5.4.2正弦函数、余弦函数的性质应用 学案（无答案）

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质应用
【学习目标】
1.通过观察函数图象，掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值,培养数学运算的核心素养；
2.通过小组合作探究，能说出y＝sin x，y＝cos x的单调区间，并能利用单调性比较大小，提升逻辑推理的核心素养；
3.通过典例分析，会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间，提升数学运算的核心素养；并会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴、对称中心，提升数学运算的核心素养.
【学习重难点】
1.通过观察函数图象，掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值,培养数学运算的核心素养；
2.通过小组合作探究，能说出y＝sin x，y＝cos x的单调区间，并能利用单调性比较大小，提升逻辑推理的核心素养；
【评价任务】
1.完成问题1，问题2，问题3：检测目标（1）是否达成；
2.完成问题4，问题5，问题6：检测目标（2）是否达成；
3.完成例3，例4：检测目标（3）是否达成．
【学习过程】
环节一 创设情境，提出问题
所谓性质，就是研究对象在变化过程中保持不变的特征．从前面的研究中，我们已经看到，三角函数具有周期性、奇偶性，今天我们继续研究单调性和最值．
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转几个循环路径.
【思考】　
(1)函数y＝sin x与y＝cos x也象过山车一样“爬升”，“滑落”，这些对应的是它们的哪些性质？
(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，分别对应y＝sin x，y＝cos x的哪些性质？y＝sin x，y＝cos x在最大(小)值时，是否有规律，有何规律？
环节二 小组合作，探索交流
1.正(余)弦函数的单调性
问题1：研究正弦函数的单调性和最值，我们是否需要其在全体实数集上的图象？
问题2：观察右图，正弦函数y=sin x图象（一个周期内），描述你看到的图象．
问题3：由函数的单调性，根据上表，请同学们描述一个周期内，正弦函数单调性？
问题4：如何描述整个R上的正弦函数的单调性？
问题5：观察余弦函数在一个周期区间（如）上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入下表5.4-3，请同学们说一说，余弦函数一个周期内的单调性，以及整个定义域内的单调情况.
结论：由此可得，函数，在区间 上单调递增，其值从增大到1；在区间 _____上单调递减，其值从1减小到.
由余弦函数的周期性可得，余弦函数在每一个闭区间 ______ 上都单调递增，其值从增大到1；在每一个闭区间 ________ 上都单调递减，其值从1减小到.
2.正(余)弦函数的最值
讨论完正弦、余弦函数的单调性，我们比较容易得到它们的最值.
问题6：正、余弦函数的最大值与最小值分别是多少？分别在何时取到？
正弦函数y=sin x,当且仅当= 时取得最大值1，当且仅当= 时取得最小值；
余弦函数当且仅当= 时取得最大值1，当且仅当= 时取得最小值.
3.正(余)弦函数的对称轴和对称中心
【探究】正弦函数y=sin x的对称轴方程为_______________；对称中心为________________.
余弦函数y=sin x的对称轴方程为_____________; 对称中心为________________.
【小结】正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正弦函数 余弦函数
图象
定义域 R R
值域 ___________ ___________
单调性 在 (k∈Z)上单调递增， 在 (k∈Z)上单调递减 在 ________ (k∈Z)上单调递增， 在 ________ (k∈Z)上单调递减
最值 x＝ (k∈Z)时，ymax＝1； x＝ (k∈Z)时，ymin＝－1 x＝ _________ (k∈Z)时，ymax＝1； x＝ ________ (k∈Z)时，ymin＝－1
对称轴 x=________(k∈Z) x=________(k∈Z)
对称中心 _____________(k∈Z) _____________(k∈Z)
【思考】正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？
环节三 例题练习，巩固理解
【类题通法】求单调区间的步骤
(1)用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤：
第一步：写出基本函数y＝sin x(或y＝cos x)的相应单调区间；
第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；
第三步：解关于x的不等式．
(2)对于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数的单调区间问题，当ω＜0时，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性讨论同上．另外，值得注意的是k∈Z这一条件不能省略．
环节四 小结提升，形成结构
1.本节课学习了正弦函数、余弦函数哪些性质？你能总结成思维导图吗？
2.在学习正弦函数，余弦函数性质过程中我们学习了哪些数学思想方法呢？
3.通过本节课的学习，你发展了哪些数学素养呢？
【反馈练习】
A组
1．函数y＝－cos x在区间上是(　　)
A．增函数 B．减函数 C．先减后增函数 D．先增后减函数
2．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是(　　)
A．y轴 B．x轴 C．直线x＝ D．直线x＝π
3．y＝cos在[0，π]上的单调递减区间为(　　)
A. B.
C. D.
4.函数y＝sin2x＋sin x－1的最大值为________ ，最小值为________．
B组
1.函数的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2.设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
3.下列不等式中成立的是(　　)
A．sin>sin B．sin 3>sin 2
C．sin π>sin D．sin 2>cos 1
4. (多选题)对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中错误的是(　　)
A.f(x)在上是递增的 B.f(x)的图象关于原点对称
C.f(x)的最小正周期为2π D.f(x)的最大值为2
5.函数单调减区间为_________
6.函数的单调递增区间为_________
【学后反思】
1.通过本节课的学习你学到了哪些知识？
2.你体会到了哪些数学思想、解题方法？
3.需要老师提供什么帮助？
4.你有什么好的经验可以和大家一起分享？你对本学历案有什么建议和意见，都可以写在最后的空白区域.
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