2025年浙江中考数学一模卷数学精选01---第24题压轴
一、解答题（共140分）
1．（本题10分）（2025·浙江·一模）如图1，是等腰的外接圆，，点是所对弧上的任意一点，连结，将绕点逆时针旋转，交于点，连结．
(1)求证：．
(2)如图2，若，
①求的值．
②当的度数与的度数之比为3时，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）证明可得结论；
（2）①由平行线的性质得，由圆周角定理得，可证明得，得，进一步得出是正三角形，故可得出结论；
②先求出，作于点，设，求出,在上取点，使，求得即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
，
；
（2）解：①如图，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是正三角形，
；
②的度数与的度数之比为3，
，
，
作于点，
设，
∴,
在上取点，使，
∴
∴，
∴
∴
∴
∴，
．
2．（本题10分）（24-25九年级下·浙江·阶段练习）如图，是的外接圆，点D位于外一点，连接，，．交于点E，连接．已知．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，经过圆心O，．
①求的值；
②若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)①；
【详解】（1）证明：∵在中，
．
，
，
．
（2）解：①如图2，连接，，
，
．
，
．
，
．
，
．
．
．
，
，
，
∵经过圆心O，
∴是的直径．
．
；
②如图4，延长交于点F，
，
．
．
∵O为的中点，
．
由（2）①可得，
∴在中，．
∴在，．
．
∴（负根舍去）．
．
【点睛】本题主要考查垂径定理、圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定，三角函数，熟练掌握垂径定理、圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
3．（本题10分）（2025·浙江宁波·一模）如图1，已知内接于，且是的中点，连接交直径于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的长
(3)如图2，连接并延长交于点G，连接，
①设，，求y关于x的函数关系式；
②求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①；②
【分析】（）由是的直径，得，由圆周角定理，再利用等腰三角形的三线合一的性质解答即可；
（）设交于点，连接，根据是的直径，得出，根据条件，得出，结合勾股定理解答即可；
（）①求解，可得，结合D为中点，O为中点，可得；
②先证明，如图，连接，设，则，，，可得，可得，再进一步求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设交于点，连接，
∵是的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
（3）解：①∵，则，
∴，
∵D为中点，O为中点，
∴
即：
②∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∵，经过圆心，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
如图，连接，
设，则，，
在中，根据勾股定理可得，，
∴同理可得：，
∵，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂径定理的推论，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
4．（本题10分）（2025·浙江宁波·模拟预测）如图 1，四边形 是 的内接四边形， 为对角线，且 为 的直径， ，已知 ， ．
(1)求 的长；
(2)如图 2， 为 上一点，过 作 ，其反向延长线交 于点 ，连结 、 、 ，若 ，
① 求 的值；
②试求 的长．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）连结，设与交于点P，由垂径定理可得P为中点，结合O为圆心，可求出，求出，然后利用勾股定理即可求解；
（2）①先证明，再证明得，设，由，，，再利用勾股定理求出即可求解．
②证明得，求出，，再证明得，进而可求出 的长．
【详解】（1）解：连结，设与交于点P
∵，
∴，
∴，
∴P为中点，
∵O为圆心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）①∵，
∴．
∵ 为 的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
设，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
②∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又由①得，
∵，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形中位线，圆周角定理，解直角三角形，以及相似三角形的判定与性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键．
5．（本题10分）（2025·浙江宁波·一模）已知内接于圆，平分交圆于点，交于点，是上一点．
(1)若，_______，求的度数．
①；②．
（作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解的度数．）
(2)若，求的长．
(3)若，求证：．
【答案】(1)若选择①，；若选择②，
(2)
(3)见详解
【分析】（1）当选择①时，由题意易得，，然后可得是直径，则有点M是圆心，且四边形是平行四边形，进而问题可求解；若选择②，由题意易得，，设，则有，然后可得方程，进而问题可求解；
（2）由题意易得，则可证，则有，进而问题可求解；
（3）先证明，，则有，，然后根据可得，进而问题可求证．
【详解】（1）解：当选择①时，
∵，平分，
∴，，
∴，
∴是直径，
∵，
∴，
∴点M是圆心，且四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴都为等边三角形，
∴，
∴；
若选择②，
∵，平分，
∴，，
由可设，则有，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵四边形内接于圆，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查垂径定理、菱形的性质与判定、圆周角的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、菱形的性质与判定、圆周角的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
6．（本题10分）（2025·浙江衢州·一模）在矩形中，点，分别是，边上的动点，连接，交于点．
(1)如图（1），当点，分别是，的中点时，求证：；
(2)若，点是边上的点，连结交于点，点是的中点，
①如图（2），若，求的长；
②如图（3），连接，当，且时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①的长为2；②．
【分析】（1）根据矩形的性质求得，利用三角形中位线的性质求得，推出，利用相似三角形的性质即可证明；
（2）①连接交于点，连接，利用三角形中位线定理求得，，再证明四边形是平行四边形，据此求解即可；
②设，则，连接，，作于点，求得，证明是线段的垂直平分线，求得，得到，证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：连接交于点，
∵矩形，
∴，，，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，则，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①连接交于点，连接，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即的长为2；
②设，则，连接，，作于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
7．（本题10分）（2025·广东深圳·一模）如图，内接于，连结交于点D，交于点E，已知．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)若，设的半径为r，求的面积（用含r的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)
【分析】（1）先根据圆周角定理可得，再由同角的余角可得，则，最后由三角函数定义即可得结论；
（2）如图2，过点C作于M，根据勾股定理可得，由面积法得，由勾股定理得，由等腰三角形的三线合一的性质得：，最后由圆周角定理，对顶角相等，等角对等边即可解答；
（3）如图3，连接并延长交于F，连接，先根据垂径定理得：，，根据三角形的内角和定理得：，则，是等腰直角三角形，设，则，由勾股定理和三角形的面积即可解答．
【详解】（1）证明：如图1，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图2，过点C作于M，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（3）解：如图3，连接并延长交于F，连接，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
由（2）知：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8．（本题10分）（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在平行四边形 中，过 三点的 交 于点 ，连结 ．
(1)求证： ．
(2)如图 2 ，已知 为 的切线，连结 并延长交 于点 ．
①求证： ；
②若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据同角的补角相等得，可得最后根据等角对等边得出答案；
（2）①延长 交 于点 ，连结 ， 根据切线的性质和平行线的性质，及垂径定理得是的垂直平分线，得，再根据等腰三角形的性质得，进而得出，最后根据“弧，弦，圆心角的关系”得，即可得出结论；
②延长交的延长线于点M，设，则,进而得出再说明， 可求出，然后证明，可得，，接下来说明，再设，则，根据相似三角形的对应边成比例求出 ，最后根据得出答案.
【详解】（1）证明：
．
，
；
（2）①证明：如图，延长 交 于点 ，连结 ，
切 于点，
，
∵，
∴
，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
②如图3，延长交的延长线于点M，设，则．
由，
∴，
∴．
由，得，
，
解得．
由 得.
∵，
∴，
∴ ．
∴，
∴，
∴．
∵，且，
∴，
∴．
设，则，得 ，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，求余弦，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.
9．（本题10分）（2025·浙江衢州·一模）如图1，在中，，是的外接圆，点D是的中点，连接交于点E．
(1)求的度数．
(2)如图2，过点A作，连接，若，．
①若，求．
②连接，求的长．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）根据直径得到的度数为，中点得到的度数为，圆周角定理求出的度数即可；
（2）①根据，设，则，根据，求出的值，导角得到，进而求出的长，证明为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果；
②分和两种情况，画出图形，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，是的外接圆，
∴为直径，
∴的度数为，
∵D是的中点，
∴，
∴的度数为，
∴；
（2）①由（1）可知：，
∴，
设，则，
∵，，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
在中，，
∴；
②当时，
过点O作，由①可知：，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，；
当＞时，过点O作
∵，
∴，
设，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
10．（本题10分）（2025·浙江舟山·一模）如图1，以点为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线与相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点．
(1)填空：的长为______；的长为______；的半径为______；的长为______；
(2)如图2，点P是直径上的一个动点（不与C、D重合），连结并延长交于点．
①当时，求的值；
②设，，求y与x的函数关系式．
【答案】(1)5，，2，2
(2)①；②y与x的函数关系式为
【分析】（1）利用直线解析式求出点E和点F坐标，进而得到和的长度，再根据边角关系可得，继而得到和；
（2）①易证，从而求出的长，进而即可得解；
②构造8字型相似，作轴于点K，轴于点J，则，，解直角三角形可得，进而得到、和，再在中，，进而建立等式求解．
【详解】（1）解：直线交x轴于点E，交y轴于点F，
令得，，
解得，
；
令得，，
；
，
，
连接，则，
，
，
，
，即的半径为2；
，，
是等边三角形，
；
故答案为：5，，2，2；
（2）解：①连接、，
，
，
，
，
，
，
，
为直径，
，，
，
；
②由①知，
，
如图，作轴于点K，轴于点J，则，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，即，
整理得，
与x的函数关系式为．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、一次函数与坐标轴交点、特殊直角三角形、相似三角形的判定和性质等内容，综合性强，难度大，熟练掌握相关知识是解题的关键．
11．（本题10分）（2025·浙江·一模）如图，锐角内接于，平分，交于点，交于点，平分，连结并延长交于点．
(1)若，请直接写出，的度数．
(2)求证：是的切线．
(3)若平分，求的长．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理解题即可；
（2）设，根据（1）的推理过程得到，然后根据角平分线得到，然后求出，即可得到结论；
（3）先根据角平分线的定义和三角形的外角得到，即可得到，然后证明，根据对应边成比例得到长，然后根据切线得到，然后证明，求出的值，再在Rt中利用勾股定理解题即可．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
连接，则，
又∵，
∴；
（2）证明：设，
∵平分，
∴，
连接，则，
又∵，
∴；
又∵平分，
∴，
∴，
∴是的切线；
（3）解：∵平分，平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
又∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
解得，
在Rt中，，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
12．（本题10分）（2025·浙江嘉兴·一模）如图，已知内接于，，过圆心作，交于点，交于点，射线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)若直线与直线交于点，且，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)的度数为或．
【分析】（）连接，，设与交于点，由，，得，，垂直平分，所以，，设，然后由外角性质和角度和差即可求解；
（）连接，由勾股定理得，，然后证明，则，从而求出，再由勾股定理得，再通过垂径定理得，再通过圆内接四边形和平角定义证明，则，然后代入求值即可；
（）分当在线段上时和当在延长线上时两种情况分析即可
【详解】（1）解：连接，，设与交于点，
∵，，
∴，，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由（）得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，当在线段上时，连接，
由上可得：，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，为半径，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴；
如图，当在延长线上时，
由上可得：，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，为半径，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴；
综上可知：的度数为或．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
13．（本题10分）（2025·新疆·一模）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点D在上．连接，交于点E，延长，，两线相交于点P，过点A作的切线交于点G．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据折叠可得，根据切线的定义可得，即可得证；
（2）根据题意证明，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证；
（3）根据，设，则，得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，根据，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】（1）证明：∵将沿直线翻折到，
∴．
∵为的直径，是切线，
∴．
∴．
（2）证明：∵
∴
∵
∴
又∵，
∴．
∴，即；
（3）解：∵，设，则，
∴．
∴．
由折叠可得，
∴．
∵在中，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，圆周角定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．（本题10分）（2025·浙江温州·一模）如图，在圆内接四边形中，延长交于点E，在上方作，使点F在线段上，且，连结．
(1)若，B为的中点，求的度数．
(2)连结，当时．
①求证：四边形是平行四边形．
②若，求证：．
【答案】(1)
(2)①见解析；②见解析
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质、圆周角定理是解题的关键．
（1）根据弧、弦之间的关系和圆内接四边形的性质进行解答即可；
（2）①证明，，即可证明结论；
②过点B作交圆于点P，连结，证明，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，
∵B为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）①如图，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
②如图2，过点B作交圆于点P，连结，
则，，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2025年浙江中考数学一模卷数学精选01---第24题压轴
一、解答题（共140分）
1．（本题10分）（2025·浙江·一模）如图1，是等腰的外接圆，，点是所对弧上的任意一点，连结，将绕点逆时针旋转，交于点，连结．
(1)求证：．
(2)如图2，若，
①求的值．
②当的度数与的度数之比为3时，求的值．
2．（本题10分）（24-25九年级下·浙江·阶段练习）如图，是的外接圆，点D位于外一点，连接，，．交于点E，连接．已知．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，经过圆心O，．
①求的值；
②若，求的半径．
3．（本题10分）（2025·浙江宁波·一模）如图1，已知内接于，且是的中点，连接交直径于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的长
(3)如图2，连接并延长交于点G，连接，
①设，，求y关于x的函数关系式；
②求的值．
4．（本题10分）（2025·浙江宁波·模拟预测）如图 1，四边形 是 的内接四边形， 为对角线，且 为 的直径， ，已知 ， ．
(1)求 的长；
(2)如图 2， 为 上一点，过 作 ，其反向延长线交 于点 ，连结 、 、 ，若 ，
① 求 的值；
②试求 的长．
5．（本题10分）（2025·浙江宁波·一模）已知内接于圆，平分交圆于点，交于点，是上一点．
(1)若，_______，求的度数．
①；②．
（作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解的度数．）
(2)若，求的长．
(3)若，求证：．
6．（本题10分）（2025·浙江衢州·一模）在矩形中，点，分别是，边上的动点，连接，交于点．
(1)如图（1），当点，分别是，的中点时，求证：；
(2)若，点是边上的点，连结交于点，点是的中点，
①如图（2），若，求的长；
②如图（3），连接，当，且时，求的值．
7．（本题10分）（2025·广东深圳·一模）如图，内接于，连结交于点D，交于点E，已知．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)若，设的半径为r，求的面积（用含r的代数式表示）．
8．（本题10分）（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在平行四边形 中，过 三点的 交 于点 ，连结 ．
(1)求证： ．
(2)如图 2 ，已知 为 的切线，连结 并延长交 于点 ．
①求证： ；
②若 ，求 的值．
9．（本题10分）（2025·浙江衢州·一模）如图1，在中，，是的外接圆，点D是的中点，连接交于点E．
(1)求的度数．
(2)如图2，过点A作，连接，若，．
①若，求．
②连接，求的长．
10．（本题10分）（2025·浙江舟山·一模）如图1，以点为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线与相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点．
(1)填空：的长为______；的长为______；的半径为______；的长为______；
(2)如图2，点P是直径上的一个动点（不与C、D重合），连结并延长交于点．
①当时，求的值；
②设，，求y与x的函数关系式．
11．（本题10分）（2025·浙江·一模）如图，锐角内接于，平分，交于点，交于点，平分，连结并延长交于点．
(1)若，请直接写出，的度数．
(2)求证：是的切线．
(3)若平分，求的长．
12．（本题10分）（2025·浙江嘉兴·一模）如图，已知内接于，，过圆心作，交于点，交于点，射线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)若直线与直线交于点，且，求的度数．
13．（本题10分）（2025·新疆·一模）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点D在上．连接，交于点E，延长，，两线相交于点P，过点A作的切线交于点G．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
14．（本题10分）（2025·浙江温州·一模）如图，在圆内接四边形中，延长交于点E，在上方作，使点F在线段上，且，连结．
(1)若，B为的中点，求的度数．
(2)连结，当时．
①求证：四边形是平行四边形．
②若，求证：．
试卷第1页，共3页
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