苏科版七年级数学下册8.4.2 平方差公式 小节复习题（含详解）

8.4.2平方差公式小节复习题
题型一、平方差公式的适用条件
1．计算：（ ）
A． B． C． D．
2．下列等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式能用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
4．计算： ．
题型二、运用平方差公式进行整式乘法计算
5．计算：
(1)； (2)；
(3)．
6．运用平方差公式计算．
(1) (2)
(3) (4)
(5)
7．利用乘法公式计算下列各题：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
题型三、利用平方差公式进行简算
8．计算： ．
9．计算：的结果是 ．
10．运用乘法公式计算：．
题型四、利用平方差公式进行化简求值
11．已知，则代数式的值为 ．
12．先化简，后求值：，其中．
题型五、利用平方差公式进行多个因式相乘
13．计算： ．
14．计算： ．
15．春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”．请阅读下面的解题过程，感受从特殊到一般的数学思想，类比推理解决以下问题．
例题：化简．
解：原式
．
(1)填空：______；
(2)化简；
(3)运用上面所学内容直接写出下面两题的答案．
______；
若、均为正整数，则______．
题型六、利用平方差公式解决整除问题
16．已知：整式，，m为任意有理数
(1)的值可能为负数吗？请说明理由；
(2)请通过计算说明：当m是整数时，的值一定能被4整除．
题型七、平方差公式的规律探究问题
17．观察下列算式，完成问题：
算式①： 算式②：
算式③： 算式④：
……
(1)按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：______；
(2)上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立；
(3)命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
18．观察下列一组等式：
(1)以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空．
① ；
② ；
③ ；
(2)计算：．
题型八、平方差公式的几何背景问题
19．如图①，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②），验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
20．如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（ ）
A． B．
C． D．
21.如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
22.如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（ ）
①；②；③；④．
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
23.通常情况下，用两种不同的方法计算一个图形的面积，可以得到一个数学等式．如图1，在①中边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，可拼成②中的长方形．
（1）写出图1所表示的数学等式：__________；如图2，大正方形的面积有两种表示方法，由此可以说明__________（填公式）
【问题探究】
（2）①已知，则的值为__________；
②如图2，若，则__________．
【拓展计算】
（3）．
题型九、平方差公式的新定义问题
24.定义：若一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“师一优数”．例如：，，56就是一个“师一优数”．若将“师一优数”按从小到大排列，则第1个“师一优数”是 ，第150个“师一优数”是 ．
25如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“连偶数”．如：因此4，12，20都是“连偶数”．
(1)请判断：52______“连偶数”；（填“是”或“不是”）
(2)下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由．
①明明发现：两个连续偶数和2k（其中k是正整数）构造的“连偶数”也是4的倍数．
②心心发现：2032是“连偶数”．
参考答案
题型一、平方差公式的适用条件
1．B
【分析】本题考查平方差公式：，根据公式计算即可．
【详解】解：．
故选B．
2．D
【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式和多项式乘以多项式，能熟记公式的特点是解答本题的关键．
根据平方差公式，完全平方公式和多项式乘以多项式法则分别化简各项判断即可．
【详解】解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确；
故选：D．
3．C
【分析】本题考查平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差：．根据平方差公式的结构特征进行判断即可．
【详解】解：A、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式；
B、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式；
C、，符合平方差公式特点，能用平方差公式；
D、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式．
故选：C．
4．
【分析】本题考查了平方差公式，熟练运用平方差公式是解题关键．根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
题型二、运用平方差公式进行整式乘法计算
5．（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
6．（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
．
7．（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
题型三、利用平方差公式进行简算
8．1
【分析】本题考查的是平方差公式，将原式变形为，然后再按平方差公式计算可得答案．
【详解】解：
．
故答案为：1．
9．
【分析】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握利用平方差公式进行简便计算是解题的关键．根据平方差公式进行简便计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
10．解：原式
题型四、利用平方差公式进行化简求值
11．
【分析】本题考查代数式的运算，先化简所求的式子，再将变形得，最后整体代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：．
12．解：
，
∵
∴原式．
题型五、利用平方差公式进行多个因式相乘
13．
【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟记平方差公式是正确解题的关键．平方差公式．完全平方和公式，完全平方差公式．
【详解】解：．
故答案为： ．
14．
【分析】此题考查了平方差公式．再原式的基础上乘以，利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
15．（1）解：，
故答案为：；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
，
故答案为：；
原式
，
故答案为：．
题型六、利用平方差公式解决整除问题
16．（1）解：的值不可能为负数，理由如下：
∵，
∴
∴的值不可能为负数
（2）
∵m是整数，
∴一定能被4整除
∴当m是整数时，的值一定能被4整除．
题型七、平方差公式的规律探究问题
17．（1）解：由题意规律可得，
，
故答案为：；
（2）证明：设两个连续偶数为和，
∵
，
∴；
（3）解：不成立，理由如下，
证明：设两个连续奇数分别为和（为整数），
∵
，
∴；
18．（1）解：①；
②；
③．
故答案为：①；②；③；
（2）原式．
题型八、平方差公式的几何背景问题
19.B
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，正确识图是解题的关键．分别表示出图①和图②的面积，再根据图①和图②的面积相等即可求解．
【详解】解：由题意可得，图①中阴影部分的面积是：，
图②中矩形的面积是：，
图①和图②的面积相等，
，
故选：B．
20.D
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，分别表示两个图形中阴影部分的面积即可得出答案．
【详解】解：第1个图中阴影部分的面积为：，
第2个图中阴影部分的面积为，
因此有，
故选：D．
21.A
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键.
利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可；
【详解】解：∵从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形，
∴剩余部分的面积是：，
又拼成的长方形的面积是：，
∴根据剩余部分的面积相等得：；
故选：A
22.D
【分析】本题主要考查了整式乘法与几何图形面积，即运用几何直观理解、解决整式的乘法与几何图形的面积之间的联系，通过几何图形之间的数量关系对整式乘法做出几何解释．
根据图1、2不能得，可判断①；图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，据此可判断②；可看作边长为的正方形的面积，画出图形即可③；图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，据此可判断④，进而可得答案．
【详解】解：①根据图1、2不能得，不能验证，故①不符合题意；
②图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，②符合题意；
③可看作边长为的正方形的面积，如图所示：
图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，③不符合题意；
④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意，
故选：D．
23.解：（1）阴影部分的面积可以用：，也可以用来表示，
∴图1所表示的数学等式为：；
大正方形的面积可以用：，也可以用表示，
∴可以说明；
（2）①∵，
∴；
故答案为：12；
②∵，
∵，
∴
；
故答案为：74；
（3）原式
．
题型九、平方差公式的新定义问题
24. 24 1216
【分析】本题考查了数字类规律探索、平方差公式，理解“师一优数”的定义，正确归纳类推出一般规律是解题关键．设满足“师一优数”的定义的两个正整数分别为和，则“师一优数”可表示为，再分别求出、和时的“师一优数”，归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：设满足“师一优数”的定义的两个正整数分别为和，
则“师一优数”可表示为，
∵为正整数，
当时，第1个“师一优数”为；
当时，第2个“师一优数”为；
当时，第3个“师一优数”为；
归纳类推得：第个“师一优数”可表示为（为正整数）．
当时，，即第150个“师一优数”为1216，
故答案为：24，1216．
25.（1）解：，
∴52是“连偶数”；
故答案为：是；
（2）解：①明明的发现正确，理由如下：
，
∵k是正整数，
∴是正整数，
∴是4的倍数，
∴两个连续偶数和2k（其中k是正整数）构造的“连偶数”也是4的倍数；
②心心的发现不正确，理由如下：
由（1）可知“连偶数”是4的倍数，
那么当2032是“连偶数”时，一定存在一个正整数k满足，
解得，这与k是正整数矛盾，
∴2032不是“连偶数”
∴心心的发现不正确．