2025年四川省自贡市中考数学模拟试卷2（含解析）

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2025年四川省自贡市中考数学模拟试卷2
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．最新数据显示，目前全世界人口总数约为亿，中国是世界第一人口大国，约为人．请将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．中国古代的数学研究成果辉煌，产生的一些数学名词，颇有趣味．如《九章算术》中的“刍童”，原指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，它的主视图和左视图如图所示，则其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，某人沿路线行走，与方向相同，，则（ ）

A． B． C． D．
5．已知点，，则和满足（　　）
A．关于y轴对称 B．直线过原点 C．关于x轴对称 D．
6．下列交通标志的图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．水中捞月 B．旭日东升 C．守株待兔 D．夕阳西下
8．如图，是内接三角形，是中点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，若、分别垂直平分、，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为x（小时）两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系的图象大致如图所示，则下列说法错误的是（ ）
①动车的速度是270千米/小时；
②点B的实际意义是两车出发后3小时相遇；
③甲、乙两地相距1000千米；
④普通列车从乙地到达甲地时间是9小时．
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
11．若抛物线经过第一，二，三，四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，正方形中，点E是边上的动点，作于点F，交于点H，交于点G，设，有下列结论：①；②③当时，；④当时，．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．化简的结果为 ．
14．计算： ．
15．已知，则 ．
16．经过某十字路口的汽车，可能直行，可能向左转，可能向右转，如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时，三辆车都向左转的概率为 ．
17．如图，矩形纸片中，，，在矩形中剪下一个扇形和一个圆形，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥的表面，则纸片剩下部分（阴影部分）的面积为 ．
18．如图，在四边形中，，，，为边上的一个动点，连接，过点作，垂足为，在上截取，在四边形内存在一点，使得的面积最小，则的最小面积为 ．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．（1）计算：．
（2）求不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解．
20．已知：如图，在平行四边形中，点E、F在AC上，且．求证：．
21．某中学有若干套桌凳需要修理．现有甲、乙两人，甲每天修桌凳套，乙每天修桌凳比甲多套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用天，学校每天付甲元修理费，付乙元修理费．
(1)问该中学有多少套桌凳需要修理？
(2)在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校每天付他元监督费，现有三种修理方案；
由甲单独修理；由乙单独修理；甲、乙合作同时修理．
你认为哪种方案更省钱？为什么？
22．“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了书法，绘画，舞蹈，乐器，武术共五类兴趣班．为了解学生对这五类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．
(1)本次抽取调查的学生共有______人，______，并补全条形统计图；
(2)估计该校2600名学生中喜爱“乐器”兴趣班的人数约为______人；
(3)九（1）班有王红和李明等五人参加了“乐器”兴趣班，在班级联欢会上，班主任从他们中随机抽取两人上台共奏一曲，请用“列表法”或“画树状图法”，求出王红和李明至少有一人参与演奏的概率．
23．如图，是的直径，是上半圆的弦，过点C作的切线交的延长线于点E，且于D，与交于点F．
(1)判断是否是的平分线？并说明理由；
(2)连接与交于点G，当时，求切线的长．
24．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点在轴正半轴上，点，连接，四边形为菱形．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)在直线上是否存在点，且，若存在求点的坐标，若不存，请说明理由．
25．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．
(1)求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；
(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度，完成这项工程需填筑土石方多少立方米？（参考数据：，）
26．如图1所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最小值．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标；
(3)若直线与（1）中所求的抛物线交于M、N两点．
①问：是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
②猜想当时，请直接写出a的取值范围．
参考答案
1．【考点】绝对值的意义、用数轴上的点表示有理数
【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断．
解：∵，，，，，
∴与原点距离最近的是1，
故选：B．
2．【考点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数就是把一个数写成的形式，其中，的指数与小数点移动的位数有关．
解：．
故选：B ．
3．【考点】判断简单几何体的三视图
【分析】本题考查了三视图的特点，掌握立体图形三视图的特点，数形结合分析是解题的关键．
根据立体图形的特点，结合三视图分析即可，能看到的线用实线，不能看到的，但存在的线用虚线表示．
解：俯视图是
，
故选：D ．
4．【考点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】证明，利用平行线的性质即可得到答案．
解：与方向相同，
，
，
，
．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
5．【考点】坐标与图形、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，根据和横坐标相同，纵坐标互为相反数可知和都在直线上，且二者关于x轴对称，进而可得，据此可得答案．
解：∵，，
∴和都在直线上，且二者关于x轴对称，
∴直线不过原点，，
故选：C．
6．【考点】中心对称图形的识别
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕某个点旋转后，这个图形可以与自身重合，这个图形就是中心对称图形，解决本题的关键是根据中心对称图形的定义进行判断．
解：A选项，是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B选项：是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C选项：是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D选项：不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：D ．
7．【考点】事件的分类
【分析】本题考查了事件分类，熟悉必然事件、不可能事件和随机事件的定义是解题的关键．
必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．根据各类的定义来区分判断即可，
解：A、水中捞月是不可能事件，故此选项不符合题意；
B、旭日东升是必然事件，故此选项不符合题意；
C、守株待兔是随机事件，故此选项符合题意；
D、夕阳西下是必然事件，故此选项不符合题意；
故选：C．
8．【考点】同弧或等弧所对的圆周角相等、圆周角定理
【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
连接，根据圆周角定理可得，从而得到，即可求解．
解：如图，连接，
∵是中点，，
∴，
∴，
∴．
故选：C
9．【考点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、线段垂直平分线的性质
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理等考点，熟练掌握线段垂直平分线的性质及等边对等角是解题的关键．
由线段垂直平分线的性质可得，，由等边对等角可得，，由三角形的内角和定理可得，于是得解．
解：、分别垂直平分、，
，，
，，
，
故选：．
10．【考点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：①普通列车的速度是（千米小时），
设动车的速度为千米小时，
根据题意，得：，
解得：，
动车的速度为250千米小时，
故①错误；
②如图，出发后3小时，两车之间的距离为0，可知点的实际意义是两车出发后3小时相遇，
故②正确；
③由时，知，甲地和乙地相距1000千米，
故③正确；
④由图象知时，动车到达乙地，
时，普通列车到达甲地，
即普通列车到达终点共需12小时，
故④错误；
故选：B．
11．【考点】已知函数经过的象限求参数范围、抛物线与x轴的交点问题、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线经过四个象限，说明抛物线与x轴的两个交点分别在原点的两侧，列出不等式即可求解．
解：令，则，
解得：，
∴抛物线与x轴交于和，
∵抛物线经过第一，二，三，四象限，且，
∴ ，
∴．
故选：B．
12．【考点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．先证明，推出，，证明，推出，据此可判断①正确；设，则，求得，证明，分别求得，，据此可判断②正确；利用等积法求得，由，再用分别表示和的长，据此可判断③错误；当时，同理可判断④正确．
解：在正方形中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
由正方形中知，即，
∴，
∴，
∴，①正确；
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴，②正确；
在中，，
∴，
∵，
∴，
由得，
∴，，
∴，
∴，
∴，③错误；
当时，，，
∴，，
又，
∴，④正确；
综上，①②④正确，
故选：B．
13．【考点】合并同类项
【分析】本题考查了合并同类项；
根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，计算即可．
解：，
故答案为：．
14．【考点】求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义解答即可，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
解：，
故答案为：．
15．【考点】分式化简求值
【分析】根据得到，然后代入所求的代数式即可求解．
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：
【点评】本题考查了代数式的求值问题，直接代入求值是解题的关键．
16．【考点】列表法或树状图法求概率
【分析】本题主要考查了用树状图法求解概率，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解即可得到答案．
列举出所有情况：看三辆车全部左转的情况占所有情况的多少即可．
解：（1）用树状图表示出三辆车经过该十字路口时所有可能出现的情况如图：
由树状图可以看出，三辆车经过该十字路口时所有等可能出现的情况共有27种，
三辆车都向左转的结果只有1种，所以三辆车都向左转．
17．【考点】求圆锥底面半径、根据特殊角三角函数值求角的度数、求弧长、求扇形面积
【分析】如图，过作于，求解，，，弧的长：，设⊙O的半径为r，可得：，结合纸片剩下部分的面积为：，再进一步解答即可．
解：如图，过作于，
∵矩形纸片ABCD中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴弧的长：，
设⊙O的半径为r，
∴，
解得：，
∴纸片剩下部分的面积为：
；
故答案为：．
【点评】本题考查的是矩形的性质，扇形的弧长与面积，圆锥的含义，锐角三角函数的应用，掌握与圆锥相关的基础知识是解本题的关键．
18．【考点】圆周角定理、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，垂线段最短，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
连接，证明是等腰直角三角形，则有，，求出，然后证明点是外接圆的上的一个动点，故有当点共线时，的长最小，则的面积最小，过点作于点，则四边形是矩形，则有，再由面积公式即可求解．
解：如图，连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴在中，，
连接，由题意可知是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
∴点是外接圆的上的一个动点，
作的外接圆，连接，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
过点作于点，
当点共线时，的长最小，则的面积最小，
当点共线时，，
∴，
∴是等边三角形，，
过点作于点，则四边形是矩形，
∵，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的最小面积为，
故答案为：．
19．【考点】负整数指数幂、零指数幂、特殊三角形的三角函数、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查了涉及特殊角三角函数值、负整数指数幂等知识的实数的混合运算和求解不等式组的解集等知识，掌握实数的混合运算法则以及求解不等式组的方法是解答本题的关键．
（1）根据绝对值的意义、负整数指数幂运算法则、特殊角的三角形函数值、二次根式的化简求出每一项，再进行实数的混合运算即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再通过找两个解集的公共部分进而求出不等式组的解集，再根据不等式组的解集即可写出x的非负整数解．
解：（1）
；
（2）解：，
解不等式①，得；
解不等式②，得；
则不等式的解集为：，
则不等式组的非负整数解为：0,1,2．
20．【考点】利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．连接与对角线交于点O．根据平行四边形的性质以及可得，即可求证．
证明：如图，连接与对角线交于点O．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∴四边形是平行四边形，
∴．
21．【考点】有理数加减混合运算的应用、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的运算，根据题意，找到等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．
（）设该中学有套桌凳需要修理，由题意可得方程，解方程即可求解；
（）分别求出甲、乙单独和合作完成的时间，再分别求出三种修理方案的修理费用，比较即可求解；
（1）解：设该中学有套桌凳需要修理，
由题意可得，，
解得，
答：设该中学有套桌凳需要修理；
（2）解：第种修理方案最省钱．
理由：由（）可得，
甲单独修完需要天，
乙单独修完需要天，
甲、乙合作修完需要天，
∴第种修理方案的费用为：元，
第种修理方案的费用为：元，
第种修理方案的费用为：元，
∵，
∴第种修理方案最省钱．
22．【考点】画条形统计图、由样本所占百分比估计总体的数量、列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图信息关联
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、由样本估计总体、用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上考点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据喜欢“舞蹈”兴趣班的人数除以所占比例即可得出总人数，用喜欢“绘画”兴趣班人数除以总人数即可得出的值，求出喜欢“书法”兴趣班的人数以及喜欢“乐器”兴趣班的人数，再补全条形统计图即可；
（2）用乘以喜欢“乐器”兴趣班的人数所占的比例即可得解；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
（1）解：本次抽取调查的学生共有（人），
喜欢“绘画”兴趣班的百分比为，即，
喜欢“书法”兴趣班的人数为（人），
喜欢“乐器”兴趣班的人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
；
（2）解：计该校2600名学生中喜爱“乐器”兴趣班的人数约为（人）；
（3）解：把王红和李明分别记为、，其他位同学分别记为、、，
画树状图如图：
，
共有种等可能出现的结果，其中王红和李明至少有一人参与演奏的结果有种，
∴王红和李明至少有一人参与演奏的概率为．
23．【考点】圆周角定理、切线的性质定理、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等：
（1）连接，由切线的性质得到，则可证明，得到，再由等边对等角证明，即可证明是的平分线；
（2）由三线合一定理得到，证明得到，进而证明是等边三角形，则，设，则由勾股定理有，则，即可得到．
（1）解：是的平分线，理由如下：
如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
设，则
在中，由勾股定理有，
又∵，
∴，
∴．
24．【考点】求反比例函数解析式、利用菱形的性质求线段长、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数与几何的综合应用，待定系数法求函数解析式、菱形的性质及三角形的面积，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解题的关键．
（）连接，交轴于点，由菱形的性质可知关于轴对称，可求得点坐标，把点坐标分别代入两函数解析式可求得和值；
（）求出点坐标，再根据图象即可得出不等式的解集；
（）根据菱形的性质可求得点坐标，可求得菱形面积，设点坐标为，根据条件可得到关于的方程，可求得点坐标．
（1）解：如图，连接，交轴于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵点，
∴，，
∴，，
∴，
将代入直线可得，解得；
将代入反比例函数可得，解得：；
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）解：由（）得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点，
∴不等式的解集为或；
（3）解：存在，理由如下，
∵，，
∴，
∵，
∴，S△OAP＝2，
设点坐标为，与轴相交于，则，
∴，
∴，
当在的左侧时，，
∴，，
∴；
当在的右侧时，，
∴，，
∴；
综上所述，点的坐标为或．
25．【考点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、已知正切值求边长
【分析】（1）在Rt△PEN中，由等腰直角三角形的性质解得PH的长，在Rt△PEM中，由正切定义解得ME的长，最后利用线段的和差解答；
（2）过点D作DG⊥AB于G，利用坡度的定义解得AG，GH的长，继而解得AH的长，最后根据三角形面积公式解答．
（1）解：由题意得∠E＝90°，，，PE＝30米．
在Rt△PEN中，PE＝NE＝30米，
在Rt△PEM中，
∴（米）．
∴MN＝EM－EN≈50－30＝20（米）
答：两渔船M，N之间的距离约为20米
（2）如图，过点D作DG⊥AB于G，坝高DG＝24米，
∵背水坡AD的坡度i＝1：0.25，
∴DG：AG＝1：0.25，
∴AG＝24×0.25＝6（米），
∵背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，
∴DG∶GH＝1∶1.75，
∴GH＝24×1.75＝42（米）
∴AH＝GH－GA＝42－6＝36（米）
∴（平方米）
∴需要填筑的土石方为432×100＝43200（立方米）
答：需要填筑的土石方为43200立方米．
【点评】本题考查仰角的定义及坡度、正切定义等知识，是重要考点，要求学生能借助构造直角三角形并解直角三角形，掌握相关知识是解题关键．
26．【考点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、角度问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)
【分析】（1）先根据抛物线，当时，y取最小值，得到抛物线的顶点坐标为，可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出的坐标，然后将的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是，即，可先求出的长，然后分情况讨论：①当在线段上时，过点作轴，点为垂足．由，根据相似三角形的性质定理求出的长，进而求出点的坐标；②当在的延长线上时，由，根据相似三角形的性质定理求出的长，进而求出点的坐标；
（3）联立两函数的解析式，设直线与抛物线的交点为在左侧 ），则是方程的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，，进而求出．
①由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的方程，解方程即可求出的值；
②由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的不等式，解不等式即可求出的范围．
（1）解：∵抛物线，当时，取最小值，
∴抛物线的解析式是：，即；
当时，，
即点坐标是，
当时，，
解得：或2，
即点坐标是点坐标是．
将代入直线的解析式，
得，
解得：，
则直线的解析式是：；
（2）解：过点作为垂足，
，
，
，
由勾股定理，得，
当点为线段上一点时，过点作轴，点为垂足，
，
，
，
∴，
，
，
∴点；
②当点在延长线时，作轴，点为垂足，
，
，
，
，
，
解得：，
；
综上，或；
（3）解：①存在的值，使得，
设直线与抛物线的交点为在左侧 ）．
则为方程组的解，
由方程组消去整理，得：，
∴是方程的两个根，
∴，
∴．
∵，
∴，
即，
化简得，
∴，
整理，得，
解得：，
∴存在值，使得，其值为或；
②∵，
∴，即，
化简得，
∴，
整理，得，
解得：或，
∴当时，的取值范围是或．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，图形面积的计算方法，相似三角形的性质和判定，函数图象交点，一元二次方程根与系数关系等重要考点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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