5.4.3 正切函数的图象和性质 教学设计（表格式）

教学设计
课题 5.4.3正切函数的性质与图象
课型 新授课 章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□
教学内容分析
本课选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第四节《三角函数的图象与性质》. 本节的主要内容是正切函数的图象和性质，上一节学习了正弦、余弦函数的图象和性质，为本节研究正切函数的图象和性质奠定了基础，也为学习本节课内容作了方法上的铺垫，另外数形结合和类比的思想方法也贯穿了本节内容的始终，学生在此基础上来学习正切函数的图象和性质，是对前面知识的延伸和深化.同时，本节内容也为研究函数y=Asin(ωx+φ)的图象打下了基础，起到了承前启后的作用，因此，本节内容有着极其重要的地位. 教材首先通过诱导公式，先从代数的角度获得正切函数的周期性与奇偶性，将正切函数在整个定义域内的性质归结为区间上的图象与性质，利用正切函数的定义，可以得到正切函数值的变化趋势，从而确定函数的单调性，体现了数形结合的思想.
学习者分析
通过对函数和三角函数的定义，正弦函数、余弦函数的图象和性质等知识的系统学习，学生对作函数的图象已经构建了一定的认知结构，也掌握了研究函数性质的方法. 通过高中前阶段的学习，学生对由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步了解了数形结合的数学思想. 学生这些已有的基础为本课的开展提供了知识保障和能力支持，本节内容对数形结合、数学抽象、逻辑推理等能力有较高要求，但学生运用数学知识解决实际问题的能力和数学抽象、逻辑推理的核心素养还有待提高，学生探究问题以及合作交流的能力发展不够均衡，所以学生学习起来还是有一定难度的.
学习目标
（1）经历从正切函数的性质、定义出发研究它的图象，提升直观想象、逻辑推理的核心素养； （2）利用图象研究正切函数的性质，培养数学抽象的核心素养； （3）能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题，提升数学运算的核心素养。
学习重点难点
重点：正切函数的周期性、奇偶性、定义域、单调性和值域； 难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题.
学习条件支持
为了加强学生对正切函数的图象的直观感受，需要利用信息技术工具作图
学习活动设计
过程学习内容与教师活动 （引领性问题）学生任务或学习活动设计设计意图或评价目标环节一内容1.（创设情境） 教师活动： 思考： （１）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？ （２）你能用不同的方法研究正切函数吗？ 有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象.学生任务1. 学生学习活动： 回答： （1）先根据正切函数的定义，借助单位圆直接画出函数的图象，再利用图象直观研究函数的性质. （2）以定义为出发点，先研究函数的部分性质，再结合定义和这些性质研究函数的图象，然后借助图象的观察进一步获得函数的其他性质.设计意图： 用两个问题引导学生对函数性质的研究经验进行概括总结，并尝试用不同的方法进行创造性的实践. 评价目标： 通过任务1总结研究函数的一般方法，发展学生逻辑推理的核心素养.内容2. 教师活动： 探究： 指导学生探究正切函数的周期和奇偶性，然后总结学生的探究结果并进行展示. 思考： 你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？ 学生任务2. 学生学习活动： 展示： 1、周期性 由诱导公，∈R，且≠+， ∈Z,可知，正切函数是周期函数，周期是π. 2、奇偶性 由诱导公式=， ∈R，且≠+， ∈Z， 可知，正切函数是奇函数.设计意图： 由于一个角的正切值是这个角的终边与单位圆交点的坐标比值，难以直接利用正切值的几何意义对正切函数进行几何作图，对正切函数图象与正切定义之间的内在联系在理解上有一定的难度。为突破这一难点，教科书采用第二种思路. 评价目标： 通过任务2明确研究正切函数的思路，发展学生直观想象的核心素养.小结： 总结正切函数的周期和奇偶性对研究正切函数图象及其他性质的好处环节二内容3. 教师活动： 介绍正切值和线段AT长度等价转换的原理. 探究： （1）如何画出函数, ∈[0, 的图象？ 教师展示正切函数 ∈[0,图象，让学生对照自己所做图象并纠正. （2）你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？ 我们把它叫做正切曲线。 从图5.4.11可以看出，正切曲线是被与轴平行的一系列直线+， ∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.学生任务3. 学生学习活动： 合作探究： 根据教师的介绍并观察图5.4.10，当∈[0, 时，随着的增大，线段AT的长度也在增大，而且当趋向于时，AT的长度趋向于无穷大。相应地，函数 ∈[0,的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线＝ 尝试画出正切函数在∈[0,时的图象. 根据正切函数是奇函数，只要画, ∈[0, 的图象关于原点的对称图形，就可得到, ∈(-,0]的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数, ∈(-, 的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数∈R，且≠+， ∈Z的图象.设计意图： 通过由诱导公式得出正切函数的周期性、奇偶性，由定义画出正切函数在[0,图象，再由周期性、奇偶性画出正切曲线，让学生感受整个函数图象获得的过程，使学生具有研究函数的基本素养：作图，识图，用图的能力. 评价目标： 通过任务2、3达成目标1，发展学生直观想象的核心素养. 环 节 三 环 节 四内容4. 教师活动： 探究： 组织学生分组讨论总结正切函数的其它性质. 学生任务4： 学生活动： 合作探究： 3、单调性 观察正切曲线可知，正切函数在区间(-, 上单调递增. 由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间 (-+k, +k),k∈Z,上都单调递增. ４、值域 当∈(-, 时，在（－∞，＋∞）内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是实数集R.设计意图： 在已有正切函数图象的基础上，进而研究正切函数的单调性、值域. 评价目标： 通过任务4，达成目标2，发展学生直观想象、数学抽象的核心素养.内容5. 教师活动： 探究： 例６. 求函数的定义域、周期及单调区间. 分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论. 归纳总结： （1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z； （2）判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法： 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系； （3）求y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间时，由kπ－<ωx＋φ板书设计
定义： 周期： 奇偶性： 图象： 5.4.3正切函数的性质与图象 性质总结： 例题解题过程示范：
教学反思与改进
大胆让学生自己动手探究，体现学生的主体地位，主动思考，合作探究，让学生在探究中加深对新知识的理解、掌握.