浙江省杭州市2025年期中复习压轴真题分类训练卷
解析卷
二元一次方程组
1．（2024春 萧山区期中）已知关于x，y的二元一次方程组．
（1）请直接写出方程2x+y﹣6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x﹣y＝0，求m的值；
（3）无论数m取何值，方程2x﹣2y+my+8＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解．
【分析】（1）先判断出y为偶数，再求出y的取值范围，然后确定y值；
（2）求出x与y的解，然后代入x﹣y＝0，最后求出m；
（3）将含有m的项提出，使其为0求解．
【解答】解：（1）由2x+y﹣6＝0可得：2x＝6﹣y，
∵2x为偶数，
∴4﹣y为偶数，
∴y为偶数，
∵6﹣y＞0，
∴0＜y＜6，
∴或；
（2）∵x﹣y＝0，
∴x＝y，
把x＝y代入2x+y﹣6＝0得：
3x﹣6＝0，
解得：x＝2，
∴y＝2，
把x＝y＝2代入2x﹣2y+my+8＝0得：
4﹣4+2m+8＝0，
解得：m＝﹣4．
（3）2x﹣2y+my+8＝2x+（m﹣2）y+8，
当y＝0时，x＝﹣4，
∴固定解为：．
2．（2024春 拱墅区校级期中）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”，
（1）方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由；
（2）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值：
（3）未知数为x，y的方程，其中a与x、y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由．
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组后，再根据定义判断即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组后，再根据定义得到方程|1m+2m|＝1，求出m的值即可；
（3）通过解方程组得到y，x＝﹣5，再由题意可知2+a是12的公约数，从而求出符合条件的a的值，再求方程组的解即可．
【解答】解：（1），
将②代入①得，y+1+2y＝7，
解得y＝2，
将y＝2代入②得，x＝3，
∴方程组的解为，
∴|x﹣y|＝1，
∴程组的解x与y具有“邻好关系”；
（2），
①+②得，6x＝6+4m，
∴x＝1m，
将x＝1m代入①得，y＝﹣2m，
∴方程组的解为，
∵方程组的解x与y具有“邻好关系”，
∴|1m+2m|＝1，
解得m＝1或m＝2；
（3）方程组的解x与y具有“邻好关系”，理由如下：
，
①+②得，（2+a）y＝12，
解得y，
将y代入②得x，
∵a、y都是正整数，
∴2+a是12的公约数，
∵a、x都是正整数，
∴x5，
∴2+a是24的公约数，
∴2+a＝3或2+a＝4或2+a＝6或a+2＝12，
∴a的值为1或2或4或10，
∵x＞0，
∴a的值只能是1或2，
当a＝1时，方程组的解为；
当a＝2时，方程组的解为（舍）．
3．（2024春 滨江区校级期中）已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）一辆A型车和一辆B型车装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案．
（3）若A型车每辆租金1000元/次，B型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费．
【分析】（1）设一辆A型车和一辆B型车装满货物一次可分别运货x吨，y吨，根据题意建立二元一次方程组即可求解；
（2）根据货物总重量可得3m+4n＝31，即可求解；
（3）由（2）中的结论即可计算各方案所用费用，即可求解．
【解答】解：（1）设一辆A型车和一辆B型车装满货物一次可分别运货x吨，y吨，
由题意可得，，
解得：，
答：一辆A型车装满货物一次可运货3吨，一辆B型车装满货物一次可运货4吨；
（2）由题意得：3m+4n＝31，
∵m，n只能取整数
∴，
答：可租用A型车9辆，B型车1辆；租用A型车5辆，B型车4辆；租用A型车1辆，B型车7辆；
（3）由题意可得，
①9×1000+1×1200＝10200（元）；
②5×1000+4×1200＝9800（元）；
③1×1000+7×1200＝9400（元）；
∴最省钱的租车方案为：租用A型车1辆，B型车7辆，费用为9400元．
4．（2024春 杭州期中）踏春时节，某班学生集体组织亲子游，沿着瓯江口樱花步道骑自行车，该班学生花了950元租了若干辆自行车，已知自行车的类型和租车价格如表：
自行车类型 A型车 B型车 C型车
座位数（个） 2 3 4
租车价格（元/辆） 30 45 55
（1）若同时租用B、C两种类型的车，且共有65个座位，则应租B、C类型车各多少辆？
（2）若B型车租4辆，余下的租用A型和C型，要求每种车至少租用1辆，请你帮他们设计A型车和C型车的租车方案．
（3）若同时租用这三类车，且每种车至少租用1辆，则最多能租到 68 个座位（直接写出答案）．
【分析】（1）设应租B型车x辆，C型车y辆，根据租用的两种类型的车共65个座位且共花费950元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租A型车a辆，C型车b辆，根据总租金＝每辆车的租金×租车辆数，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案；
（3）分别求出租用三种类型车每个座位合到的钱数，设租的A和B两种类型的车共m个座位，C型车共n个座位，根据总钱数＝租用每个座位所需钱数×租到的座位数，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出m，n的值，结合m≥5即可找出（m+n）的最大值．
【解答】解：（1）设应租B型车x辆，C型车y辆，
依题意，得：，
解得：．
答：应租B型车15辆，C型车5辆．
（2）设租A型车a辆，C型车b辆，
依题意，得：30a+45×4+55b＝950，
∴b＝14a．
∵a，b均为正整数，
∴a为11的倍数，
∴，，
∴共有2种租车方案，方案1：租11辆A型车，8辆C型车；方案2：租22辆A型车，2辆C型车．
（3）30÷2＝15（元），45÷3＝15（元），55÷4（元）．
设租的A和B两种类型的车共m个座位，C型车共n个座位，
依题意，得：15mn＝950．
∵m，n均为正整数，
∴n为4的倍数，
∴，，，，，．
又∵m≥2+3＝5，
∴不合适，舍去，
∴（m+n）的最大值为68．
故答案为：68．
5．（2024春 上城区校级期中）某市生产的洋葱品质好、干物质含量高且耐储存，因而受到国内外客商青睐．现欲将一批洋葱运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋葱一次可运走11吨．现有洋葱31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋葱．根据以上信息，解答问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
【分析】（1）设1辆A型车载满洋葱一次可运送x吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋葱一次可运走11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据一次运送31吨洋葱，即可得出关于a，b的二元一次方程，解之a，b均为非负整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金＝每辆车的租金×租车数量，可分别求出三种租车方案的租车费，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆A型车载满洋葱一次可运送x吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送y吨，
依题意得：，
解得：．
答：1辆A型车载满洋葱一次可运送3吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送4吨．
（2）依题意得：3a+4b＝31，
∴a．
又∵a，b均为非负整数，
∴或或，
∴该物流公司共有3种租车方案，
方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；
方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；
方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
（3）方案1所需租车费为100×9+120×1＝1020（元）；
方案2所需租车费为100×5+120×4＝980（元）；
方案3所需租车费为100×1+120×7＝940（元）．
∵1020＞980＞940，
∴费用最少的租车方案为：租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元．
6．（2024春 西湖区校级期中）根据如表素材，探索完成任务．
背景 为了迎接2024年杭州茶文化“西湖悦读节”，某班级开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的 ．则其中B型加料的奶茶买了多少杯？
【分析】任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，列出二元一次方程，求出正整数解即可；
任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了（2a﹣b）杯，根据小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【解答】解：任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，
由题意得：10m+12n＝220，
整理得：m＝22n，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴有3种购买方案；
任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，
则B款加料的奶茶买了（3a﹣a﹣b）杯，即（2a﹣b）杯，
由题意得：10a+12b+（12+2）（2a﹣b）＝380，
整理得：b＝19a﹣190，
∵a、b、3a﹣a﹣b均为正整数，
∴，
∴2a﹣b＝2×11﹣19＝3，
答：B款加料的奶茶买了3杯．
7．（2024春 拱墅区校级期中）请同学们根据以下表格中的素材以、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三．
如何合理搭配消费券？
素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺 你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：材材A型消费券（满35减15元）3张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张．
素材二 消费券满减规则：按实际消费金额，达到满减金额的部分，可使用消费券；已享受满减的那部分金额不可再叠加使用其他消费券，如：消费193元，如果使用1张C型消费券，已经享受满减的158元的这部分，不可再叠加使用其他消费券，剩余的35元可以使用1张A型消费券．
素材三 在此次活动中，小观一家4人每人都领到了所有的消费券．某日小观一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务．
任务一 若小观一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了 4 张C型的消费券，此时减券前的消费金额最少为 1011 元．
任务二 若小观一家用13张A，B，C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各多少张？
任务三 若小观一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得付款额最少，并求出此时消费券的搭配方案．
【分析】任务一、C型消费券的张数＝（消费金额减免的总数﹣15×5﹣3×25）÷60；消费金额最少＝35×使用A型消费券的张数+68×B型消费券的张数+158×C型消费券的张数；
任务二、设C型消费券用x张，用x表示出A型消费券和B型消费券的张数，根据减免总钱数为390列出方程求解即可；
任务三、分类探讨小观一家仅用两种不同类型的消费券消费，减免390元，得到最少付费，比较后可得付款额最少的消费券搭配方案．
【解答】解：任务一、
（390﹣15×5﹣3×25）÷60
＝4（张）．
消费金额最少＝35×5+68×3+158×4＝1011（元）．
故答案为4，1011；
任务二、
设C型消费券用x张，则A型消费券用（x+1），那么B型消费券用了（12﹣2x）张．
∴60x+15（x+1）+25（12﹣2x）＝390．
解得：x＝3．
∴x+1＝4，12﹣2x＝6．
答：小观一家共用了A型消费券4张，B型消费券6张，C型消费券3张；
任务三、设A型消费券用了a张，B型消费券用了b张，C型消费券用了c张．
由题意得：a≤12，b≤8，c≤4．
①仅用A型消费券和B型消费券．
15a+25b＝390．
整理得：3a+5b＝78．
3a＝78﹣5b，
a＝26b．
b＝3时，a＝21（不符合题意，舍去），
b＝6时，a＝16（不符合题意，舍去）．
综上，无合适的解；
②仅用A型消费券和C型消费券．
15a+60c＝390．
整理得：a+4c＝26．
a＝26﹣4c．
∴符合题意的解为：a＝10，c＝4．
∴最少需要付款＝（35﹣15）×10+（158﹣60）×4＝592（元）；
③仅用B型消费券和C型消费券．
25b+60c＝390．
整理得：5b+12c＝78．
b．
∴符合题意的解为：b＝6，c＝4．
∴最少需要付款＝（68﹣25）×6+（158﹣60）×4＝650（元）；
∵592＜650，
∴付款最少的方案是使用10张A型券，4张c型券．
8．（2024春 上城区校级期中）
生活中的数学：确定最省钱的租车方案
素材一 平安租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，下表是公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量租用B型客车数量租金总费用323800133600
素材二 A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位．
素材三 钱学森学校七八年级师生共485人前往国家版本馆游学，交通费支出预算为9000元．
任务一 根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号客车每辆的租金分别是多少元．
任务二 钱学森学校本次游学准备租用平安租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案．
任务三 是否存在租车费用不超过预算的租车方案？如果有，请写出该方案；如果不存在，请计算至少要追加的预算金额．
【分析】（任务一）设每辆A种型号客车的租金是x元，每辆B种型号客车的租金是y元，根据公司租车记录单上的部分信息，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（任务二）设租用m辆A种型号客车，n辆B种型号客车，根据租用的客车恰好可以乘载485人，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案；
（任务三）求出9辆B型客车的总载客量及总租金，将其与485人及9000元比较后，即可得出结论．
【解答】解：（任务一）设每辆A种型号客车的租金是x元，每辆B种型号客车的租金是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每辆A种型号客车的租金是600元，每辆B种型号客车的租金是1000元；
（任务二）设租用m辆A种型号客车，n辆B种型号客车，
根据题意得：25m+55n＝485，
∴m，
又∵m，n均为非负整数，
∴或，
∴共有2种租车方案，
方案1：租用15辆A种型号客车，2辆B种型号客车；
方案2：租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车；
（任务三）有，租车方案为：租用9辆B型客车，理由如下：
∵55×9＝495＞485，1000×9＝9000，
∴存在租车费用不超过预算的租车方案，方案为：租用9辆B型客车．
平行线的性质与判定
9．（2024春 上城区校级期中）已知，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）有一点M在直线AB，CD之间且在直线EF左侧，连接MG，HM：
①如图2，当∠AGM＝28°，∠MHC＝62°时，求∠GMH的度数；
②如图3，GO是∠AGM的平分线，交CD于点O，HQ是∠MHD的平分线，作HN∥GO．设∠GMH＝α，∠QHN＝β，求α和β满足的数量关系．
【分析】（1）先由邻补角得到∠AGE+∠BGE＝180°，然后结合∠AGE+∠DHE＝180°得到∠BGE＝∠DHE，最后得证AB∥CD；
（2）①先由AB∥CD得到∠AGH+∠CHG＝180°，即∠AGM+∠MGH+∠MHG+∠MHC＝180°，再结合∠MGH+∠MHG+∠GMH＝180°得到∠GMH＝∠AGM+∠MHC，最后结合已知条件得到∠GMH的大小；
②先由①得到∠AGM+∠MHC＝∠GMH＝α，∠MGH+∠MHG＝180°﹣α，然后结合角平分线的定义得到∠MGO和∠MHQ，再结合HN∥OG得到∠GHN＝∠OGH，最后由∠QHN＝∠GHN﹣∠GHQ求得∠QHN的大小，据此即可得解．
【解答】（1）证明：∵∠AGE+∠BGE＝180°，∠AGE+∠DHE＝180°，
∴∠BGE＝∠DHE，
∴AB∥CD．
（2）①解：∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
即∠AGM+∠MGH+∠MHG+∠MHC＝180°，
∵∠MGH+∠MHG+∠GMH＝180°，
∴∠GMH＝∠AGM+∠MHC，
∵∠AGM＝28°，∠MHC＝62°，
∴∠GMH＝90°．
②解：β＝90°α，理由如下，
由①得，∠AGM+∠MHC＝∠GMH＝α，
∵∠AGH+∠CHG＝180°，
∴∠MGH+∠MHG＝180°﹣α，
∵GO、HQ分别平分∠MGA和∠MHD，
∴∠MGO∠MGA，
∠MHQ∠MHD
（180°﹣∠MHC）
＝90°∠MHC，
∴∠OGH＝∠MGO+∠MGH∠MGA+∠MGH，
∵HN∥OG，
∴∠GHN＝∠OGH∠MGA+∠MGH，
∴β＝∠QHN＝∠GHN﹣∠GHQ
＝（∠MGA+∠MGH）﹣（∠MHQ﹣∠MHG）
∠MGA+∠MGH﹣∠MHQ+∠MHG
∠MGA+180°﹣α﹣∠MHQ，
∴β∠MGA+180°﹣α﹣（90°∠MHC）
＝90°﹣α（∠MGA+∠MHC）
＝90°﹣αα
＝90°α．
10．（2024春 西湖区校级期中）已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P．
（1）若∠NMA＝30°，求∠FND的度数．
（2）如图2，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H．
①若∠CPM＝72°，求∠1和∠2的度数．
②若∠2＝n∠1，请直接写出∠CPM的度数（用含n的代数式表示）．
【分析】（1）利用翻折变换的性质和平行线的性质即可求得答案；
（2）①根据平行线性质可得∠AME＝∠CPM＝72°，由平角定义可得∠BMP＝180°﹣∠AME＝108°，再利用翻折变换的性质、平行线的性质即可求得答案．
②由平行线性质可得∠AMN＝∠1，由翻折得∠EMN＝∠AMN＝∠1，推出∠AME＝2∠1，根据翻折得出∠2＝180°﹣4∠1，结合已知∠2＝n∠1，联立求得∠1，再由平行线性质即可求得答案．
【解答】解：（1）如图1，由翻折的性质得：∠NMA＝∠NME＝30°，
∴∠AME＝∠NMA+∠NME＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，FN∥EM，
∴∠EPD＝∠AME，∠FND＝∠EPD，
∴∠END＝∠AME＝60°．
（2）①如图2，∠CPM＝72°，
∵AB∥CD，
∴∠AME＝∠CPM＝72°，
∴∠BMP＝180°﹣∠AME＝108°，
由翻折的性质得：∠NMA＝∠NME∠AME＝36°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠NMA＝36°，
∵继续沿PM进行第二次折叠，
∴∠PMG＝∠BMP＝108°，
∴∠2＝∠PMG﹣∠AME＝108°﹣72°＝36°．
②如图3，
∵AB∥CD，
∴∠AMN＝∠1，
由翻折得∠EMN＝∠AMN＝∠1，
∴∠AME＝2∠1，
∴∠BMP＝180°﹣∠AME＝180°﹣2∠1，
∵继续沿PM进行第二次折叠，
∴∠PMG＝∠BMP＝180°﹣2∠1，
∴∠2＝∠PMG﹣∠AME＝180°﹣2∠1﹣2∠1＝180°﹣4∠1，
∵∠2＝n∠1，
∴180°﹣4∠1＝n∠1，
∴∠1，
∴∠AME＝2∠1，
∵AB∥CD，
∴∠CPM＝∠AME．
11．（2024春 杭州期中）如图1，已知点A，B分别是直线MN，PQ上的点，∠BAN＝45°，且PQ∥MN．
（1）∠PBA的度数为 135° ．
（2）如图2，射线AC以每秒3°的速度绕点A从AM开始顺时针旋转，射线BD以每秒1°的速度绕点B从BP开始顺时针旋转，当射线AC旋转到与AN重合时，两条射线同时停止旋转．
①当0＜t＜45，是否存在t，使得AC∥BD？请说明理由．
②如图3，当t＞45时，射线AC和射线BD交于点G，用含t的代数式表示∠AGB的度数．
③在②的条件上，过点G作GH⊥AG交PQ于点H，在转动过程中，∠BAG与∠BGH的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质求解即可；
（2）①由题意可得∠MAC＝3t，∠PBD＝t，根据AC∥BD，则∠BAC＝∠ABD，即135°﹣3t＝135°﹣t，解得t＝0，再由0＜t＜45，即可得不存在t，使得AC∥BD；
②过点 G作GH∥PQ，则PQ∥MN∥GH，进而得∠HGB＝∠PBD＝t，∠HGA＝∠NAC＝180°﹣3t，于是即可得解；
③由垂直定义得∠AGH＝90°，从而得∠BGH＝2t﹣90°，又∠BAG＝3t﹣135°，即可得 ．
【解答】（1）解：∵∠BAN＝45°，且PQ∥MN，
∴∠PBA＝180°﹣∠BAN＝135°，
故答案为：135°；
（2）解：①不存在t，使得AC∥BD，理由如下：
由题意可得∠MAC＝3t，∠PBD＝t，
∵∠PBA＝135°，
∴∠DBA＝135°﹣t，
∵BAN＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠MAC﹣∠BAN＝135°﹣3t，
∵要使AC∥BD，
∴∠BAC＝∠ABD，即 35°﹣3t＝135°﹣t，
解得t＝0，
∵0＜t＜45，
∴不存在t，使得AC∥BD；
②过点G作GH∥PQ，
∵∠MAC＝3t，∠MAC+∠GAN＝180°，
∴∠GAN＝180°﹣3t，
∵PQ∥MN，GH∥PQ，
∴PQ∥MN∥GH，
∴∠HGB＝∠PBD＝t，∠HGA＝∠NAC＝180°﹣3t，
∴∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝180°﹣3t+t＝180°﹣2t；
③，保持不变，理由如下：
∵GH⊥AG，
∴∠AGH＝90°，
∴∠BGH＝90°﹣∠AGB＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，
∵∠BAG＝3t﹣135°，
∴．
12．（2024春 江干区校级期中）如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，点P是直线CD上的一个动点．
（1）如图1，点P在线段CD上，∠PAC＝30°，∠PBD＝45°，则∠APB＝ 75° ；
（2）如果点P运动到C，D之间时，试探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并说明理由；
（3）若点P在C，D两点的外侧运动时（点P与点C，D不重合），∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生改变？请说明理由．
【分析】（1）过点P作PE∥l1，根据平行线的性质即可得到，∠APE＝∠PAC＝30°，∠BPE＝∠PBD＝45°，根据∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD＝75°，即∠APB＝75°；
（2）过点P作PE∥l1，根据平行线的性质即可得到，∠APE＝∠PAC，∠BPE＝∠PBD，根据∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，可得∠APB＝∠PAC+∠PBD；
（3）根据（1）的方法，过点P作PE∥l1，根据平行线的性质，可得∠APE＝∠PAC，∠PBD＝∠BPE，图2中根据∠APB＝∠APE﹣∠BPE，可得∠PAC＝∠APB+∠PBD；图3中，根据∠APB＝∠BPE﹣∠APE，可得∠PBD＝∠PAC+∠APB．
【解答】解：（1）∠APB＝∠PAC+∠PBD，
如图1，过点P作PE∥l1，
∴∠APE＝∠PAC＝30°，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠BPE＝∠PBD＝45°，
∴∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD＝30°+45°＝75°，
∴∠APB＝∠PAC+∠PBD＝75°；
故答案为：75°；
（2）∠APB＝∠PAC+∠PBD，
如图1，过点P作PE∥l1，
∴∠APE＝∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠BPE＝∠PBD，
∴∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，
∴∠APB＝∠PAC+∠PBD；
（3）不成立，
如图2：
∠PAC＝∠APB+∠PBD，
理由：过点P作PE∥l1，
∴∠APE＝∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠BPE＝∠PBD，
∵∠APB＝∠APE﹣∠BPE＝∠PAC﹣∠PBD，
∴∠PAC＝∠APB+∠PBD；
如图3：
∠PBD＝∠PAC+∠APB，
理由：过点P作PE∥l1，
∴∠APE＝∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠BPE＝∠PBD，
∵∠APB＝∠BPE﹣∠APE＝∠PBD﹣∠PAC，
13．（2024春 西湖区校级期中）如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连结EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A＝40°，∠D＝30°，则∠AED＝ 70 °；
②猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并说明理由．
（2）拓展应用：
如图②，射线FE与AB，CD交于分别交于点E、F，AB∥CD，a，b，c，d分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界），其中区域a，b位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（任写出两种，并直接写出答案）．
【分析】（1）①过E作EF∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥EF∥CD，再根据两直线平行，内错角相等进行计算即可；
②作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等或三角形外角性质，进行计算即可；
（2）根据a，b，c，d分别是被射线FE隔开的4个区域，P是位于四个区域上的点，画出对应的图形，进而得出结论．
【解答】（1）①过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A＝∠AEF＝30°，∠D＝∠DEF＝40°，
∴∠AED＝∠AEF+∠DEF＝∠A+∠D＝70°，
故答案为：70；
②∠AED＝∠A+∠D，
证明：方法一、延长DE交AB于F，如图1，
∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠D，
∴∠AED＝∠A+∠DFA；
∴∠AED＝∠A+∠D．
方法二、过E作EF∥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A＝∠AEF，∠D＝∠DEF，
∴∠AED＝∠AEF+∠DEF＝∠A+∠D；
（2）当P在a区域时，如图3，∠PEB＝∠PFD+∠EPF；
当P点在b区域时，如图4，∠PFD＝∠PEB+∠EPF；
当P点在区域c时，如图5，∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°；
当P点在区域d时，如图6，∠EPF＝∠PEB+∠PFD．
14．（2024春 滨江区校级期中）已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CD∥OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）；
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．
【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数；
（2）如图②，过O点作OF∥CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系；
（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO＝180°，结合角平分线的定义可推出∠OCD＝2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，根据（2）∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣∠AOB，进而推出∠AOB＝∠BO′E′．
【解答】解：（1）∵CD∥OE，
∴∠AOE＝∠OCD＝120°，
∴∠BOE＝360°﹣∠AOE﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣120°＝150°；
（2）∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α．
证明：如图②，过O点作OF∥CD，
∵CD∥O′E′，
∴OF∥O′E′，
∴∠AOF＝180°﹣∠OCD，∠BOF＝∠E′O′O＝180°﹣∠BO′E′，
∴∠AOB＝∠AOF+∠BOF＝180°﹣∠OCD+180°﹣∠BO′E′＝360°﹣（∠OCD+∠BO′E′）＝α，
∴∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α；
（3）∠AOB＝∠BO′E′．
证明：∵∠CPO′＝90°，
∴PO′⊥CP，
∵PO′⊥OB，
∴CP∥OB，
∴∠PCO+∠AOB＝180°，
∴2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，
∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCD＝2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，
∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α＝360°﹣∠AOB，
∴360°﹣2∠AOB+∠BO′E′＝360°﹣∠AOB，
∴∠AOB＝∠BO′E′．
15．（2024春 滨江区校级期中）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若三角板如图1摆放时，则∠α＝ 15° ，∠β＝ 150° ；
（2）现固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，DF与PQ交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线交于点H，求∠FHG的度数；
（3）现固定△DEF，将△ABC绕点A顺时针旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，则∠BAM＝ 30°或90°或120° ．（直接写出答案）
【分析】（1）根据平行线的性质和三角板的角的度数解答即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
（3）分当BC∥DE时，当BC∥EF时，当BC∥DF时，三种情况进行解答即可．
【解答】解：（1）∵PQ∥MN，
∴∠E＝∠α+∠BAC，
∴α＝∠E﹣∠BAC＝60°﹣45°＝15°，
∵E、C、A三点共线，
∴∠β＝180°﹣∠DFE＝180°﹣30°＝150°；
故答案为：15°；150°；
（2）∵PQ∥MN，
∴∠GEF＝∠CAB＝45°，
∴∠FGQ＝75°，
∵GH，FH分别平分∠FGQ和∠GFA，
∴∠FGH＝37.5°，∠GFH＝75°，
∴∠FHG＝67.5°；
（3）当BC∥DE时，如图1，
∵BC∥DE，DE⊥DF，BC⊥AC，
∴DF∥AC，
∴∠CAE＝∠DFE＝30°，
∴∠BAM+∠BAC＝∠MAE+∠CAE，
∠BAM＝∠MAE+∠CAE﹣∠BAC＝45°+30°﹣45°＝30°；
当BC∥EF时，如图2，
此时∠BAE＝∠ABC＝45°，
∴∠BAM＝∠BAE+∠EAM＝45°+45°＝90°；
当BC∥DF时，如图3，
此时，AC∥DE，∠CAN＝∠DEG＝15°，
∴∠BAM＝∠MAN﹣∠CAN﹣∠BAC＝180°﹣15°﹣45°＝120°．
综上所述，∠BAM的度数为30°或90°或120°．
故答案为：30°或90°或120°．
16．（2024春 拱墅区校级期中）如图，已知AD∥BC，∠A＝∠C．
（1）如图1，试说明：AB∥CD；
（2）如图2，连接BD，若点E，F在线段AB上，且满足DB平分∠FDC，DE平分∠ADF，∠A＝∠C＝110°，求∠EDB的度数；
（3）下列①﹣③的问题，对应分值分别为4分、5分、6分，请根据你的认知水平，选择其中一个问题作答，解答对多个问题，按分值最高的一个问题记分．
①如图2，在（2）的条件下，若∠A＝∠C＝x°，求∠EDB的度数；（用含x的代数式表示）．
②如图3，在（2）的条件下，将线段BC沿着射线AB的方向向右平移，当DF平分∠EDB时，若∠A＝∠C＝x°，求∠AED的度数；（用含x的代数式表示）
③如图3，在（2）的条件下，将线段BC沿着射线AB的方向向右平移，当∠AED＝∠CBD时，若∠A＝∠C＝x°，求∠ABD的度数．（用含x的代数式表示）
【分析】（1）利用两直线平行的判定和性质；
（2）利用角平分线的性质；
（3）①利用角平分线的性质；②证明DE、DF、DB是∠ADC的四等分线；③证明DE、DF、DB是∠ADC的四等分线．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AB∥CD．
（2）解：∵∠A＝110°，
∴∠ADC＝70°，
∵DE平分∠ADF，
∴∠EDFADF，
∵DB平分∠FDC，
∴∠FDB＝∠BDC，
∴∠EDB＝∠EDF+∠FDBADFFDC（∠ADF+∠FDC）ADC＝35°．
（3）解：①∵∠A＝x°，
∴∠ADC＝（180﹣x）°，
∵DE平分∠ADF，
∴∠EDFADF，
∵DB平分∠FDC，
∴∠FDB＝∠BDC，
∴∠EDB＝∠EDF+∠FDBADFFDC（∠ADF+∠FDC）ADC＝（90）°．
②∵∠A＝x°，
∴∠ADC＝（180﹣x）°，
∵DE平分∠ADF，
∴∠EDFADF，
∵DB平分∠FDC，
∴∠FDB＝∠BDC，
∵DF平分∠EDB，
∴∠FDB＝∠EDFEDB，
∴∠FDB＝∠EDF＝∠ADE＝∠BDC，
∴∠EDC∠ADC（180﹣x）°
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠EDC∠ADC（180﹣x）°．
③∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠EDC＝∠EDB+∠BDC，
∵AD∥BD，
∴∠CBD＝∠ADB＝∠ADE+∠EDB，
∴∠ADE＝∠BDC，
∴∠ADE＝∠EDF＝∠FDB＝∠DBC，
∴∠BDC∠ADC，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴∠ABD（180﹣x）°＝（45）°．
整式的乘法
17．（2024春 拱墅区校级期中）（1）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
①请你检验这个等式的正确性．
②若a＝2023，b＝2024，c＝2025，求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．
（2）利用我们学过的知识，尝试解决问题：若a2+b2+c2＝89，a+b+c＝9，求出ab+bc+ac的值．
【分析】（1）①根据完全平方公式进行计算；
②将a＝2020，b＝2021，c＝2022代入求值；
（2）根据完全平方公式进行计算．
【解答】解：（1）①等式右边（a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2），
2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac），
＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝等式左边．
∴等式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]成立．
＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac．
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]．
②由（1）得，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]．
当a＝2023，b＝2024，c＝2025时，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝][（﹣1）2+（﹣1）2+22]＝3．
（3）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴ab+bc+ac[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]（81﹣89）＝﹣4．
18．（2024春 萧山区期中）美术课上，老师让同学们用彩色卡纸玩拼图的游戏，小芳同学拿着如图①所示的红色长方形卡纸，卡纸长为2a，宽为2b，她沿图中虚线平均分成四个小长方形，然后按照图②的方式拼成一个正方形，中间的空缺处（阴影部分）用黄色卡纸进行拼接．
（1）需要黄色卡纸的边长为 a﹣b ；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示黄色卡纸的面积：
方法一 （a﹣b）2 ；
方法二 （a+b）2﹣4ab ；
（3）观察图②直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系式 （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ；
（4）根据（3）中的等量关系解决下列问题：若a+b＝6，ab＝7，求（a﹣b）2的值．
【分析】（1）观察图形很容易得出图②中的阴影部分的正方形的边长等于a﹣b；
（2）①求出小正方形的边长，②运用大正方形的面积减去四个矩形的面积．
（3）观察图形可知大正方形的面积（a+b）2，减去阴影部分的正方形的面积（a﹣b）2等于四块小长方形的面积4mn，即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（4）由（3）很快可求出（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×7＝8．
【解答】解：（1）根据图形可观察出：边长为a﹣b；
故答案为：a﹣b；
（2）①小正方的边长为a﹣b，面积可表示为：（a﹣b）2，
大正方形的面积为：（a+b）2，
四个矩形的面积和为4ab，
所以小正方形面积可表示为：（a+b）2﹣4ab；
故答案为：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab；
（3）由题意得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（4）由（3）很快可求出（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×7＝8．
19．（2024春 江干区校级期中）如图，边长为a、b（a＞b）的正方形紧贴摆放．设阴影面积为S．
（1）如图1，S的值是否与a有关？请说明理由；
（2）如图2，若a+b＝10，ab＝21，求S的值；
（3）如图3，若a﹣b＝2，a2+b2＝7，求S2的值．
【分析】（1）利用两个正方形的面积减去空白部分的面积列式即可；
（2）把a+b＝10，ab＝21，整体代入S的代数式求得数值即可；
（3）首先将S进行平方，然后根据完全平方公式得出各式的值代入即可得出答案．
【解答】解：（1）S的值与a无关，理由如下：由题意知：
，
∴S的值与a无关．
（2）（2）∵a+b＝10，ab＝21，
∴
；
（3），
∴，
∵a﹣b＝2，a2+b2＝7，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4，
∴，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝10，
∴．
20．（2024春 江干区校级期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1： a2+b2 ；
方法2： （a+b）2﹣2ab ．
（2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值；
②已知（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝44，求（x﹣2023）2的值．
【分析】（1）方法1：根据“阴影部分的面积＝边长a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积”即可得出答案；
方法2：根据“阴影部分的面积＝边长为（a+b）的正方形﹣2×边长为a，b的长方形”即可得出答案；
（2）由（1）计算的结果即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（2）①由（2）的结果得m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，则2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2），将m+n＝5，m2+n2＝20代入计算即可得出mn的值；根据m2+n2＝20，2mn＝5得m2+n2﹣2mn＝15，由此可得（m﹣n）2的值；
②设x﹣2022＝a，x﹣2024＝b，则a+b/2＝x﹣2023，a﹣b＝2，进而由（a﹣b）2＝4得2ab＝a2+b2﹣4，根据（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝44得a2+b2＝44，继而得2ab＝40，然后根据（x﹣2023）2即可得出答案．
【解答】解：（1）方法1：∵阴影部分的面积＝边长a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积，
∴阴影部分部分的面积为：a2+b2；
方法2：∵阴影部分的面积＝边长为（a+b）的正方形的面积﹣2×边长为a，b的长方形的面积，
∴阴影部分的面积为：（a+b）2﹣2ab；
故答案为：a2+b2；（a+b）2﹣2ab；
（2）由（1）可知：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（2）①由（2）可知：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn；
∴2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2），
∵m+n＝5，m2+n2＝20，
∴2mn＝52﹣20＝5，
∴mn＝2.5；
∵m2+n2＝20，2mn＝5，
∴m2+n2﹣2mn＝15，
∴（m﹣n）2＝15；
②设x﹣2022＝a，x﹣2024＝b，
∴x﹣2023，a﹣b＝2，
∴（a﹣b）2＝4，
∴2ab＝a2+b2﹣4，
∵（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝44，
∴a2+b2＝44，
∴2ab＝44﹣4＝40，
∵x﹣2023，
∴（x﹣2023）221．
21．（2024春 西湖区校级期中）有一个边长为a+b的正方形，按图1切割成4个小方块，b2，ab，ab，a2分别为4个小方块的面积．
（1）请用图中所给图形的边长与面积，表示其中的等量关系 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ．
（2）利用（1）中的结论解决：若a+b＝7，ab＝12，则a2+b2＝ 25 ，a﹣b＝ ﹣1 ．
（3）如图2所示，C线段BG的一点，以BC，CG为边向上下两侧作正方形ABCD，正方形CEFG，两正方形的面积分别记为S1和S2，若BG＝6，两正方形的面积和S1+S2＝20，求图中阴影部分面积．
（4）若实数x满足（x﹣2）2+（8﹣x）2＝24，求代数式（x﹣2）（8﹣x）的值．
【分析】（1）根据4个小方块的面积与大正方形的面积相等求解即可；
（2）根据（1）中的结论，利用完全平方公式的变形求解即可；
（3）设BC＝m，CG＝n，依题意，m+n＝6，m2+n2＝20，连接AC，根据S阴影部分＝S△AEC+S△ACG，即可求解；
（4）设x﹣2＝a，8﹣x＝b，根据（x﹣2）2+（8﹣x）2＝24，得出a+b＝x﹣2+8﹣x＝6，a2+b2＝24，利用完全平方公式的变形即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：（a+b）2＝a2+b2+ab+ab＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝72＝49，
又∵ab＝12，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝49﹣24＝25，
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝25﹣24＝1，
∴a﹣b＝±1；
（3）设BC＝m，CG＝n，依题意，m+n＝6，m2+n2＝20，
连接AC，
∴阴影部分面积为，
∴；
（4）设x﹣2＝a，8﹣x＝b，
∵（x﹣2）2+（8﹣x）2＝24，
∴a+b＝x﹣2+8﹣x＝6，a2+b2＝24，
∴（x﹣2）（8﹣x）＝ab
＝6．
22．（2024春 滨江区校级期中）完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题
例如：若a+b＝2，ab＝1，求a2+b2的值．
解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×1＝2．
根据以上信息回答下列问题：
（1）若m+n＝4，m2+n2＝25，求mn的值；
（2）若a2+4b2＝11，ab＝﹣5，求a﹣2b的值；
（3）如图，长方形ABCD的面积为6，BC＞2AB．在长方形ABCD外分别以BC，AD为边作正方形BCQP和正方形ADNM，在长方形ABCD内以AB，CD为边分别作正方形CDEF和正方形ABGH．若阴影部分的周长为38，求阴影部分的面积．
【分析】（1）直接利用完全平方公式的变形求解即可；
（2）先得到（a﹣2b）2＝a2+4b2﹣4ab＝31，再利用平方根的含义解方程即可；
（3）设长方形ABCD的长AD＝a，宽AB＝b，可得ab＝6，8a+4b＝38，进而可得4a+2b＝19，再利用完全平方公式求得4a﹣2b＝13，再求解a，b的值，从而可得答案．
【解答】解：（1）∵m+n＝4，m2+n2＝25，
∴；
（2）∵a2+4b2＝11，ab＝﹣5，
∴（a﹣2b）2＝a2+4b2﹣4ab＝11﹣4×（﹣5）＝31，
∴；
（3）设长方形ABCD的长AD＝a，宽AB＝b，
∴ab＝6，
∵正方形BCQP和正方形ADNM，正方形CDEF和正方形ABGH，阴影部分的周长为38，
∴8a+4b＝38，即4a+2b＝19①，
∴（4a﹣2b）2＝（4a+2b）2﹣32ab＝169，
∵4a﹣2b＞0，
∴4a﹣2b＝13②，
由①②可得a＝4，b，
阴影部分的面积为：2（a2+b2）＝2×（16）．
23．（2024春 上城区校级期中）阅读材料：若满足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．
解：设8﹣x＝a，x﹣6＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2．
所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．
请仿照上例解决下面的问题：
（1）问题发现：若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）类比探究：若x满足（2022﹣x）2+（2021﹣x）2＝2020．求（2022﹣x）（2021﹣x）的值；
（3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．
【分析】（1）设3﹣x＝a，x﹣2＝b，则ab＝﹣10，a+b＝1，由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝21；
（2）设2022﹣x＝a，2021﹣x＝b，则a﹣b＝1，a2+b2＝2020，由完全平方公式可得ab；
（3）设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，所以正方形MFNP的面积为（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝900．
【解答】解：（1）设3﹣x＝a，x﹣2＝b，则a+b＝（3﹣x）+（x﹣2）＝1，
由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣10）＝21，
即：（3﹣x）2+（x﹣2）2的值为21；
（2）设2022﹣x＝a，2021﹣x＝b，则a﹣b＝1，a2+b2＝2020，
由完全平方公式可得ab，
即：（2022﹣x）（2021﹣x）的值为；
（3）设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，
又由ab＝200，
∴正方形MFNP的面积为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×200＝900．
24．（2024春 萧山区期中）【阅读材料】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．比如：我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了图1的等式：（2a+b）（a+b）＝2a2+b2+3ab．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
（1）由图3可得等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ；
（2）如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则可以拼成的正方形中边长最长为 a+2b ．
（3）利用图2得到的结论，解决问题：
若实数x、y、z满足2x×4y×8z＝4，x2+4y2+9z2＝44，求2xy+3xz+6yz的值．
【分析】（1）用两种不同的方法表示出大正方形的面积，即可得出结论；
（2）利用完全平方公式进行求解即可；
（3）根据2x×4y×8z＝4，得出x+2y+3z＝2，根据（x+2y+3z）2＝x2+4y2+9z2+4xy+6xz+12yz，得出2（2xy+3xz+6yz）＝（x+2y+3z）2﹣（x2+4y2+9z2），代入数据求值即可．
【解答】解：（1）由图2知，大正方形的面积＝（a+b+c）2，
大正方形的面积＝3个边长分别为a、b、c的正方形的面积+2个长和宽分别为a、b小长方形的面积+2个长和宽分别为a、c小长方形的面积+2个长和宽分别为b、c小长方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）∵有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为ab的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片，
又∵（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，
∴从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形，可以拼成的正方形的最大边长为a+2b．
故答案为：a+2b．
（3）∵2x×4y×8z＝4，
∴2x×（22）y×（23）z＝22，
2x×22y×23z＝22，
2x+2y+3z＝22，
∴x+2y+3z＝2，
∵（x+2y+3z）2＝x2+4y2+9z2+4xy+6xz+12yz，
∴4xy+6xz+12yz＝（x+2y+3z）2﹣（x2+4y2+9z2），
即2（2xy+3xz+6yz）＝（x+2y+3z）2﹣（x2+4y2+9z2），
∵x2+4 y2+9 z2＝44，
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省杭州市2025年期中复习压轴真题分类训练卷
二元一次方程组
1．（2024春 萧山区期中）已知关于x，y的二元一次方程组．
（1）请直接写出方程2x+y﹣6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x﹣y＝0，求m的值；
（3）无论数m取何值，方程2x﹣2y+my+8＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解．
2．（2024春 拱墅区校级期中）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”，
（1）方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由；
（2）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值：
（3）未知数为x，y的方程，其中a与x、y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由．
3．（2024春 滨江区校级期中）已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）一辆A型车和一辆B型车装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案．
（3）若A型车每辆租金1000元/次，B型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费．
4．（2024春 杭州期中）踏春时节，某班学生集体组织亲子游，沿着瓯江口樱花步道骑自行车，该班学生花了950元租了若干辆自行车，已知自行车的类型和租车价格如表：
自行车类型 A型车 B型车 C型车
座位数（个） 2 3 4
租车价格（元/辆） 30 45 55
（1）若同时租用B、C两种类型的车，且共有65个座位，则应租B、C类型车各多少辆？
（2）若B型车租4辆，余下的租用A型和C型，要求每种车至少租用1辆，请你帮他们设计A型车和C型车的租车方案．
（3）若同时租用这三类车，且每种车至少租用1辆，则最多能租到 个座位（直接写出答案）．
5．（2024春 上城区校级期中）某市生产的洋葱品质好、干物质含量高且耐储存，因而受到国内外客商青睐．现欲将一批洋葱运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋葱一次可运走11吨．现有洋葱31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋葱．根据以上信息，解答问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
6．（2024春 西湖区校级期中）根据如表素材，探索完成任务．
背景 为了迎接2024年杭州茶文化“西湖悦读节”，某班级开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的 ．则其中B型加料的奶茶买了多少杯？
7．（2024春 拱墅区校级期中）请同学们根据以下表格中的素材以、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三．
如何合理搭配消费券？
素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺 你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：材材A型消费券（满35减15元）3张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张．
素材二 消费券满减规则：按实际消费金额，达到满减金额的部分，可使用消费券；已享受满减的那部分金额不可再叠加使用其他消费券，如：消费193元，如果使用1张C型消费券，已经享受满减的158元的这部分，不可再叠加使用其他消费券，剩余的35元可以使用1张A型消费券．
素材三 在此次活动中，小观一家4人每人都领到了所有的消费券．某日小观一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务．
任务一 若小观一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了 张C型的消费券，此时减券前的消费金额最少为 元．
任务二 若小观一家用13张A，B，C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各多少张？
任务三 若小观一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得付款额最少，并求出此时消费券的搭配方案．
8．（2024春 上城区校级期中）
生活中的数学：确定最省钱的租车方案
素材一 平安租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，下表是公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量租用B型客车数量租金总费用323800133600
素材二 A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位．
素材三 钱学森学校七八年级师生共485人前往国家版本馆游学，交通费支出预算为9000元．
任务一 根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号客车每辆的租金分别是多少元．
任务二 钱学森学校本次游学准备租用平安租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案．
任务三 是否存在租车费用不超过预算的租车方案？如果有，请写出该方案；如果不存在，请计算至少要追加的预算金额．
平行线的性质与判定
9．（2024春 上城区校级期中）已知，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）有一点M在直线AB，CD之间且在直线EF左侧，连接MG，HM：
①如图2，当∠AGM＝28°，∠MHC＝62°时，求∠GMH的度数；
②如图3，GO是∠AGM的平分线，交CD于点O，HQ是∠MHD的平分线，作HN∥GO．设∠GMH＝α，∠QHN＝β，求α和β满足的数量关系．
10．（2024春 西湖区校级期中）已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P．
（1）若∠NMA＝30°，求∠FND的度数．
（2）如图2，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H．
①若∠CPM＝72°，求∠1和∠2的度数．
②若∠2＝n∠1，请直接写出∠CPM的度数（用含n的代数式表示）．
11．（2024春 杭州期中）如图1，已知点A，B分别是直线MN，PQ上的点，∠BAN＝45°，且PQ∥MN．
（1）∠PBA的度数为 ．
（2）如图2，射线AC以每秒3°的速度绕点A从AM开始顺时针旋转，射线BD以每秒1°的速度绕点B从BP开始顺时针旋转，当射线AC旋转到与AN重合时，两条射线同时停止旋转．
①当0＜t＜45，是否存在t，使得AC∥BD？请说明理由．
②如图3，当t＞45时，射线AC和射线BD交于点G，用含t的代数式表示∠AGB的度数．
③在②的条件上，过点G作GH⊥AG交PQ于点H，在转动过程中，∠BAG与∠BGH的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
12．（2024春 江干区校级期中）如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，点P是直线CD上的一个动点．
（1）如图1，点P在线段CD上，∠PAC＝30°，∠PBD＝45°，则∠APB＝ ；
（2）如果点P运动到C，D之间时，试探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并说明理由；
（3）若点P在C，D两点的外侧运动时（点P与点C，D不重合），∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生改变？请说明理由．
13．（2024春 西湖区校级期中）如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连结EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A＝40°，∠D＝30°，则∠AED＝ °；
②猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并说明理由．
（2）拓展应用：
如图②，射线FE与AB，CD交于分别交于点E、F，AB∥CD，a，b，c，d分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界），其中区域a，b位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（任写出两种，并直接写出答案）．
14．（2024春 滨江区校级期中）已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CD∥OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）；
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．
15．（2024春 滨江区校级期中）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若三角板如图1摆放时，则∠α＝ ，∠β＝ ；
（2）现固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，DF与PQ交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线交于点H，求∠FHG的度数；
（3）现固定△DEF，将△ABC绕点A顺时针旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，则∠BAM＝ ．（直接写出答案）
16．（2024春 拱墅区校级期中）如图，已知AD∥BC，∠A＝∠C．
（1）如图1，试说明：AB∥CD；
（2）如图2，连接BD，若点E，F在线段AB上，且满足DB平分∠FDC，DE平分∠ADF，∠A＝∠C＝110°，求∠EDB的度数；
（3）下列①﹣③的问题，对应分值分别为4分、5分、6分，请根据你的认知水平，选择其中一个问题作答，解答对多个问题，按分值最高的一个问题记分．
①如图2，在（2）的条件下，若∠A＝∠C＝x°，求∠EDB的度数；（用含x的代数式表示）．
②如图3，在（2）的条件下，将线段BC沿着射线AB的方向向右平移，当DF平分∠EDB时，若∠A＝∠C＝x°，求∠AED的度数；（用含x的代数式表示）
③如图3，在（2）的条件下，将线段BC沿着射线AB的方向向右平移，当∠AED＝∠CBD时，若∠A＝∠C＝x°，求∠ABD的度数．（用含x的代数式表示）
整式的乘法
17．（2024春 拱墅区校级期中）（1）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
①请你检验这个等式的正确性．
②若a＝2023，b＝2024，c＝2025，求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．
（2）利用我们学过的知识，尝试解决问题：若a2+b2+c2＝89，a+b+c＝9，求出ab+bc+ac的值．
18．（2024春 萧山区期中）美术课上，老师让同学们用彩色卡纸玩拼图的游戏，小芳同学拿着如图①所示的红色长方形卡纸，卡纸长为2a，宽为2b，她沿图中虚线平均分成四个小长方形，然后按照图②的方式拼成一个正方形，中间的空缺处（阴影部分）用黄色卡纸进行拼接．
（1）需要黄色卡纸的边长为 ；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示黄色卡纸的面积：
方法一 ；
方法二 ；
（3）观察图②直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系式 ；
（4）根据（3）中的等量关系解决下列问题：若a+b＝6，ab＝7，求（a﹣b）2的值．
19．（2024春 江干区校级期中）如图，边长为a、b（a＞b）的正方形紧贴摆放．设阴影面积为S．
（1）如图1，S的值是否与a有关？请说明理由；
（2）如图2，若a+b＝10，ab＝21，求S的值；
（3）如图3，若a﹣b＝2，a2+b2＝7，求S2的值．
20．（2024春 江干区校级期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1： ；
方法2： ．
（2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值；
②已知（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝44，求（x﹣2023）2的值．
21．（2024春 西湖区校级期中）有一个边长为a+b的正方形，按图1切割成4个小方块，b2，ab，ab，a2分别为4个小方块的面积．
（1）请用图中所给图形的边长与面积，表示其中的等量关系 ．
（2）利用（1）中的结论解决：若a+b＝7，ab＝12，则a2+b2＝ ，a﹣b＝ ．
（3）如图2所示，C线段BG的一点，以BC，CG为边向上下两侧作正方形ABCD，正方形CEFG，两正方形的面积分别记为S1和S2，若BG＝6，两正方形的面积和S1+S2＝20，求图中阴影部分面积．
（4）若实数x满足（x﹣2）2+（8﹣x）2＝24，求代数式（x﹣2）（8﹣x）的值．
22．（2024春 滨江区校级期中）完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题
例如：若a+b＝2，ab＝1，求a2+b2的值．
解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×1＝2．
根据以上信息回答下列问题：
（1）若m+n＝4，m2+n2＝25，求mn的值；
（2）若a2+4b2＝11，ab＝﹣5，求a﹣2b的值；
（3）如图，长方形ABCD的面积为6，BC＞2AB．在长方形ABCD外分别以BC，AD为边作正方形BCQP和正方形ADNM，在长方形ABCD内以AB，CD为边分别作正方形CDEF和正方形ABGH．若阴影部分的周长为38，求阴影部分的面积．
23．（2024春 上城区校级期中）阅读材料：若满足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．
解：设8﹣x＝a，x﹣6＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2．
所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．
请仿照上例解决下面的问题：
（1）问题发现：若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）类比探究：若x满足（2022﹣x）2+（2021﹣x）2＝2020．求（2022﹣x）（2021﹣x）的值；
（3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．
24．（2024春 萧山区期中）【阅读材料】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．比如：我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了图1的等式：（2a+b）（a+b）＝2a2+b2+3ab．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
（1）由图3可得等式： ；
（2）如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则可以拼成的正方形中边长最长为 ．
（3）利用图2得到的结论，解决问题：
若实数x、y、z满足2x×4y×8z＝4，x2+4y2+9z2＝44，求2xy+3xz+6yz的值．
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