6.4 余弦定理 教学设计

6. 4．3平面向量的应用----余弦定理
课题 6.4.3平面向量的应用—余弦定理 学科 数学 年级 高一
教材分析 本节内容是平面向量的应用，是在平面向量概念及其运算的基础上展开的。前两节学面向量在几何证明和物理中的应用，继续研究解三角形问题。本节课主要研究余弦定理及其应用。
教学目标 1.了解余弦定理的推导过程； 2.掌握余弦定理的几种变形公式及应用； 3.能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题。
重点 用向量法推导余弦定理并应用余弦定理解三角形
难点 应用余弦定理解三角形
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 旧知导入： 平面向量在解决数学和实际问题中有举足轻重的作用，那么，接下来我们将借助向量的运算探索三角形边长与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题。 学生思考问题，引出本节新课内容。 设置问题情境，回顾旧知，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。
讲授新课 知识探究（一） 余弦定理
思考1：我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的。也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示。那么，表示的公式是什么？
余弦定理：
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即
利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边。
思考3：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系。应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？
由余弦定理可得如下推论：
利用推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角。
思考4：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三边与其中的一个角之间的关系。你能说说这两个定理之间的关系吗？
【小试牛刀】 思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1) 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．(　　) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．(　×　) (3) 在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．(　　) (4)已知△ABC中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．(　√　) (5)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则∠A为锐角．(　　) (6) 在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　) 例1 在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a. 【跟踪训练】1 在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形. 方法总结： (1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用 (2)已知三角形的三边求角时，可先利用余弦定理的推论求解出各角的大小． 【当堂达标】 1.在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A为(　 　) A. B. C. D.或 2.在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为(　 　) A．4 B．8 C．4或8 D．无解 3.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝2，则b＝ . 【课堂小结】 1．适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． 2. 主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化，适用于解三角形． 【课后作业】 教材44页，练习1，2 探究向量法推导余弦定理 会用自己的语言描述余弦定理的内容 公式变形， 得到推论 概念辨析 余弦定理的应用 巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。 理解余弦定理 根据三变会求三个角，推导出余弦定理的推论 明确勾股定理和余弦动定理的关系 加深对余弦定理的理解