示展开式的第r+1项.
8．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知（）的展开式中的第7项为7，则实数的值为（ ）
A．1 B．3 C．7 D．
9．（24-25高三上·湖南株洲·期末）若展开式中的第2项与第3项的系数相等，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
易错分析：二项式定理的应用中要区分二项式系数与系数的不同.
11．（24-25高三上·贵州·阶段练习）在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（ ）
A．8 B． C．28 D．
12．（23-24高三下·湖北·阶段练习）各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为 （请用数字作答）．
易错分析：要注意“隔板法”仅适用于相同元素的分配问题.
13．（2024·湖北·二模）已知，且，，，则方程的解的组数为 .
14．（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）的非负整数解有 组.
考点02 统计
1．（2024高三·全国·专题练习）非物质文化遗产是文化多样性中最富活力的重要组成部分，是人类文明的结晶和最宝贵的共同财富．某校为了解学生对当地非遗文化“川剧”的了解程度，现从高中部抽取部分学生进行调查，已知该校高一、高二、高三年级学生人数之比为，若利用分层随机抽样的方法抽取人进行调查，则抽取到的高一年级学生人数比高三多（ ）
A．人 B．人 C．人 D．人
易错分析：处理分层抽样问题的关键是“等比”这一特征.
2．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．6
3．（2024·河南·三模）国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个锂电池．质检人员采用分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为（ ）．
A．325个 B．300个 C．225个 D．175个
4．（2024高三·全国·专题练习）某市安踏专卖店为了了解某日旅游鞋的销售情况，抽取了部分顾客所购旅游鞋的尺寸，将所得数据整理后，画出频率分布直方图.已知从左到右前3个小组的频率之比为，第4小组与第5小组的频率分布直方图如图所示，第2小组的频数为10，则第5小组的频数是（ ）
A．4 B．5
C．8 D．10
易错分析：频率分布直方图的纵坐标是频率与组距的比，每个小矩形的面积才是各组中的频率.
5．（24-25高三上·天津河东·期末）某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于60分的人数为（ ）
A．270 B．240 C．180 D．150
6．（23-24高三上·天津·阶段练习）为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，对所得的体重数据（单位：）进行分组，区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．画出频率分布直方图（如图所示），已知第一组，第二组和第三组的频率之比为，且第一组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（ ）
A．48 B．5 C．54 D．60
7．（24-25高三上·天津西青·期末）树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，，，，，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是( )
A．9 B．10 C．11 D．12
8．（2025高三·全国·专题练习）某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压（单位：mmHg）数据，分别为96，120，146，153，112，136，则这组数据的分位数为（ ）
A．112 B．120 C．128 D．136
易错分析：求总体百分数时一定要先将数据从小到大排列，然后再根据规则求解.
9．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）某市为了了解全市10万名高一学生的数学学习情况，抽取了该市某个区的15000名学生进行数学能力测试（百分制），并将这些学生的成绩整理成如图所示的频率分布直方图、根据频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A．图中a的值为0.15
B．估计样本数据的分位数为85
C．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试不及格（低于60分）的人数为5000
D．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试的平均分约为81.5分（同一组数据用该组区间的中点值作代表）
10．（24-25高三上·河北·期中）某企业五个部门年第三季度的营业收入占比和净利润占比统计如下表所示：
第一部门 第二部门 第三部门 第四部门 第五部门
营业收入占比
净利润占比
若该企业本季度的总营业利润率为（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），则（ ）
A．各部门营业收入占比的极差为
B．各部门营业收入占比的第百分位数为
C．第二部门本季度的营业利润为正
D．第三部门本季度的营业利润率大约为
11．（2024高三·全国·专题练习）有一组数据24，29，，25，22，，20，24，28，25．若该组数据的中位数与众数相等，则平均数为（ ）
A．24.4 B．25.8 C．24.4或25.8 D．24.4或24.8
考点03 概率
1．（24-25高三上·江苏苏州·期末）现有标号为1，2，3，4，5的五张卡片，甲、乙两人随机依次从中各抽取两张，则仅有甲抽到的卡片上数字之和为6的概率为（ ）
A． B． C． D．
易错分析：古典概型概率问题必须要满足基本事件的等可能性.
2．（2024高三·全国·专题练习）近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2024年上半年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费潜力．甲、乙、丙、丁四位同学打算去北京、成都、贵阳三个地方旅游，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则甲、乙都去北京的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）从3名男生和2名女生中任选3人参加一项创新大赛，则选出的3人中既有男生又有女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）有件产品，其中有3件次品，其余均为正品，从中任取2件产品，2件产品等次不同的概率为，则取出的2件产品都是正品的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，那么这2个球同色的概率为（ ）
A． B． C． D．
易错分析：抽样问题中的概率问题要注意区分“不放回抽取”和“有放回抽取”的不同.
6．不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·上海徐汇·一模）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（ ）
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
8．（24-25高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·上海虹口·一模）已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（ ）．
A．事件和事件独立 B．事件和事件互斥
C．事件和事件对立 D．事件和事件互斥
易错分析：熟记互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义，并能进行正确的区分判断.
10．（24-25高三上·上海·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （ ）
A．是相互独立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互独立事件
C．既是相互独立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互独立事件
11．抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为6；事件；事件.则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件为互斥事件 B．事件与事件为互斥事件
C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立
12．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现偶数点”，事件 “出现3点或4点”，则事件A与B的关系为（ ）
A．相互独立事件 B．相互互斥事件
C．即相互独立又相互互斥事件 D．既不互斥又不相互独立事件
13．（24-25高三上·江苏·期末）第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．（2025高三·全国·专题练习）已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（ ）
A． B． C． D．
易错分析：条件概率的求解主要有两种方法，一是公式法，二是缩小样本空间法.
15．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有两个易损部位，每次打击后，部位损坏的概率为，部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏（只考虑两个易损部分）的条件下，两个部位都损坏的概率是（ ）
A． B． C． D．
16．（24-25高三上·广东·开学考试）在电子游戏中，若甲，乙，丙通关的概率分别是，且三人通关与否相互独立，则在甲，乙，丙中恰有两人通关的条件下，甲通关的概率为（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·四川内江·一模）已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点04 随机变量及其分布列
1．设离散型随机变量X的分布列如表所示，则（ ）
X 1 2
P
A． B． C． D．
易错分析：根据随机变量的分布列求值时要注意分布列的性质，即.
2．已知离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3
若，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
3．若随机变量的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2
则当时，实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26高三上·上海·单元测试）设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的期望为（ ）
A． B． C． D．
易错分析：概率分布问题要注意区分二项分布和超几何分布：（1）抽样情况不同： 二项分布：有放回抽取（独立重复），每次抽取不影响后续抽取；超几何分布：不放回抽取，每次抽取都会减少总体中特定元素的数量；（2）计算方法不同：二项分布：概率计算涉及事件独立性的乘积；超几何分布：概率计算涉及组合排列，因为总体的元素数量在抽取过程中会发生变化；（3）所需信息不同：二项分布：无需知道总体的容量；超几何分布：需要知道总体的容量和特定元素的数量。
5．袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山西吕梁·三模）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A． B． C． D．
8．根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ）.
A．变量与不独立
B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C．变量与独立
D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
易错分析：独立性检验问题要注意卡方值的应用，如何和参考数据进行比较和如何下结论.
9．（2024·山东菏泽·二模）足球是一项大众喜爱的运动,为了解喜爱足球是否与性别有关,随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数是男性的2倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的,女性喜爱足球的人数占女性人数的,若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,则被调查的男性至少有（ ）人
a 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．10 B．11 C．12 D．13
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题07 计数原理与概率统计
考点01 计数原理
1．（24-25高三上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．72 B．96 C．114 D．124
【答案】C
【分析】根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求解.
【详解】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，
则不同的安排方法有种.
将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，
则不同的安排方法有种.
故不同的安排方法共有种.
故答案为：C.
易错分析：分组分配问题中均分组问题要注意做到不重不漏，一般是先分组再分配.
2．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为（ ）
A．12 B．24 C．28 D．36
【答案】D
【分析】分三种情况，两人所选影片均不同，两人所选影片中，《名侦探柯南》相同，不是《名侦探柯南》相同，分别计算出相应的方案数，相加即可.
【详解】若两人所选影片均不同，此时小明先从除《名侦探柯南》中选择一部，
小华从剩余的3部中选择两部，此时共有种方案，
若两人所选影片中，《名侦探柯南》相同，则两人从剩余4部中各选1部，有种方案，
若两人所选影片中，不是《名侦探柯南》相同，相同的影片为4部中1部，有种选择，
再给小华从剩余3部中选择一部，有种选择，故共有种方案，
综上，共有种方案.
故选：D
3．（24-25高三上·广东·开学考试）某中学数学组来了名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的，，三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【分析】先把名大学生按照分成三组，再将三个组分到个班，计算可得答案．
【详解】将名大学生分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，
则将名大学生分成三组，一组人，另两组都是人，有种方法，
再将组分到个班，共有种不同的分配方案，
故选：B．
4．（2024·辽宁·模拟预测）现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3个5A级景区中随机选择1个景区游玩.在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，则这5名游客不同的选择方案种数为（ ）
A．52 B．72 C．76 D．100
【答案】D
【分析】分类讨论与甲为一组的人数情况，结合分组分配问题的解法即可得解.
【详解】若甲1个人一组，则其他两组人数分别为1，3或2，2，
则不同的选择方案有种；
若甲和另外1个人两人一组，则其他两组人数为1，2，
则不同的选择方案有种；
若甲和另外2个人三人一组，则其他两组人数为1，1，
则不同的选择方案有种；
所以共有种选择方案.
故选：D.
5．（25-26高三上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（ ）．
A．240种
B．300种
C．360种
D．420种
【答案】D
【分析】先安排中心区域A，再从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，分D与B选用同一种和选用不同种类菊花两种情况，结合计数原理得到答案.
【详解】先布置中心区域A共有5种方法，从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，
则B有4种布置方法，C有3种布置方法．
如果D与B选用同一种菊花，则E有3种布置方法；
如果D与B选用不同种类菊花，则D有2种布置方法，E有2种布置方法．
按照分步乘法与分类加法计数原理，
则全部的布置方法有（种）.
故选：D．
易错分析：涂色问题一般是综合考查两个原理的应用，这类问题要注意合理的分步分类，一般可以从哪些部分可以同色入手分析.
6．（23-24高三下·山东济宁·期中）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”.后人称其为“赵爽弦图”.如图，现提供5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同.记事件：“区域2和区域4颜色不同”，事件：“所有区域颜色均不相同”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知，结合条件概率公式求解即可.
【详解】事件：“区域2和区域4颜色不同”即从5种颜色选出两种放入区域2和区域4，
再从剩余的3种颜色选出一种放入区域5，剩余的区域1和区域3分别都有两种选择，
即有种，
事件有种，
所以，
故选：C.
7．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（ ）
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
【答案】C
【分析】先求出展开式的通项，从而依据展开式中第9项是常数项得到，再依据第项的系数绝对值大于或等于第项且大于或等于第项列不等式组即可求得.
【详解】由题意，二项式展开式的通项公式为：
因为展开式中第9项是常数项，故，解得，
故第项的系数绝对值为.
设展开式中第项的系数绝对值最大，则有
由①可得：，即，解得；
由②可得：，即，解得.
即，又因为，故，即第8项的系数绝对值最大.
故选：C.
易错分析：二项展开式的通项公式是，注意通项公式是表示展开式的第r+1项.
8．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知（）的展开式中的第7项为7，则实数的值为（ ）
A．1 B．3 C．7 D．
【答案】A
【分析】利用二项式展开式的通项公式，根据已知条件求解即可.
【详解】的展开式的通项公式为，
令，则，即，
则，即，又，则.
故选：A.
9．（24-25高三上·湖南株洲·期末）若展开式中的第2项与第3项的系数相等，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出第2项与第3项的系数，列式计算得解.
【详解】二项式的展开式第2项与第3项的系数分别为，
依题意，，即，整理得，而，所以.
故选：B
10．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，列式求出，再求出二项展开式的通项，进而求出幂指数为0的项即可.
【详解】依题意，，即，而n为正整数，解得，
则展开式的通项公式为，
由，解得，
所以该展开式中的常数项为.
故选：A.
易错分析：二项式定理的应用中要区分二项式系数与系数的不同.
11．（24-25高三上·贵州·阶段练习）在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（ ）
A．8 B． C．28 D．
【答案】C
【分析】利用二项式系数的意义求解即可.
【详解】第3项的二项式系数为.
故选：C.
12．（23-24高三下·湖北·阶段练习）各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为 （请用数字作答）．
【答案】56
【分析】转化为隔板法，解决问题.
【详解】设，，，对应个位到千位上的数字，则，
且，相当于6个相同的球排成一排，每个球表示1，
先拿一个球装入，转化为5个球装入4个盒子，每盒可空，等价于9个球用3个隔板分成4组（各组不可为空），
故共有种．
故答案为：56．
易错分析：要注意“隔板法”仅适用于相同元素的分配问题.
13．（2024·湖北·二模）已知，且，，，则方程的解的组数为 .
【答案】15
【分析】问题等价于将7个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子中至少放入1个小球的方法个数，利用隔板法求解即可.
【详解】由题意，原问题等价于将7个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子中至少放入1个小球的方法个数，在7个相同的小球之间形成的6个空中，任选2个放入两个隔板，共有种方法，
即方程的解的组数为15.
故答案为：15
14．（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）的非负整数解有 组.
【答案】84
【分析】把方程的解转化为将6个相同的小球，放入4个不同的盒子，且可以有空盒出现，有多少种不同的方法？按照相同元素的排列问题进行求解即可.
【详解】本问题等价于将6个相同的小球，放入4个不同的盒子，且可以有空盒出现，有多少种不同的方法？
因此我们将6个小球排成一排，用3个隔板将小球隔成4段，
因为盒子可以为空，因此隔板可以相邻，将第1,2,3,4段放入这四个盒子中即可，
因为小球没有区别，隔板也没有区别，因此等价于将6个小球和3个隔板排成一列，则共有种方法，
故答案为：84.
考点02 统计
1．（2024高三·全国·专题练习）非物质文化遗产是文化多样性中最富活力的重要组成部分，是人类文明的结晶和最宝贵的共同财富．某校为了解学生对当地非遗文化“川剧”的了解程度，现从高中部抽取部分学生进行调查，已知该校高一、高二、高三年级学生人数之比为，若利用分层随机抽样的方法抽取人进行调查，则抽取到的高一年级学生人数比高三多（ ）
A．人 B．人 C．人 D．人
【答案】C
【分析】根据比例进行分层随机抽样，计算出抽取的高一年级学生人数和高三年级学生人数，做差即可.
【详解】由题意，采用分层抽样的方法，应从高一年级抽取人，
从高三年级抽取人，则抽取到的高一年级学生人数比高三多人．
故选：C
易错分析：处理分层抽样问题的关键是“等比”这一特征.
2．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．6
【答案】A
【分析】根据分层抽样的定义列出式子，进行求解.
【详解】由题意得，史地政”组合中选出的同学人数为.
故选：A
3．（2024·河南·三模）国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个锂电池．质检人员采用分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为（ ）．
A．325个 B．300个 C．225个 D．175个
【答案】C
【分析】根据分层抽样计算规则计算可得.
【详解】根据分层随机抽样可知低能量密度锂电池的产量为（个）．
故选：C
4．（2024高三·全国·专题练习）某市安踏专卖店为了了解某日旅游鞋的销售情况，抽取了部分顾客所购旅游鞋的尺寸，将所得数据整理后，画出频率分布直方图.已知从左到右前3个小组的频率之比为，第4小组与第5小组的频率分布直方图如图所示，第2小组的频数为10，则第5小组的频数是（ ）
A．4 B．5
C．8 D．10
【答案】B
【分析】先设从左到右前3个小组的频率分别为x，2x，3x，第5小组的频数是y，由频率之和为1结合题设列出关于的方程组求出即可得解.
【详解】设从左到右前3个小组的频率分别为x，2x，3x，第5小组的频数是y，
则，解得.
故选：B.
易错分析：频率分布直方图的纵坐标是频率与组距的比，每个小矩形的面积才是各组中的频率.
5．（24-25高三上·天津河东·期末）某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于60分的人数为（ ）
A．270 B．240 C．180 D．150
【答案】B
【分析】根据频率之和为1得到方程，求出，进而求出物理成绩大于等于60分的人数.
【详解】，解得，
故物理成绩大于等于60分的人数为.
故选：B.
6．（23-24高三上·天津·阶段练习）为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，对所得的体重数据（单位：）进行分组，区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．画出频率分布直方图（如图所示），已知第一组，第二组和第三组的频率之比为，且第一组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（ ）
A．48 B．5 C．54 D．60
【答案】A
【分析】先由题意求出前三组频率之和，进而求出第一组的频率，从而再结合第一组频数即可得解.
【详解】由题前三组频率之和为，
又第一组、第二组和第三组的频率之比为，
所以第一组的频率为，又第一组的频数为，
所以报考飞行员的学生人数为人.
故选：A.
7．（24-25高三上·天津西青·期末）树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为，，，，，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是( )
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】先依据题意列等量关系式求出，再依据百分位数的定义以及求解步骤直接求解即可得解.
【详解】由题可得极差是，该组数据的中位数是极差的，
列出等式，解得，
因为，
故该组数据的第40百分位数为从小到大第4个数据和第5个数据的平均值，即，
所以该组数据的第40百分位数是.
故选：A.
8．（2025高三·全国·专题练习）某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压（单位：mmHg）数据，分别为96，120，146，153，112，136，则这组数据的分位数为（ ）
A．112 B．120 C．128 D．136
【答案】B
【分析】先将6个数据从小到大进行排列，再根据百分位数的定义和求解步骤即可求解.
【详解】将这组数据从小到大依次排列为96，112，120，136，146，153，
因为，所以分位数为第3个数120．
故选：B．
易错分析：求总体百分数时一定要先将数据从小到大排列，然后再根据规则求解.
9．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）某市为了了解全市10万名高一学生的数学学习情况，抽取了该市某个区的15000名学生进行数学能力测试（百分制），并将这些学生的成绩整理成如图所示的频率分布直方图、根据频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A．图中a的值为0.15
B．估计样本数据的分位数为85
C．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试不及格（低于60分）的人数为5000
D．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试的平均分约为81.5分（同一组数据用该组区间的中点值作代表）
【答案】C
【分析】A选项，根据频率分布直方图的性质计算；
B选项，先判断出分位数所在的区间，然后列方程计算；
C选项，先算出样本数据中不及格的频率，由此估计全市学生不及格的人数；
D选项，根据题意中的平均数的计算要求进行计算.
【详解】A选项，根据频率分布直方图的性质，，
解得，A选项错误；
B选项，前个矩形条的面积为，
前个矩形条的面积为：，
故样本数据的分位数落在中，设样本数据的分位数为，
于是，解得，B选项错误；
C选项，根据直方图可以看出，低于分的频率为：，
于是估计全市学生不及格的人数为：，C选项正确；
D选项，由题意，平均数为：
，D选项错误.
故选：C.
10．（24-25高三上·河北·期中）某企业五个部门年第三季度的营业收入占比和净利润占比统计如下表所示：
第一部门 第二部门 第三部门 第四部门 第五部门
营业收入占比
净利润占比
若该企业本季度的总营业利润率为（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），则（ ）
A．各部门营业收入占比的极差为
B．各部门营业收入占比的第百分位数为
C．第二部门本季度的营业利润为正
D．第三部门本季度的营业利润率大约为
【答案】D
【分析】根据表格中的数据计算极差、百分位数、营业利润率，逐项判断即可.
【详解】对于A选项，各部门营业收入占比的极差为，A错；
对于B选项，各部门营业收入占比由小到大依次为、、、、，
且，所以，各部门营业收入占比的第百分位数为，B错；
对于C选项，第二部门本季度的营业利润率，
故第二部门本季度的营业利润为负，C错；
对于D选项，第三部门本季度的营业利润率为，D对.
故选：D.
11．（2024高三·全国·专题练习）有一组数据24，29，，25，22，，20，24，28，25．若该组数据的中位数与众数相等，则平均数为（ ）
A．24.4 B．25.8 C．24.4或25.8 D．24.4或24.8
【答案】D
【分析】先将数据从小到大排列，再结合中位数，众数定义得出数据，进而相等得出，则平均数应用定义即可计算.
【详解】将已知数据从小到大排列为20，22，24，24，25，25，28，29．
因为该组数据的中位数与众数相等，所以众数只能是24和25中的一个．
因为每组数据的中位数是唯一的，所以该组数据的众数也是唯一确定的．
又该组数据中除24，25外其他数据均只出现一次，且与不可能相等，故众数只能是24和25中的一个．
若中位数与众数均为24，则，，此时平均数为；
若中位数与众数均为25，则，
此时平均数为，故该组数据的平均数为24.4或24.8．
故选：D.
考点03 概率
1．（24-25高三上·江苏苏州·期末）现有标号为1，2，3，4，5的五张卡片，甲、乙两人随机依次从中各抽取两张，则仅有甲抽到的卡片上数字之和为6的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用组合数公式求得总的取法数，再求得符合条件的取法数，由古典概型概率公式可求解.
【详解】从标号为1，2，3，4，5的五张卡片，甲抽取两张卡片有，乙抽取两张卡片有，
所以共有种不同的取法，
仅有甲抽到的卡片上数字之和为6的取法为：
甲抽时，乙可抽与两种，甲抽时，乙可抽与两种，
所以共有4种不同的抽法，
所以仅有甲抽到的卡片上数字之和为6的概率为.
故选：A.
易错分析：古典概型概率问题必须要满足基本事件的等可能性.
2．（2024高三·全国·专题练习）近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2024年上半年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费潜力．甲、乙、丙、丁四位同学打算去北京、成都、贵阳三个地方旅游，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则甲、乙都去北京的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意四位同学去三个地方，每个地方至少去一人，即可得到总的方案，甲、乙都去北京，则丙丁只能在成都和贵阳各自选一个有2种选法，根据古典概型即可求解.
【详解】四位同学去三个地方，每个地方至少去一人，总共有（种）方案．因为甲、乙都去北京，则丙、丁分别去成都或贵阳，所以有2种方案，故甲、乙都去北京的概率为.
故选：B．
3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）从3名男生和2名女生中任选3人参加一项创新大赛，则选出的3人中既有男生又有女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先计算从人中选出人的全部方法总数，减去只选男生的方法数，即可得到既有男生又有女生的方法数，计算比值即可求解.
【详解】从人中选人参加创新大赛共有种选法，
所选人全是男生有选法，
因为女生人数少于人，所以不可能所选人全是女生，
所以选出的3人中既有男生又有女生的情况有种选法，
所以选出的3人中既有男生又有女生的概率为.
故选：D
4．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）有件产品，其中有3件次品，其余均为正品，从中任取2件产品，2件产品等次不同的概率为，则取出的2件产品都是正品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据2件产品等次不同的概率为求出，根据古典概型再求取出的2件产品都是正品的概率即可.
【详解】由题意，得，解得或（舍去），
故取出的2件产品都是正品的概率为，
故选：B.
5．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，那么这2个球同色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意设2个红球为，， 3个黄球为，，，考虑有放回地摸球，分别列出试验的样本空间和事件“这2个球同色”表示的集合，利用古典概型概率公式计算即可.
【详解】设2个红球为，，3个黄球为，，，从中有放回地依次随机摸出2个球，
样本空间为：，
，则，
设事件为“这2个球同色”，
则，则，
由古典概率公式，可得.
故选：D
易错分析：抽样问题中的概率问题要注意区分“不放回抽取”和“有放回抽取”的不同.
6．不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用古典概型概率公式即可求出概率.
【详解】记4个白球为，2个红球为，
从4个白球，2个红球中不放回抽取2个球有:
，共种不同的取法，
其中抽出2球均为白球有共种不同的取法，
所以抽出的2个球均为白球的概率.
故选：C.
7．（2024·上海徐汇·一模）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（ ）
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
【答案】B
【分析】因为重复摸球次数足够多，所以将频率视为概率，应用古典概型概率的计算公式计算即可.
【详解】设红球个数为，
由题意可得：，解得：.
故选：B
8．（24-25高三上·浙江·期中）某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】甲获胜的情形有三种：第一种，甲第一次就摸到红球；第二种，甲、乙第一次都摸到白球，甲第二次摸到红球；第三种，甲、乙第一、二次都摸到白球，第三次摸甲摸到红球.利用古典概率的加法求解即可
【详解】；
故选：C.
9．（2024·上海虹口·一模）已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（ ）．
A．事件和事件独立 B．事件和事件互斥
C．事件和事件对立 D．事件和事件互斥
【答案】B
【分析】根据互斥事件、相互独立事件的定义判断即可.
【详解】因为事件和事件满足，则一定可以得到事件和事件互斥，但不一定对立，故B正确，C错误；
因为，当，不为时，事件和事件不独立，故A错误；
抛掷一枚骰子，记出现点为事件，出现点为事件，
则，，显然事件和事件不互斥，故D错误.
故选：B
易错分析：熟记互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义，并能进行正确的区分判断.
10．（24-25高三上·上海·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （ ）
A．是相互独立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互独立事件
C．既是相互独立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互独立事件
【答案】A
【分析】根据互相独立事件、互斥事件的定义确定即可.
【详解】因为，，所以，
所以，，
所以，
所以事件与事件是相互独立事件，不是互斥事件.
故选：A.
11．抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为6；事件；事件.则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件为互斥事件 B．事件与事件为互斥事件
C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立
【答案】D
【分析】A选项，写出事件包含的情况，得到，A错误；B选项，写出事件包含的情况，结合A选项，得到，B错误；C选项，写出事件包含的情况，故，C错误；D选项，写出事件和包含的情况，得到，D正确.
【详解】A选项，事件包含的情况有，
事件：至少有一颗点数为6包含的情况有
，
故，事件与事件不为互斥事件，A错误；
B选项，事件包含的情况有
，
故，事件与事件不为互斥事件，B错误；
C选项，抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，共有种情况，
故，
事件包含的情况为，故，
故，故事件与事件不相互独立，C错误；
D选项，事件包含的情况有
，
，共18种情况，
故，
事件包含的情况有：，
故，
因为，所以事件与事件相互独立，D正确.
故选：D
12．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现偶数点”，事件 “出现3点或4点”，则事件A与B的关系为（ ）
A．相互独立事件 B．相互互斥事件
C．即相互独立又相互互斥事件 D．既不互斥又不相互独立事件
【答案】A
【分析】根据相互独立事件、互斥事件的定义确定正确选项.
【详解】由于表示“出现的点数为4”，所以事件A与B不是互斥事件，
由，，，有，
所以事件A与B是相互独立事件，不是互斥事件.
故选：A
13．（24-25高三上·江苏·期末）第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，求出、的值，利用条件概率公式可求得所的值，即为所求.
【详解】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，则，
因为每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区，
则先将个人分为组，再将这三组分配给三个展区，
基本事件的总数为，
若事件、同时发生，若参观珠海国际航展中心有人，则另外一人为丙或丁，
此时，不同的参观情况种数为，
若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区，
此时，不同的参观情况种数为种，
因此，，
由条件概率公式可得.
故选：A.
14．（2025高三·全国·专题练习）已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两个事件的和事件的概率公式求出，利用全概率公式得到，再利用条件概率求解即可.
【详解】记事件A：甲去北京旅游，事件B：乙去北京旅游，
则，，，
因为，即，解得，
又因为，即，解得，
因为，所以，
所以.
故选：D.
易错分析：条件概率的求解主要有两种方法，一是公式法，二是缩小样本空间法.
15．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有两个易损部位，每次打击后，部位损坏的概率为，部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏（只考虑两个易损部分）的条件下，两个部位都损坏的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得第一次打击后就有部位损坏的概率和两个部位都损坏的概率，再由条件概率公式代入即可求解.
【详解】解题分析记事件：第一次打击后就有部位损坏，事件两个部位都损坏，
则，
由条件概率公式可得.
故选：A
16．（24-25高三上·广东·开学考试）在电子游戏中，若甲，乙，丙通关的概率分别是，且三人通关与否相互独立，则在甲，乙，丙中恰有两人通关的条件下，甲通关的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出三人中恰有两人通关的概率以及甲通关时恰有两人通关的概率，利用条件概率公式求解.
【详解】设甲，乙，丙通关分别为事件，三人中恰有两人通关为事件，
则
，
．
故选：D．
17．（2024·四川内江·一模）已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品，利用全概率公式可求得的值.
【详解】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品，
则，，，
由全概率公式可得.
所以，任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为.
故选：B.
考点04 随机变量及其分布列
1．设离散型随机变量X的分布列如表所示，则（ ）
X 1 2
P
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由分布列的性质可得，求解即可.
【详解】由分布列的性质可得,即，
解得.
又，解得，故.
故选:B.
易错分析：根据随机变量的分布列求值时要注意分布列的性质，即.
2．已知离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3
若，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据分布列的性质以及数学期望求出的值，即可求得，根据方差的性质，即可求得答案.
【详解】由题意知，
由得，解得，
故，
故，
故选：C
3．若随机变量的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2
则当时，实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】可由分布列的性质直接求解.
【详解】由随机变量的分布列知:
，
则当时，实数的取值范围是.
故选：C.
4．（25-26高三上·上海·单元测试）设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设抽得次品数为，根据超几何分布的概率公式求解概率，进而可求得的值．
【详解】设抽得次品数为，则随机变量的可能取值有0、1、2，
则，，，
所以．
故选：D．
易错分析：概率分布问题要注意区分二项分布和超几何分布：（1）抽样情况不同： 二项分布：有放回抽取（独立重复），每次抽取不影响后续抽取；超几何分布：不放回抽取，每次抽取都会减少总体中特定元素的数量；（2）计算方法不同：二项分布：概率计算涉及事件独立性的乘积；超几何分布：概率计算涉及组合排列，因为总体的元素数量在抽取过程中会发生变化；（3）所需信息不同：二项分布：无需知道总体的容量；超几何分布：需要知道总体的容量和特定元素的数量。
5．袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据超几何分布公式计算即可.
【详解】设事件A表示“取出3个球中恰好有2个黄色乒乓球”，
则，
故选：D.
6．（小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意随机变量投中次数服从二项分布，再由变量间的函数关系与二项分布的期望、方差公式可求.
【详解】设小明投中次数为，则由题意可知，
则，，
因为投中一次得2分，没投中得0分，所以，
则，.
故选：B.
7．（2024·山西吕梁·三模）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得的可能取值为，且，结合二项分布的概率计算公式代入计算，即可求解.
【详解】由题意可知，当时，的可能取值为，且，
所以
.
故选：C
8．根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ）.
A．变量与不独立
B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C．变量与独立
D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
【答案】C
【分析】根据卡方独立性检验可得
【详解】由表可知当时，，
因为，所以分类变量与相互独立，
因为，
所以分类变量与相互独立，这个结论犯错误的概率不超过，
故选：C
易错分析：独立性检验问题要注意卡方值的应用，如何和参考数据进行比较和如何下结论.
9．（2024·山东菏泽·二模）足球是一项大众喜爱的运动,为了解喜爱足球是否与性别有关,随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数是男性的2倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的,女性喜爱足球的人数占女性人数的,若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,则被调查的男性至少有（ ）人
a 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】根据题意,设出男生人数,从而计算出列联表,再算出7.879比较即可.
【详解】设被调查的男性为人,则女性为人,依据题意可得列联表如下表:
男性 女性 合计
喜爱足球
不喜爱足球
合计
,
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,所以有
,即,
解得,又因为上述列联表中的所有数字均为整数,
故的最小值为12.
故选:C.
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