北师大版2024-2025学年 八年级（下）数学期中模拟试卷（含解析）

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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2024-2025学年八年级（下）数学期中试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )
A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、
3.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，在平行四边形中，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
5.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，是斜边上的中线若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
7.下列说法中，正确的是( )
A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相平分的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是正方形
8.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.当时，二次根式的值为______．
10.我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为“”的线段作一个正方形，然后以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点”，如图线段的长度是______．
11.在 的周长是，，则______．
12.若菱形两条对角线的长分别为和，则此菱形面积为______．
13.如图，每个小正方形的边长都相等，，，是小正方形的顶点，则的度数为______．
14.如图，点是矩形中边上一点，将沿折叠为，点落在边上，若，则______．
15.如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，点是对角线上的动点，则的最小值是______．
16.如图，在中，，，点、分别是边、的中点，点是线段上的一点，连接、，若，则线段的长为______．
三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
如图各正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点都称为格点．
在图中，画出一条以格点为端点，长度为的线段；
在图中，以格点为顶点，画出三边长分别为，，的三角形．
19.本小题分
已知：如图，平行四边形的对角线、相交于点，、是直线上的两点，并且求证：四边形是平行四边形．
20.本小题分
已知，．
求和的值；
求的值．
21.本小题分
如图，在菱形中，点，分别在边，上，且求证：．
22.本小题分
如图，在中，，，，，，，，试猜想与的位置关系，并说明理由．
23.本小题分
如图，在矩形中，点为边上一点，，交于点，若，矩形的周长为，且，求矩形的面积．
24.本小题分
【观察思考】观察下列各式：
；
；
．
请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题：
______；
根据你的观察、猜想，写出一个用为正整数表示的等式：______；
用上述规律计算：．
25.本小题分
综合与实践：
【问题背景】：
三角形中位线定理：如图，在中，点，分别是边，的中点请直接写出中位线和第三条边的位置关系和数量关系；
【知识应用】
如图，在四边形中，点，分别是边，的中点，若，，，，求的度数．
26.本小题分
如图，在中，为边上的一动点不与，重合，交于点，交于点．
满足什么条件时，四边形为矩形？说明理由；
当满足什么条件时，四边形为菱形？说明理由；
在的条件下，满足什么条件时，四边形为正方形？为什么？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
解得．
故选：．
根据二次根式的条件即可得到答案．
本题主要考查二次根式的条件，掌握二次根式的条件是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、因为，所以不能构成直角三角形；
B、因为，所以能构成直角三角形；
C、因为，所以不能构成直角三角形；
D、因为，所以不能构成直角三角形．
故选：．
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3.【答案】
【解析】解：、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，，
，
故选：．
根据平行四边形的对角相等即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：．，不是最简二次根式；
B.是最简二次根式；
C.，不是最简二次根式；
D.，不是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式的定义，掌握其性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：在中，，是斜边上的中线，
．
．
故选：．
根据直角三角形的性质直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半解决此题．
本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、四边相等的四边形是菱形，正确，符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项错误，不符合题意；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，选项错误，不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，选项错误，不符合题意；
故选：．
利用菱形，矩形，正方形的判定方法解答即可．
本题考查正方形的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：点的坐标是，
，
四边形为菱形，
，
则点的坐标为．
故选：．
根据点的坐标是，可得的长，再根据菱形的四条边都相等即可得点的坐标．
本题考查了菱形的性质、坐标与图形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
9.【答案】
【解析】解：当时，原式，
故答案为：．
把代入原式化简即可．
本题主要考查了二次根式的基本性质及化简、二次根式的定义，掌握代入求值法是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：根据题意知，
，
故答案为：
利用勾股定理求得对角线的长度再结合图形即可求解．
本题主要考查了实数与数轴之间的关系，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
11.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
的周长为，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质可得，，进而可得，然后可得答案．
此题主要考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对边相等是解决问题的关键关键．
12.【答案】
【解析】解：菱形的面积为：．
故答案为：．
根据菱形的对角线互相垂直，互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．
本题考查菱形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接．
由题意，，，，
，，
是等腰直角三角形，且，
，
故答案为：．
根据勾股定理得到，，的长度，再判断是等腰直角三角形，进而得出结论．
本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出是等腰直角三角形是解决本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
由翻折可知：，
，
，
．
故答案为：．
根据四边形是矩形，可得，由翻折可得，进而可以解决问题．
本题考查翻折变换，矩形的性质，灵活运用折叠的性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接交于点，连接，
四边形是正方形，
点与点关于对称，
，
，此时最小，
正方形的边长为，点是边的中点，
，，，
，
的最小值是，
故答案为：．
连接交于点，连接，根据正方形的对称性得到，此时最小值等于的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
此题考查轴对称最短路线问题，正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算．依据正方形的对称性，连接交于点时有最小值，这是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，点是的中点，
，
、分别是，的中点，
，
，
故答案为：．
先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长，然后利用三角形的中位线求出长，再利用解题即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线性质是解题的关键．
17.【答案】；
．
【解析】解：
；
．
先化简二次根式，再按照二次根式的混合运算顺序进行计算即可；
按照二次根式的混合运算顺序进行计算即可．
此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
18.【答案】解：如图，图中线段即为长度为的线段；
如图，图中三角形即为三边长分别为，，的三角形．
【解析】由勾股定理画出长度为的线段即可；
由勾股定理画出三边长分别为，，的三角形即可．
本题考查了勾股定理、作图复杂作图，由直角三角形两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方是解答此题的关键．
19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
又，
．
四边形是平行四边形．
【解析】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决．
平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
20.【答案】，；
．
【解析】解：，，
，；
由得：，，
．
直接把，代入计算即可；
把变形为，再整体代入计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，完全平方公式，掌握二次根式的运算法则和利用完全平方公式变形进行计算是解本题的关键．
21.【答案】证明：为菱形，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】根据菱形性质和三角形全等的判定，证明≌即可．
本题考查了菱形的性质和三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．
22.【答案】解：，理由如下：
依题意，，
，
，
，
，
，即．
【解析】根据勾股定理得出，，，然后根据勾股定理的逆定理，即可求解．
本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行计算是解题关键．
23.【答案】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
又，
≌，
，
设，则，
矩形的周长为，
，
，
，
，，
．
【解析】证明≌得到，设，则，根据矩形周长计算公式得到，解方程得到，，则．
本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握其性质定理是解决此题的关键．
24.【答案】
【解析】解：由所给算式可得，
故答案为：；
由所给算式可得，
故答案为：；
．
根据所给算式可直接得出答案；
根据所给算式得出一般性规律即可；
将被开方数变形，然后利用中规律进行计算．
本题考查了数字类规律探索，二次根式的运算，解题的关键是掌握相关知识的应用．
25.【答案】，； ．
【解析】解：点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，；
如图，连接，
，分别是边，的中点，
，，
．
，，
，，
，
，
．
根据三角形中位线定理即可得到结论；
根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可．
本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
26.【答案】解：当是直角三角形即是直角时，四边形为矩形，
，，
四边形为平行四边形，
当是直角时，四边形为矩形；
当平分时，四边形为菱形，
四边形为平行四边形，
平分，四边形为菱形；
当是直角三角形即是直角时，四边形为正方形，
四边形为菱形，
当是直角时，四边形为正方形．
【解析】根据，可判断四边形为平行四边形，再根据矩形的判定定理即可求解；
由四边形为菱形，能得出为的平分线即可；
由四边形为正方形，得，即当是以为斜边的直角三角形即可．
本题考查了正方形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定以及矩形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
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