2025年四川省自贡市中考数学模拟试卷3（含解析）

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2025年四川省自贡市中考数学模拟试卷3
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，直线a，b相交于点O，若，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．年一季度，泸州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市地区生产总值元．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图中的图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（ ）

A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知点与点关于原点对称，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．剪纸是我国古老的民间艺术．下列四个剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．四条边都相等的四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．圆的内接四边形对角互补
8．已知一组数据的唯一众数是，中位数是，则这组数据的平均数为（ ）
A． B． C． D．
9．中，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是圆锥的轴截面图形，是圆锥的高．若，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
11．把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
12．如图是二次函数（，，是常数，）图像的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：；；；（为实数）；当时，，其中正确的是（　 　）
A． B． C． D．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．化简的结果为 ．
13．在这五个数中任意取两数相乘，所得乘积中的最小数与最大数之差的绝对值为 ．
14．分解因式： ．
15．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：
则第次运算的结果 ．（用含字母的式子表示）
16．正确佩戴安全头盔能够有效保障人身安全．为了确保安全头盔的质量，质检部门对某工厂生产的安全头盔进行抽查，抽查结果如下表：
抽查的安全头盔数 50 100 150 200 500 1000 3000
合格的安全头盔数 42 88 141 180 455 920 2790
安全头盔合格的频率 0.84 0.88 0.94 0.90 0.91 0.92 0.93
由上表，估计随机抽取一个安全头盔，其质量合格的概率为 ．（结果保留小数点后一位）
17．如图，三角形材料，，，，点D在边上，添加一块三角形材料，加工成的材料，则的对角线的最小值是 ．

18．王华在学习中遇到了这样的问题：如图所示的三角形纸片中，，，，将沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，王华发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助王华写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积为 ．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．（1）解分式方程：；
（2）解不等式组：，并求出所有整数解的和．
20．已知：如图，，，，
(1)求证：
(2)若，，，求和的周长和.
21．军事演习，简称军演，是在想定情况诱导下进行的近似实战的综合性训练，是军事训练的高级阶段．在一次军事演习中，某军队接到上级指令执行登岛计划，接到指令时，该军队的舰艇距离该小岛千米，舰艇距离该小岛千米，于是舰艇加速前进，速度是舰艇的倍，结果舰艇提前分钟到达，顺利完成了登岛任务．
(1)求舰艇，的速度；
(2)根据情况，每天要派一艘舰艇在小岛周围巡航，巡航需持续一个月(天)，已知舰艇，的巡航费用分别为万元天，万元天．
①求巡航总费用与舰艇的巡航天数之间的函数关系式；
②若舰艇巡航天数不能超过舰艇的倍，要使巡航的费用最少，舰艇A应巡航多少天？
22．2024年4月26日，成都世界园艺博览会开幕．首次采用1个主会场（成都东部新区），4个分会场（温江区、郫都区、新津区、邛市）来呈现未来公园城市形态，教育主管部门对部分初中学生“参观世界园艺博览会的情况”进行了随机调查，设置了如下四个选项（每个参加随机调查的学生选且只选一项）：A：非常喜欢，B：比较喜欢，C：不喜欢，D：没有参观．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解答下列问题：
(1)参加此次随机调查的学生共有多少人？选A选项的学生人数有多少人？
(2)在扇形统计图中，求D选项所对应的扇形圆心角的度数；
(3)某区县约有12000名初中学生，请估算“喜欢”层次（包括A，B）的初中学生约有多少人？
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集；
(3)连接、，求的面积．
24．如图1是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”．该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮，也是南溪区的地标性建筑之一．游客可以在碧水蓝天之间领略长江第一湾的独特景观．图2是它平面示意图，是摩天轮的直径，小红从点沿着坡度的斜坡走了13米到达登舱平台上点，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端测得地面上点的俯角为，测得地面上点的俯角为，已知、两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：，）
(1)求点到地面的距离；
(2)求摩天轮的高度（结果保留整数）．
25．如图，四边形内接于，对角线平分，连接交于点E．
(1)求证：．
(2)若，设的面积为， 的面积为，，求的值．
(3)求证：．
26．已知抛物线L：与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第一象限上一点．
(1)求线段的长；
(2)当时，若，求的值；
(3)将抛物线L的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线．点P是抛物线上一动点，的最小值为4，求a的取值范围．
参考答案
1．【考点】利用邻补角互补求角度、对顶角相等
【分析】本题考查对顶角、邻补角，根据对顶角相等、邻补角和为180度，即可求解．
解：，，
，
，
，
故选C．
2．【考点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键．
解：，
故选：．
3．【考点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】根据面动成体的原理：下面的长方形旋转一周后是一个圆柱，上面的直角三角形旋转一周后是一个圆锥，所以应是圆锥和圆柱的组合体．
解：∵下面的长方形旋转一周后是一个圆柱，上面的直角三角形旋转一周后是一个圆锥，
∴根据以上分析应是圆锥和圆柱的组合体．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平面图形与立体图形的联系，可把较复杂的图象进行分解旋转，然后再组合，学生应注意培养空间想象能力．
4．【考点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、合并同类项、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式，熟记对应法则是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式对每一项判断解答即可．
解：A．、不是同类项不能合并，故原计算错误，不符合题意；
B． ，故原计算错误，不符合题意；
C． ，故原计算错误，不符合题意；
D． ，故原计算正确，符合题意；
故选：D．
5．【考点】已知字母的值 ，求代数式的值、求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，求出的值，再代入代数式计算即可，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
∴，
故选：．
6．【考点】轴对称图形的识别
【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，根据轴对称图形的概念求解即可．
解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．
故选：C．
7．【考点】已知圆内接四边形求角度、判断命题真假、矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形
【分析】本题考查的是命题真假的判断，矩形，正方形的判定，菱形，圆的内接四边形的性质，利用矩形，正方形的判定，菱形，圆的内接四边形的性质逐一分析判断即可．
解：A、四边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直平分，原命题是假命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
D、圆的内接四边形对角互补，原命题是真命题，
故选：D．
8．【考点】求一组数据的平均数、 利用中位数求未知数据的值、 利用众数求未知数据的值
【分析】本题考查了众数、中位数和平均数，由题意可得这组数据为，，，，，进而即可求解，掌握众数和中位数的定义是解题的关键．
解：由题意可得，这组数据为，，，，，
∴这组数据的平均数为，
故选：．
9．【考点】三角形内角和定理的应用
【分析】该题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为，结合即可求解．
解：∵，，
∴，
故选：B．
10．【考点】求圆锥侧面展开图的圆心角、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角度数，勾股定理求出母线长，根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的弧长，进行求解即可．
解：由图可知：，
∴，
设展开图的圆心角的度数为，则：，
∴；即：展开图的圆心角的度数为；
故选：C．
11．【考点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】此题考查的是根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
要求长方形的面积，需求出长方形相邻两边的长度，根据长方形的周长公式可计算出长方形另一边的长为；接下来，根据长方形的面积公式即可得到与的函数关系式．
解：设这个长方形的一边长为，周长是，
另一边长是，
与的函数关系式为：．
选项、、都不正确，选项正确．
故选：．
12．【考点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题考查二次函数图像与性质，解题关键是掌握抛物线的对称性，结合图像和解析式列不等式．
由抛物线对称轴的位置以及与轴交点位置可得结论；
由抛物线对称轴可得结论；
当时，列出不等式即可得结论；
根据在对称轴处取得最值判断即可；
根据图像与轴的交点得到结论即可．
解：抛物线的对称轴在轴右侧，开口向下，
∴，，即，
，
抛物线与轴的交点在轴正半轴，
，
，故正确；
对称轴为直线，
，故正确；
∵与的函数值相等，
∴当时，，
，故错误；
根据图示知，当时，有最大值，
当时，有，
所以（m为实数），故正确；
如图，当时，不一定大于，
故错误，
综上，正确的是①②④，
故选：A．
13．【考点】求一个数的绝对值、有理数大小比较、两个有理数的乘法运算
【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数比较大小，绝对值的性质，掌握其运算法则是解题的关键．
根据有理数的混合运算分别求出最小值，最大值即可求解．
解：，，
∴最小数与最大数之差的绝对值为，
故答案为：45 ．
14．【考点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查了提公因式法进行因式分解．直接提取公因式，即可作答．
解：∵，
故答案为：．
15．【考点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算，根据题目中的程序可以分别计算出、和，得到规律，从而可以解答本题．解答本题的关键是明确题意，用代数式表示出．
∵，
∴，
……
∴．
故答案为：．
16．【考点】由频率估计概率
【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此可解．
解：由图表数据可知，随着抽查的数据越大，合格头盔的概率接近为，
故答案为：．
17．【考点】利用平行线间距离解决问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】根据勾股定理求出，易得，则当时，取最小值，根据平行线间的距离处处相等，即可得出．
解：∵，，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴当时，取最小值，
∵，
∴，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的性质，平行线间的距离处处相等，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方；平行四边形对边互相平行；平行线间的距离处处相等．
18．【考点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质
【分析】以C为圆心，以为半径画弧，交于点H，作直线，此时是等腰三角形；作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，作直线，此时是等腰三角形；根据勾股定理，等腰直角三角形的性质解答即可．
解：以C为圆心，以为半径画弧，交于点H，作直线，此时是等腰三角形；
∵，，，
∴，
∴；
作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，作直线，此时是等腰三角形，
∵，，，
∴，，
设，，
则，
∴，
解得，
∴；
故答案为：18或．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，解方程，熟练掌握等腰三角形的判定和构造方法是解题的关键．
19．【考点】解分式方程、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而求出所有整数解之和即可．
解：（1）
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是原分式方程的解；
（2），
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为，
所以，整数解为－1，0，1，2，
则不等式组的所有整数解的和为．
【点评】此题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
20．【考点】用SAS证明三角形全等（SAS）、全等三角形的性质
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质：
（1）先证，再利用证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等求解．
（1）证明：，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
，
，，
和的周长和
．
21．【考点】其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的行程问题、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查一次函数、分式方程和一元一次不等式的应用；
（1）设舰艇的速度的速度为千米小时，则舰艇的速度的速度为千米小时，根据舰艇比舰艇提前分钟到达列出方程，解方程即可；
（2）①根据总费用，两种舰艇的费用之和列出函数解析式；
②根据舰艇巡航天数不能超过舰艇的倍，求出的取值范围，再根据函数的性质求最值．
（1）解：设舰艇的速度的速度为千米小时，则舰艇的速度的速度为千米小时，
根据题意得：，
解得，
此时，
答：舰艇的速度的速度为千米小时，则舰艇的速度的速度为千米小时；
（2）①根据题意得：，
总费用与舰艇的巡航天数之间的函数关系式为；
②
解得，
在中，
，
随的增大而增大，
当时，最小，最小值为，
答：舰艇应巡航天，巡航的费用最少．
22．【考点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，以及利用样本估计总体等知识，
（1）用选项C的人数除以其所占比例，即可求出学生总数，然后用总人数减去其他三组的人数，即可求解；
（2）用360度乘以其所占比例求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想解答即可；
解题的关键是从统计图中获取解题所需要的信息．
（1）解：此次调查的总人数是（人），
选项A中的学生人数是（人），
∴参加此次随机调查的学生共有100人，选项A的学生人数有8人；
（2）解：，
选项D所对应的扇形圆心角的度数为；
（3）解：依题意，（人）
“喜欢”层次（包括A，B）的初中学生约有7680人．
23．【考点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、反比例函数与几何综合
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）由（）得到点坐标，再根据图象解答即可；
（）设直线与的交点为，可得，再根据计算即可求解；
本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何图形，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）解：把代入得，，
∴，
∴一次函数的表达式为，，
把代入得，，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵，，
∴，，
由函数图象可知，当或时，，
∴不等式的解集为或；
（3）解：设直线与轴的交点为，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．【考点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的应用是解题关键．
（1）过点作于点，先根据坡度的定义可得，再设米，则米，利用勾股定理可得的值，由此即可得；
（2）过点作于点，延长交于点，先得出四边形是矩形，根据矩形的性质可得米，再设摩天轮的高度米，则米，解直角三角形分别求出的长，然后根据建立方程，解方程即可得．
（1）解：如图，过点作于点，
∵斜坡的坡度，且米，
∴在中，，
设米，则米，
∵，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴（米），
答：点到地面的距离为12米．
（2）解：如图，过点作于点，延长交于点，
∵，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴米，
由题意得：，米，
设摩天轮的高度米，则米，
在中，米，
在中，米，
∵，
∴，
解得（米），
答：摩天轮的高度约为89米．
25．【考点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了圆的综合，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的性质，相似三角形的判定定理和性质是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义，得出，进而得出，即可求证；
（2）根据相似三角形的性质得出，推出，根据，得出，解得，通过证明，得出，结合三角形的面积公式，即可解答；
（3）通过证明，推出，进而得出，根据，得出，则，即可求证．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
过点A作于点G，过点C作于点H，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∴．
26．【考点】二次函数图象的平移、面积问题(二次函数综合)、求抛物线与x轴的交点坐标、求角的正切值
【分析】（1）在中，当时，，解得：，，求得点A、B的坐标，即可求得答案；
（2）当时，利用待定系数法可得直线的解析式为，连接，过点D作轴于点E，由，可得，可得直线的解析式为，联立方程求得，再运用正切函数定义即可求得答案；
（3）由平移得新抛物线：，再由的最小值为4，且，可知：点在线段上，即抛物线的对称轴左侧与x轴的交点为P，即求得的取值范围．
（1）解：在中，
当时，，
解得：，，
∴，，
∴；
（2）当时，，
∴顶点，
设直线的解析式为，把，代入，
得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图1，连接，过点D作轴于点E，
∵，
∴，
∴设直线的解析式为，把代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得：（舍去），，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（3）∵将抛物线L的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线，
∴，
令，得，
解得：，
∵的最小值为4，且，
∴点在线段上，即抛物线在对称轴左侧部分与轴的交点为在线段上，
∴，
∴．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、线段和的最小值问题，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用．
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