5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 学案

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质
【学习目标】
通过观察正余弦函数的图象，了解三角函数的周期性，并能用数学符号语言进行描述和解释，培养数学抽象的核心素养；
2.通过观察图象，直观理解奇偶性，并能正确确定相应的对称轴和对称中心，提升直观想象的核心素养；
3.通过小组合作，师生探究，说出正余弦函数的奇偶性，单调性和最值，会求常见三角函数的的周期，提升数学运算的核心素养.
【学习重难点】
1.通过观察正余弦函数的图象，了解三角函数的周期性，并能用数学符号语言进行描述和解释，培养数学抽象的核心素养。
2.通过观察图象，直观理解奇偶性，并能正确确定相应的对称轴和对称中心，提升直观想象的核心素养。
【评价任务】
1.完成问题1，问题2，问题3：检测目标（1）是否达成；
2.完成问题4，问题5，问题6：检测目标（2）是否达成；
3.完成例1，变式训练：检测目标（3）是否达成．
【学习过程】
环节一 创设情境，提出问题
1.通过前期对指数函数、对数函数的学习，你知道对函数性质的研究的一般思路吗？
【问题1】类比以往对函数性质的研究，思考本节课可研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？
【追问1】：通过上一节，利用单位圆构建正余弦函数图象过程中，观察单位圆上点的纵坐标和横坐标的变化规律，思考正、余弦函数除了这些性质之外，还有其他特别之处吗？
【阅读资料】如果现在是早上9点钟,问你:24小时以后是几点钟 你会毫不犹豫地回答:还是早上9点钟.因为你很清楚,0点、1点、2点、3点……23点,每隔24小时就重复出现一次,如果今天是星期一,问你:7天以后是星期几 你也会回答:还是星期一.因为你很清楚,星期一、星期二……星期天,每隔7天就重复出现一次.相同的间隔重复出现的现象称为周期现象,如“24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象.自然界中有很多周期现象,如日出日落、月圆月缺、四季交替等.
【追问2】正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢 根据正（余）弦函数图象或者单位圆的坐标特点，推测一下周期是多少？
环节二 小组合作，探索交流
1．函数的周期性
【探究1】观察f(x)的部分图象,函数图象每相隔多少个单位重复出现 小组讨论，并归纳得出对于f(x)始终有什么规律，能否写出f(x)的一个规律式子呢？
【问题1】由诱导公式一:sin(x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x. 结合正(余)弦函数图象以及表达式f(x)=sin x，g(x)=cos x能否写出类似的规律式子？
【阅读课本P201页有关周期性的概念】
【说一说】你对一般函数周期的定义的理解，并根据定义阐述一下正（余）弦函数的周期的推理.
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做周期函数．______________叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_______的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．
【问题2】正余弦函数周期的推理：
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2．正弦、余弦函数的周期性
由上可得，正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是________函数，_______(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为_______.在后续的学习中，如果不加特别说明，那么所涉及的周期，一般都是指函数的最小正周期.最小正周期是最具有代表性的一个周期，但不是每个周期函数都存在最小正周期.
【注意】对周期函数的三点说明
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．
(3)并非所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝C(C为常数，x∈R)，所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正周期．
【问题3】我们知道，sin（+）=sin（），sin（+）=sin，sin（+）=sin，…，那么是正弦函数y=sin x的一个周期吗？为什么？从函数值变化的角度解释：为什么可以说2kπ（k∈Z）是正弦函数的周期？
3.正弦、余弦函数的奇偶性
【问题4】观察正弦曲线和余弦曲线，它们关于原点或y轴对称吗？具有奇偶性吗？
【追问】你可以通过代数思想加以推理么？
【思考】判断函数的奇偶性的步骤？判断函数的奇偶性还有什么方法？
【问题5】知道一个函数具有周期性和奇偶性, 对研究它的图象与性质有什么帮助
环节三 例题练习，巩固理解
例1：求下列三角函数的最小正周期:
(1)y=3sin x,x∈R; (2)y=cos 2x,x∈R; (3)y=2sin(),x∈R;
【探究2】：回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中的哪些量有关吗？通过小组讨论，并加以小结.
环节四 小结提升，形成结构
1.本节课学习的正弦函数、余弦函数的性质有哪些？
2.在学习正弦函数，余弦函数性质过程中我们学习了哪些数学思想方法呢？
3.通过本节课的学习，你发展了哪些数学素养呢？
【反馈练习】
A组
1．下列函数中，周期为的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝sin 2x C．y＝cos D．y＝cos 4x
2．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
3．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是(　　)
A．f(x)是周期为1的奇函数 B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数 D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
4．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为________．
B组
1.下列函数中，最小正周期为π的是（ ）
A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=sin
2.下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A． B．
C． D．
3.函数（ ）
A．是奇函数，也是周期函数； B．是奇函数，不是周期函数；
C．是偶函数，也是周期函数； D．是偶函数，不是周期函数.
4.（多选）下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
5.写出一个最小正周期为1的偶函数______．
【学后反思】
1.通过本节课的学习你学到了哪些知识？
2.你体会到了哪些数学思想、解题方法？
3.需要老师提供什么帮助？
4.你有什么好的经验可以和大家一起分享？你对本学历案有什么建议和意见，都可以写在最后的空白区域.
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