七年级数学下册试题 8.4.1完全平方公式--苏科版（含答案）

8.4.1完全平方公式
一、单选题
1．下列各式是完全平方式的是（　　）
A． B．
C． D．
2．一个正方形的边长为，若边长增加3，则其面积增加了（ ）
A．9 B． C． D．
3．若m为任意整数，的值总能被3整除，则整数k不能取（ ）
A． B．0 C．1 D．4
4．，则代数式（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．若一个三角形三边长，，满足，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
6．已知，，则的值为（ ）
A．25 B．19 C．29 D．31
7．如果是一个完全平方式，那么的值是（ ）
A．5 B． C．7 D．5或
8．如图，将一边长为的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为的正方形（其中）拼接在一起，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若，则
10．已知，则 ， ．
11．把加上一个单项式 （写出一个即可），使其成为一个完全平方式．
12．已知代数式可以利用完全平方公式变形为，进而可知的最小值是5．依此方法，代数式的最小值是 ．
13．已知，则 ．
14．如图，有两个正方形甲、乙，将正方形乙放在正方形甲的内部得图1，将正方形甲、乙并列放置后构造新的正方形得图若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和30，则正方形甲、乙的面积之和为 ．
三、解答题
15．运用完全平方公式计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
16．已知，，求和的值．
17．先学习下面内容，再解决问题．
例题：若，求m，n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴且，
∴．
问题：
(1)若，求的值．
(2)若a，b，c是等腰 ABC的三边长，其中a，b满足，求的周长．
18．已知，，分别求下列式子的值：
(1)；
(2)；
(3)．
19.如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个完全相同的小长方形，然后按图2的形状拼图．
(1)图2中的图形阴影部分的边长为　　　；（用含、的代数式表示）
(2)观察图2，请写出代数式、、之间的关系式：　　　．
(3)若，，求的值．
20.根据下列条件，解决下列问题：
(1)若，，则 ；
(2)若，，求的值；
(3)如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
21.0两个边长分别为和的正方形如图放置（图），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
(1)若，，求的值；
(2)当时，求出图中阴影部分的面积．
22.如图①，小华同学用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼成了一个长为，宽为的长方形，它的面积为，于是，我们可以得到等式．请解答下列问题：
(1)根据图②，写出一个代数恒等式： ；
(2)利用（1）中所得到的结论，解决以下问题：已知，，求的值；
(3)小华同学又用张边长为的正方形，张边长为的正方形，6张边长分别为、的长方形纸片拼成了一个长方形，那么该长方形的边长分别为 ， ．
23.阅读下列材料，回答问题：“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．根据阅读材料，解决下列问题：
(1)若多项式是一个完全平方式，则常数 ；
(2)已知代数式，用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再直接写出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
参考答案
一、单选题
1．B
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
根据完全平方公式的形式为求解即可．
【详解】解：A．不是完全平方式；
B．是完全平方式；
C．不是完全平方式；
D．不是完全平方式．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了完全平方公式，先由题意表示出增加后新正方形的边长，分别求出原正方形与新正方形的面积，相减即可得到增加的面积．
【详解】解：根据题意得：，
∴新正方形的面积增加了
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了整式混合运算的应用，先利用完全平方公式计算，再将代数式分组为一定被3整除的一组和需要确定范围的一组，找到能被整除的数即可得答案．
【详解】解：
，
∵的值总能被3整除，
∴总能被3整数，
∴整数k为，1，4均满足条件，当时，，不能被3整除，
故选：B
4．B
【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，由得，把当作一个整体，利用完全平方公式即可得解．
【详解】解：
∴，
故选：B．
5．D
【分析】本题主要考查了完全平方公式，勾股定理逆定理，先对等式进行整理，再根据勾股定理逆定理，即可求解，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：，
，
∴，
∴这个三角形是直角三角形，
故选：．
6．D
【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式变形求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：D．
7．D
【分析】根据完全平方式得出，再求出即可．本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
整理得，
解得的值是5或，
故选：D．
8．B
【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，正确识图是关键，掌握完全平方公式：．
先证明，求出和的长，再根据面积和求解即可．
【详解】解：如图，
由题意，得，，，
，
．
故选：B．
二、填空题
9．0
【分析】本题考查完全平方公式，非负性，根据非负性求出的值，再进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：0．
10． /
【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，根据完全平方和公式及完全平方差公式展开，根据展开式的结构特征相加或者相减即可求出及的值，熟记完全平方公式是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
两式相加得，
解得；
两式相减得，
解得；
故答案为：；．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查完全平方公式，根据构造完全平方式即可．
【详解】解：因为①；
②；
③；
④．
故答案为：（或或或等，答案不唯一）．
12．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式对代数式进行变形是解题的关键．
先用完全平方公式对代数式进行变形，然后确定其最小值即可．
【详解】解：，
则的最小值为．
故答案为．
13．10
【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将已知等式利用完全平方公式变形可得，由此即可得．
【详解】解：∵①，，
∴②，
由②①得：，
∴，
故答案为：10．
14．35
【分析】本题考查完全平方公式，理解完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．设正方形甲的边长为，正方形乙的边长为，由图1、图2阴影部分的面积为5和30可得，，由完全平方公式得出的值即可．
【详解】解：设正方形甲的边长为，正方形乙的边长为，
图1中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
图2中大正方形的边长为，因此面积为，阴影部分的面积为，
图1和图2中阴影部分的面积分别为5和30，
，，
，
，
即两个正方形的面积和为35，
故答案为：35．
三、解答题
15．（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
16．解：∵，，
∴，
∴；
∴，
∴．
17．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，
∴或4，
分两种情况：
当时，，的周长为，
当时，，的周长为，
18．（1）解：，，
，，
，
∴，
；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：．
19.（1）解：由图可知：图②中画有阴影的小正方形的边长，
故答案为：；
（2）解：观察发现，大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个小长方形的面积，
即：；
（3）解：由（2）得：；
∵，，
∴，
∴．
20.（1）解：，
，
，
；
故答案为：20；
（2）解：，
，
，
，
解得：；
（3）解：，
，
，
四边形，是正方形，，
，，
，
即：，
．
21.（1）解：由图可得，；
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由图可得，，
∵，
∴．
22.（1）解：由题意得：．
故答案为：．
（2）解：由（1）得，，
∴当，时，，
∴，
∴．
（3）解：由题意得：长方形的面积为：，
∴，
∴长方形的边长为：长为或，宽为或．
故答案为：长为或，宽为或．
23.（1）解： ，
，
故答案为：9；
（2），
∴这个代数式的值总是正数，
当时，的最小值是．