苏科版七年级数学下册试题 8.3 多项式乘多项式 练习(含详解)

8.3多项式乘多项式
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．计算的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则m为（　　）
A．2 B． C．8 D．
4．若n为整数，则代数式的值一定可以（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被9整除
5．若的展开式中不含项，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．3
6．如图，通过计算，比较图，图中阴影部分的面积，可以验证的算式是（ ）
A． B．
C． D．
7．观察：，，，．据此规律，当时，代数式的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记，．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．8
二、填空题
9．计算： ．
10．若的结果中不含的一次项，则
11．甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为 ．
12．已知，，那么的值为 ．
13．如图，公园里一个长方形花坛，长为2a米，宽为米，花坛中间横竖各铺设一条宽为1米的小路（阴影部分），剩余部分栽种花卉；栽种花卉部分的面积是 平方米．
14．我国古代数学中“杨辉三角”非常有名．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排序）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数：第四行的四个数恰好对应展开式中的系数等等，利用上述的规律计算：
．（结果用幂的形式表示）
三、解答题
15．先化简，再求值：，其中，．
16．已知的展开式中不含项．
(1)求的值；
(2)当时，化简求值：．
17．对于任意有理数、、、，我们规定符号，例如：．
(1)求的值为______；
(2)求的值，其中．
18．通过计算寻找规律：
(1)计算： ___________． ___________． ___________．
(2)猜想： ___________．
(3)根据猜想结论，写出下列结果： ___________． ___________．
19．将一张如图①所示的长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，再将四周折起，做成一个有底无盖的铁盒，如图②．铁盒底面长方形的长是，宽是．
求：
(1)图①中原长方形铁皮的面积．（请用含a的代数式表示）
(2)无盖盒子的体积．（请用含a的代数式表示）
20．解决下列问题：
(1)如果，那么的值是______，的值是______；
(2)如果，
①求的值；
②求的值．
21.阅读下列材料，解决相应问题：
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“倒同数对”．
例如：，所以23和96与32和69都是“倒同数对”．
(1)请判断43和68是否是“倒同数对”，并说明理由；
(2)为探究“倒同数对”的本质，可设“倒同数对”中一个数的十位数字为m，个位数字为n，且；另一个数的十位数字为p，个位数字为q，且，请探究m，n，p，q的数量关系，并说明理由；
(3)若有一个两位数，十位数字为x，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为，且这两个数为“倒同数对”，则x的值为______．
22.如图．在长为，宽为的长方形铁片上，截去长为，宽为的小长方形铁片．
(1)用含、的代数式表示剩余部分（即阴影部分）的面积；（结果化为最简形式）
(2)求剩余部分的面积与截去的小长方形铁片的面积之差．
23.先阅读下面的材料，再解决问题：
已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法”
例如：已知，求代数式的值．
解： ，
原式
请用“降次代换法”完成下列各小题：
(1)若，则代数式的值为 ．
(2)若，求代数式的值．
24.【知识背景】在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律：
【知识应用】
(1)补充完整的展开式，______；
(2)的展开式中共有______项，所有项的系数和为______；
(3)今天是星期五，过了天后是星期几？
25.你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，探究归纳出一些方法．
(1)分别化简下列各式：
___________；
___________；
___________；
___________；
(2)请你利用上面的结论计算：（写出计算过程）；
(3)根据以上计算经验，直接写出的结果：___________．
参考答案
一、单选题
1．D
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了多项式乘多项式．根据多项式乘多项式的运算法则即可求解．
【详解】解：，
故选：C．
3．A
【分析】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解．
运用多项式乘多项式的计算方法进行求解．
【详解】解：∵
，
∴，
故选：A．
4．B
【分析】此题考查了多项式乘多项式的应用能力．先运用多项式乘多项式和合并同类项对该式进行计算，再运用因式分解进行求解．
【详解】解：
，
该代数式的值一定可以被3整除，
故选：B．
5．D
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据展开式不含项，即含项的系数为0进行求解即可．
【详解】解：
，
∵的展开式中不含项，
∴，
∴，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解，解题的关键是正确表示出图和图中阴影部分的面积列出等式．
由题意知：图和图中阴影部分的面积相等，正确表示出图和图中阴影部分的面积列出等式即可解答．
【详解】解：由题意知：图和图中阴影部分的面积相等，
图中，阴影部分面积，
图中，阴影部分面积，
，
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了整式的乘法、求代数式的值．首先根据规律可得：，从而可知，把的值代入代数式求值即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
当时，原式，
当时，原式．
故选：D．
8．B
【分析】本题考查多项式与多项式的乘法，根据，几何新定义可判断中只有和两项，再计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴原式，
∴．
故选：B．
二、填空题
9．
【分析】本题考查了整式的混合运算，根据多项式乘以多项式法则、合并同类项法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查多项式乘多项式法则，依据法则运算，展开后合并关于x同类项，因为不含关于字母x的一次项，所以一次项的系数为0，再求a的值，即可求解．
【详解】解：，
∵结果中不含的一次项，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键．
先根据题意得出，，再整体代入求解．
【详解】解：由题意得：
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
12．9
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计数法则求出，再利用整体代入法代值计算即可．
【详解】解：
，
，，
原式，
故答案为：9．
13．
【分析】本题主要考查列代数式，长方形的面积，表示出栽种花卉部分的面积是解题的关键．根据平移结合长方形的面积公式即可求解．
【详解】解：
平方米，
故答案为：
14．
【分析】此题考查了完全平方公式及其拓展，正确理解题意、找出规律是解题的关键．根据题目给出的规律可得出的展开式，然后令式中即可得出结果．
【详解】解：根据题意得：；
令上式中，得：
．
故答案为：．
三、解答题
15．
，
∵，
∴原式．
16．（1）解：
，
∵的展开式中不含x3项，
∴，
∴；
（2）解：
，
当时，原式
．
17．（1）解：．
故答案为：．
（2）解：
，
∵，
∴，
故原式．
18．（1）解：；
；
；
（2）解：由；
；
；
……
；
（3）解：
；
．
19．（1）解：原长方形铁皮面积为：
．
（2）解：无盖铁盒体积为：
．
20．（1）解：
，
，，
故答案为：；；
（2）解：
，
，，
；
．
21.（1）43和68是“倒同数对”，理由如下：
，，
∴43和68是“倒同数对”
（2），理由见解析；
，
，
，
即
（3）由题得：
整理得：
，
解得：
故答案为：
22.（1）解：长方形的面积为，剪去铁片的面积为，
∴，
∴剩余部分（即阴影部分）的面积为；
（2）解：．
23.（1）解：，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
．
24.（1）解：根据题意，得
故，
故答案为：6，4，．
（2）解：根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，
当时，有2项；所有项的系数和为；
当时，有项；所有项的系数和为；
当时，有项；所有项的系数和为；
，
故找到规律为：共项，所有项系数的和为，
故的展开式中共有8项，所有项的系数和为．
故答案为：8，．
（3）解：今天是星期五，过了天后是星期六．理由如下：
∵根据题意，得 ，
且都能被7整除， ，
∴除以7余1，
∴如果今天是星期五，过了天后是星期六．
25.（1）解：；
；
；
．
（2）解：，
．
（3）解：，
．