北师大版2024-2025学年八年级（下）数学期中模拟试卷（含解析）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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2024-2025学年八年级（下）数学期中试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知二次根式，当时，此二次根式的值为( )
A. B. C. D.
2.平面直角坐标系中有两点和，则这两点之间的距离为( )
A. B. C. D.
3.下列几组数：，，，，，，，，，，，是大于的整数，其中是勾股数的有( )
A. 组 B. 组 C. 组 D. 组
4.已知是正整数，是整数，则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.如图，在平行四边形中，，相交于点，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
6.直角三角形的两条直角边的长分别为，，则斜边上的高线的长为( )
A. B. C. D.
7.九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈一丈尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
8.如图，中，是的中点，平分，于点，若，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
9.若，，都是整数，且，，，则下列关于，，的大小关系，正确的是( )
A. B. C. D.
10.如图，菱形的边长为，点是对角线上的一个动点，点、分别为边、的中点，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12.用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是______．
13.如图， 的周长是，对角线相交于点，且，则的周长为______．
14.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为______．
15.如图，在正方形中，、分别是，的中点，、交于点，连接，下列结论：；；；其中正确的结论是______．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：
；
．
17.本小题分
如图，在 中，点，分别在，上，，求证：四边形是矩形．
18.本小题分
如图，一个长方形被分割成四部分其中图形、、都是正方形，且正方形、的面积分别为和．
求图的边长；
求图中阴影部分的面积．
19.本小题分
如图，在 中，，交于点，过点的直线交于点，交于点．
直线是否将 分成面积相等的两部分？试说明理由；
张大爷家有一块平行四边形菜园，园中有一口水井，如图，张大爷计划把菜园平均分成面积相等的两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开用直尺在答题卡中画图，保留画图痕迹
20.本小题分
勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书周髀算经就有“勾三股四弦五”的记载如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的九章算术中．
【探究】
观察，，；，，；，，；，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时股，弦；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
如果勾为，则股 ______；弦 ______．
如果用，且为奇数表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股 ______，弦 ______；
【探究】
观察，，；，，；，，；，，，；，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过．
______； ______；
如果用为正整数且表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股 ______，弦 ______；
21.本小题分
如图，中，，，分别在，上，将沿折叠，使点落在边上的点处，且，折痕为．
求的度数；
若，，求的长．
22.本小题分
阅读下列解题过程：
；
；
观察上面的解题过程，请直接写出的结果是______；
利用上面所提出的解法化简：．
23.本小题分
我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
你所知道的特殊四边形中，是勾股四边形有______一个即可；
如图，，请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形；
如图，是正三角形，，且，求证：，即四边形是勾股四边形．
24.本小题分
如图，中，，，，是直线上两动点，且探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，请你参照小明的思路，探究并解决下列问题：
猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明；
如图，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当时，，
故选：．
把代入进行计算即可．
本题考查的是二次根式的值，熟练代入并求值是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由题意得：，
点和，
，，
，
这两点之间的距离为，
故选：．
由题意得：，根据已知可得，，然后利用勾股定理进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，，是勾股数，符合题意；
，
，，是勾股数，符合题意；
，
，，是勾股数，符合题意；
，
，，是勾股数，符合题意．
共有四组勾股数．
故选：．
首先根据，得出，，是勾股数；，得出，，是勾股数；，得出，，是勾股数；，得出，，是勾股数，据此可得出答案．
本题考查的是勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
又是正整数，是整数，
符合的最小值是，
故选：．
先分解质因式，再根据二次根式的性质判断即可．
本题考查了二次根式的性质和定义，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：在平行四边形中，，，，
，，
，，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质求出，，，再根据勾股定理求解即可．
此题考查了平行四边形的性质、勾股定理，熟记平行四边形的性质、勾股定理是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：直角三角形的两条直角边的长分别为，，
斜边为．
设为斜边上的高．
，
．
故选：．
先利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可．
此题考查了勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，设折断处离地面的高度为尺，则，，
在中，，即．
故选：．
根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为尺，再利用勾股定理列出方程即可．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
8.【答案】
【解析】解：延长交于点，如下图：
，
，
又平分，
，
又，
≌，
，，
即为的中点，
又是的中点，
为的中位线，
，
，
故选：．
延长交于点，由题意可得，为的中点，从而得到为的中位线，即，从而得到．
此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
9.【答案】
【解析】解：，，，
，，，
，
故选：．
分别计算出，，的值，再比较大小即可．
本题主要考查实数大小的比较，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，取的中点，连接，．
四边形是菱形，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，，，
，关于对称，
，
，
，
，
的最小值为．
故选：．
如图，取的中点，连接，首先证明四边形是平行四边形，推出，再证明，由，可得结论．
本题考查轴对称最短问题，菱形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】
解：依题意，得，
解得，．
故答案是：．
12.【答案】答案不唯一
【解析】解：“”是错误的，
的值可以是答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
直接利用二次根式的性质，进而得出符合题意的答案．
此题主要考查了二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
是的垂直平分线，
，
的周长，
故答案为：．
根据平行四边形的性质得出，再利用线段垂直平分线的性质即可得，进而可得的周长．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出解答．
14.【答案】
【解析】解：由勾股定理，得正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
则正方形的面积，
故答案为：．
根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
15.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
根据正方形的性质得到，，得到，，根据全等三角形的性质得到，，故正确；求得，根据垂直的定义得到，故正确；延长交的延长线于，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到故正确．根据，可得，所以，所以不是等边三角形，故错误．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
，分别是，的中点，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
故正确，符合题意；
，
，
，
，
故正确，符合题意；
，
延长交的延长线于，
四边形是正方形，
，，
，
点是的中点，
，
，，，
≌，
，
是斜边的中线，
，
，
，，
，
故正确，符合题意；
，
，
，
，
不是等边三角形，
，
故错误，不符合题意；
故答案为．
16.【答案】解：
；
．
【解析】先算乘法，再算加减，即可解答；
先算乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．
【解析】先证四边形是平行四边形，再由对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
18.【答案】解：正方形的边长是，
正方形的边长是，
正方形的边长是，
阴影的宽是，
图中阴影部分的面积是：．
【解析】根据开方运算，可得正方形、正方形的边长，根据线段的和差，可得阴影的长、阴影的宽，根据矩形的面积，可得答案．
本题考查了算术平方根，利用开方得出正方形、正方形的边长，利用线段的和差得出阴影的长、阴影的宽是解题关键．
19.【答案】直线能将 的面积二等分，理由见详解；
见详解．
【解析】解：直线将 的面积二等分．
理由：四边形为平行四边形，
，，，，
，
≌，
．
，
，，
≌，
．
同理证明≌，
．
，
即，
直线将 的面积二等分．
如图，连接，，相交于点，作直线，
则沿着直线分割即可．
根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别证明≌，≌，≌，进而可得，，，则可得，即直线将 的面积二等分．
根据平行四边形的性质，连接，，相交于点，作直线，则沿着直线分割即可．
本题考查作图应用与设计作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
20.【答案】解：探究： ；；
；；
探究：，；
；．
【解析】解：探究：勾为时，股，弦；勾为时，股，弦；
勾为，股的算式为，弦的算式为；
故答案为；；
由题意，得股的算式为；弦的算式为
故答案为；；
探究：，，；，，；，，；，，，；，
，，
，，，
，，，
，，，
，，，
，；
由题意，得另一条直角边的代数式为；
弦长的代数式为，
故答案为；．
根据所提供的例子发现股是勾的平方减去的二分之一，弦是勾的平方加的二分之一；
股是勾的平方减去的四分之一，弦是勾的平方加的四分之一；
根据题意，得另一条直角边是一条直角边的二分之一的平方减去，弦是一条直角边的二分之一的平方加上．
此题主要考查勾股定理的证明，注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式．
21.【答案】；
．
【解析】解：
，
折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，
，
，
，即，
，
，
，
；
，，
，
设，则，
折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，
，
在中，，
，
解得，
．
由，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，可得，即得，而，故；
根据，，得，设，则，在中，可列方程，即可解得．
本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及勾股定理、三角形内角和等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题．
22.【答案】；
．
【解析】解：
，
故答案为：；
，
故答案为：．
根据平方差公式可以将题目中的式子分母有理化；
先将所求式子分母有理化，然后计算加减法，最后化到最简即可．
本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
23.【答案】正方形答案不唯一；
见解析；
见解析．
【解析】解：正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，
故答案为：正方形答案不唯一；
解：由题意得：，，
在直角三角形中，由勾股定理得：，即，
点，都满足条件，
如图，或即为所求，
证明：如图，连接，
≌，
，，
，
，，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
四边形是勾股四边形．
正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，即可求解，
根据勾股定理计算出对角线的长度，得到，再根据情况画出即可；
如图，连接，由≌可得，，因为，所以，又因为，所以，由勾股定理可得，所以，即四边形是勾股四边形．
本题属于四边形综合题，主要考查勾股定理、旋转和全等三角形的性质，解题的关键在于理解勾股四边形的概念，充分利用其特点解题．
24.【答案】解：，
中，，，
，
将沿折叠，得，连接
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
在中，有，即．
解：结论不变，
作，且截取，连接，连接，
≌，
，，
又，
，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
，
在 中，，即．
【解析】通过证明≌，得到，在中，有，即；
作，且截取，连接，连接，先证明≌，再证明≌，则，在 中，，即．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键．
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