浙江省 2025 年中考数学考前信息必刷卷 02
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本卷满分 120分，考试时间 120分钟。
5．本考试配有答题卡，请务必在答题卡上进行作答。
（本试卷由 10年以上教学经验一线名师制作，命题符合当下中考新趋势）
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
1．2025的绝对值是（ ）
1
A．2025 B 1．﹣2025 C． D．
2025 2025
2．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我
们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． 如意纹 B． 冰裂纹
C． 盘长纹 D． 风车纹
3．下列运算正确的是（ ）
A．a a2＝a2 B．（2a）3＝6a3
C．（a2）3﹣（a3）2＝0 D．a6÷a3＝a2
4．如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束 AB与 DC平行射入接收天线，经反射聚集到焦点 O处．若
∠ABO＝38°，∠DCO＝45°，则∠BOC的度数为（ ）
A．90° B．83° C．76° D．73°
5．sin45°cos60°﹣cos45°的值等于（ ）
A 2
2 6 2 2 6 4
． 4 B． C． D．4 4 4
6．已知抛物线 y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）的图象上三个点的坐标分别为 A（3，y1）， ( 2， 2)，C(
3
2， 3)，则 y1，
y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
7．5G网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到 2030年中国 5G
直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据如图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）
A．2024年 5G直接经济产出比 5G间接经济产出少 3万亿元
B．2020年到 2030年，5G直接经济产出和 5G间接经济产出都是逐年增长
C．2030年 5G间接经济产出大约为 2020年 5G间接经济产出的 9倍
D．2024年到 2025年，5G间接经济产出的增长率和 5G直接经济产出的增长率相同
8．如图，在扇形 AOB中，以点 A为圆心，AO为半径画弧，交 于点 C．若 OA＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）
4 4 2 4 3
A． 3 B． C． 3 D．
3 3 3 3 4
9．已知 1 = 3 =
1
， 2 1 ， =
1 1
3 1 ， 4 = 1 ， ，以此类推，则 a2024等于（ ）1 2 3
1 2
A 1． 2 B． C． D．32 3
10．已知反比例函数 y= （k≠0）在第一象限内的图象与一次函数 y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数 y＝x
2﹣bx+k
﹣1的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
11．因式分解：ab3+4ab﹣4ab2＝ ．
12．如果一个多边形的每一个外角都等于 45°，那么这个多边形的边数是 ．
13．若一元二次方程 2x2﹣4x﹣1＝0的两根为 m，n，则 m2+n2的值为 ．
14．如图，正六边形的边长为 1，顶点 A与原点重合，将对角线 AB绕点 A顺时针旋转，使得点 B落在数轴上的点
C处，则点 C表示的数是 ．
15 ．如图，双曲线 y= （k≠0）与线段 AB交于点 A（1，a）、C两点，点 B坐标为（a+1，0），连接 OA，△OAB的
面积为 6，则 = ．
16．已知 E，F分别是正方形 ABCD的边 BC，CD上的点，若∠EAF＝45°．那么 的最小值为 ．
三．解答题（共 8 小题，满分 72 分）
17 8 ( ) = 1．（ 分）定义 3 3 ，求 f（1）+f（3）+…+f（2k﹣1）+…+f（215）的值．（k
2+2 +1+3 2 1+ 2 2 +1
为整数 k＞0）
18．（8分）如图，在四边形 ABCD中，AB∥CD，点 O是对角线 BD的中点，过点 O的直线分别交 AB、CD于点 M、
N，且 DM⊥AB，求证：
给出下列信息：①DM＝BM；②BD⊥MN；③BD＝MN，请从中选择适当的信息，将对应序号填入横线上方，并
写出证明过程．
19．（8分）如图，某校实验楼前有一块大型的 LED显示屏，小亮想测量该显示屏的高度 CD，便拿上测量工具来到
实验楼前．首先，小亮站在点 A处抬头从 A′处观察显示屏的最底端 D，测得此时的仰角为 34°，然后向前直走 6
米到达点 B处，抬头从 B处观察显示屏的最顶端 C，测得此时的仰角为 45°，最后小亮测得点 B到实验楼底端 E
的水平距离为 21.5米，已知图中所有点均在同一平面内，点 C，D，E在同一直线上，点 A，B，E在同一直线
上，请帮助小亮求出 LED显示屏的高度 CD．（结果保留整数．参考数据：sin34°≈0.6，cos34°≈0.8，tan34°≈0.7）
20．（8分）深圳某学校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行
调查，要求被调查的学生从 A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了
如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生共有 人，研学活动地点 A所在扇形的圆心角的度数 ；
（2）若该年级共有 800名学生，估计最喜欢去 C地研学的学生人数为 ；
（3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，
从 A小组中随机选取 2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率．
21．（8分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对 5天的试销情
况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件） 30 34 38 40 42
销量（件） 40 32 24 20 16
（1）分析表格中的数据发现销量 y与单价 x之间存在一次函数关系，求 y关于 x的函数关系式．
（2）若该产品的成本是 20元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
22．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，D是 BC上一点．
3
（1）如图，E是 AB的中点， ∠ = 4，CE＝5， = 3 5，求线段 BD的长度；
（2）如图，AC＝BC，点 F在线段 AD上，将线段 CF绕点 C顺时针旋转 90°得到线段 CG，连接 BG，交 AC于
点 H，当∠CAD＝2∠ABG时，猜想并证明 AF与 CH的关系．
23．（10分）已知 AB是⊙O的直径，P是⊙O上的一点，∠APB的平分线交⊙O于点 D，C是 AB延长线上一点，
满足 CP2＝CB CA．
（1）如图（1），求证：PC与⊙O相切；
（2）试判断 CE2﹣CB2＝CB BA与 CE2﹣CB2＝CB+BA，哪个式子成立？并说明理由．
24．（12分）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有 A，O，N三个点，且 AO＝2，在 ON上方有五
个台阶 T1～T5（各拐角均为 90°），每个台阶的高、宽分别是 1和 1.5，台阶 T1到 x轴距离 OK＝10．从点 A处向
右上方沿抛物线 L：y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点 P．
（1）求点 A的横坐标，且在图中补画出 y轴，并直接指出点 P会落在哪个台阶上；
（2）当点 P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与 L形状相同的抛物线 C，且最大高度为 11，求抛物线 C
的表达式；
（3）在 x轴上从左到右有两点 D，E，且 DE＝1，从点 E向上作 EB⊥x轴，且 BE＝3．在△BDE沿 x轴左右平
移时，必须保证（2）中沿抛物线 C下落的点 P能落在边 BD（包括端点）上，求点 B横坐标的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2025年中考数学考前信息必刷卷02
解析卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．2025的绝对值是（ ）
A．2025 B．﹣2025 C． D．
【分析】根据绝对值的定义进行求解即可．
【解答】解：∵|2025|＝2025，
∴2025的绝对值是2025，
故选：A．
2．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．如意纹 B．冰裂纹
C．盘长纹 D．风车纹
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可．
【解答】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意；
B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则B不符合题意；
C是轴对称图形，也是中心对称图形，则C不符合题意；
D不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D符合题意；
故选：D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a a2＝a2 B．（2a）3＝6a3
C．（a2）3﹣（a3）2＝0 D．a6÷a3＝a2
【分析】利用合并同类项的方法、同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a a2＝a3，故选项计算错误，不符合题意；
B、（2a）3＝8a3，故选项计算错误，不符合题意；
C、（a2）3﹣（a3）2＝a6﹣a6＝0，故选项计算正确，符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
4．如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束AB与DC平行射入接收天线，经反射聚集到焦点O处．若∠ABO＝38°，∠DCO＝45°，则∠BOC的度数为（ ）
A．90° B．83° C．76° D．73°
【分析】作OE∥AB，则∠BOE＝∠ABO＝38°，结合得出AB∥CD，推出∠COE＝∠DCO＝45°，最后由∠BOC＝∠BOE+∠COE，即可得解．
【解答】解：如图，作OE∥AB，则∠BOE＝∠ABO＝38°，
∵AB∥CD，
∴OE∥CD，
∴∠COE＝∠DCO＝45°，
∴∠BOC＝∠BOE+∠COE＝38°+45°＝83°，
故选：B．
5．sin45°cos60°﹣cos45°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、二次根式的加减运算法则计算，进而得出答案．
【解答】解：原式
．
故选：A．
6．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）的图象上三个点的坐标分别为A（3，y1），，C，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
【分析】求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+b（a＜0），
∴二次函数的开口向下，对称轴是直线，
∴x＞1时，y随x的增大而减小，
∵C点关于直线x＝1的对称点是，
∵，
∴y3＜y1＜y2，
故选：A．
7．5G网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到2030年中国5G直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据如图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）
A．2024年5G直接经济产出比5G间接经济产出少3万亿元
B．2020年到2030年，5G直接经济产出和5G间接经济产出都是逐年增长
C．2030年5G间接经济产出大约为2020年5G间接经济产出的9倍
D．2024年到2025年，5G间接经济产出的增长率和5G直接经济产出的增长率相同
【分析】根据折线统计图的数据逐一选项进行分析即可得到答案．
【解答】解：根据折线统计图的数据逐一选项进行分析如下：
A、2024年5G直接经济产出比5G间接经济产出少6﹣3＝3万亿元，合理，不符合题意；
B、2020年到2030年，5G直接经济产出和5G间接经济产出都是逐年增长，合理，不符合题意；
C、2030年5G间接经济产出大约为2020年5G间接经济产出的10.6÷1.2≈9倍，合理，不符合题意；
D、2024年到2025年，5G间接经济产出的增长率为，5G直接经济产出的增长率为，二者不相同，不合理，符合题意．
故选：D．
8．如图，在扇形AOB中，以点A为圆心，AO为半径画弧，交于点C．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接AC，CO，过C作CD⊥AO于D，先证明△ACO是等边三角形，得出∠CAO＝∠COA＝60°，根据三线合一性质和勾股定理可求出，最后根据S阴影＝S扇形CAO+S扇形AOC﹣S△ACO求解即可．
【解答】解：连接AC，CO，过C作CD⊥AO于D，
由题意知：AC＝AO＝CO，
∴△ACO是等边三角形，
∵AC＝AO＝CO＝2，CD⊥AO，
∴，
∴，
∴S阴影＝S扇形CAO+S扇形AOC﹣S△ACO
，
故选：A．
9．已知，以此类推，则a2024等于（ ）
A． B． C． D．3
【分析】根据找到规律为an每3项循环一次，则a3m+1＝a1＝3，，，代值求解即可得到答案，根据题中式子找到an规律是解决问题的关键．
【解答】解：∵a1＝3，
∴，
，
，
，
，
∴按照上面代数式呈现的规律可知，an每3项循环一次，则a3m+1＝a1＝3，，，
∵2024＝3×674+2，
∴，
故选：A．
10．已知反比例函数y（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数y与一次函数y＝﹣x+b的图象，可知k＞0，b＞0，所以函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x0，根据两个交点为（1，k）和（k，1），可得k﹣b＝﹣1，b＝k+1，可得函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1），不过原点，即可判断函数y＝x2﹣bx+k﹣1的大致图象．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则b＞0，反比例函数y的图象经过第一、三象限，则k＞0，
∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x0，
由图象可知，反比例函数y与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点（1，k）和（k，1），
∴﹣1+b＝k，
∴k﹣b＝﹣1，
∴b＝k+1，
∴对于函数y＝x2﹣bx+k﹣1，当x＝1时，y＝1﹣b+k﹣1＝﹣1，
∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1），
∵反比例函数y与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点，
∴方程x+b有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，
∴k﹣1≠0，
∴当x＝0时，y＝k﹣1≠0，
∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象不过原点，
∴符合以上条件的只有A选项．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．因式分解：ab3+4ab﹣4ab2＝ ab（b﹣2）2 ．
【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．
【解答】解：ab3+4ab﹣4ab2
＝ab（b2+4﹣4b）
＝ab（b﹣2）2．
故答案为：ab（b﹣2）2．
12．如果一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的边数是 8 ．
【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：多边形的边数是：8，
故答案为：8．
13．若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则m2+n2的值为 5 ．
【分析】利用根与系数的关系，可得出m+n＝2，mn，再将其代入m2+n2＝（m+n）2﹣2mn中，即可求出结论．
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，
∴m+n＝2，mn，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝22﹣2×（）＝5．
故答案为：5．
14．如图，正六边形的边长为1，顶点A与原点重合，将对角线AB绕点A顺时针旋转，使得点B落在数轴上的点C处，则点C表示的数是 ．
【分析】过点B作BD⊥OC于点D，利用正六边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可．
【解答】解：过点B作BD⊥OC于点D，
∵正六边形的边长为1，顶点A与原点重合，
∴EB＝OE＝1，，∠EAB＝∠EBA＝∠EBD＝30°，
∴，
∴，
根据旋转性质，得，
∴点C表示的数是，
故答案为：．
15．如图，双曲线y（k≠0）与线段AB交于点A（1，a）、C两点，点B坐标为（a+1，0），连接OA，△OAB的面积为6，则 ．
【分析】根据点A、B的坐标可求出a的值，再求出点C的坐标，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：过点A、C分别作AM⊥OB，CN⊥OB，垂足为M、N，过点C作CD⊥AM，垂足为d，
∵A（1，a）、B（a+1，0），
∴OM＝1，AM＝a，ON＝a+1，
∴MB＝AM＝a，
又∵△OAB的面积为6，即OB AM＝6，
∴a（a+1）＝6，
解得a＝3（取正值），
∴AM＝MB＝3，
设NB＝b，则CN＝b，
∴C（4﹣b，b）
∵A（1，3），C（4﹣b，b）都在反比例函数图象上，
∴（4﹣b）×b＝1×3，
解得b＝1或b＝3（舍去），
∴CN＝DN＝1，
∴AD＝3﹣1＝2，
∵CD∥OB，
∴，
故答案为：．
16．已知E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的点，若∠EAF＝45°．那么的最小值为 22 ．
【分析】依据题意，延长CB至点G使BG＝DF，连接AG，先证明△ADF≌△ABG（ASA），再证明△EAF≌△GAF（SAS），可得EF＝GF，再设AB＝1，BE＝a，DF＝b，则EF＝a+b，又在Rt△ECF中，EC2+CF2＝EF2，故（a+b）2＝（1﹣b）2+（1﹣a）2，a+b+ab﹣1＝0，又令mEF＝a+b，则b＝m﹣a，从而a2﹣ma﹣m+1＝0，最后结Δ＝m2﹣4（﹣m+1）＝m2+4m﹣4＝（m+2）2﹣8≥0，进而可以判断得解．
【解答】解：如图，延长CB至点G使BG＝DF，连接AG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADF＝∠ABG＝90°．
又∵DF＝BG，
∴△ADF≌△ABG（ASA）．
∴∠DAF＝∠BAG，AF＝AG．
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°．
∴∠BAG+∠BAE＝45°，即∠EAG＝45°．
∴∠EAF＝∠EAG．
∴△EAF≌△GAF（SAS）．
∴EF＝GF．
设AB＝1，BE＝a，DF＝b，
∴EF＝a+b．
在Rt△ECF中，EC2+CF2＝EF2，
∴（a+b）2＝（1﹣b）2+（1﹣a）2．
∴a+b+ab﹣1＝0．
令mEF＝a+b，
∴b＝m﹣a．
∴m+a（m﹣a）﹣1＝0．
∴a2﹣ma﹣m+1＝0．
∵BE存在，
∴a有实数解．
∴Δ≥0．
∴Δ＝m2﹣4（﹣m+1）＝m2+4m﹣4＝（m+2）2﹣8≥0．
∵m＞0，
∴m≥22．
∴的最小值为22．
故答案为：22．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）定义，求f（1）+f（3）+…+f（2k﹣1）+…+f（215）的值．（k为整数k＞0）
【分析】先根据分式的混合运算法则得出，由此代数数值计算即可得出答案．
【解答】解：
，
∴f（1）+f（3）+…+f（2k﹣1）+…+f（215）
＝3．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD于点M、N，且DM⊥AB，求证： ③
给出下列信息：①DM＝BM；②BD⊥MN；③BD＝MN，请从中选择适当的信息，将对应序号填入横线上方，并写出证明过程．
【分析】证明△ODN≌△OBM（AAS）得到DN＝BM，则可进一步证明四边形BMDN是矩形，得到BD＝MN，根据现有条件无法证明DM＝BM，BD⊥MN，据此可得结论．
【解答】解：③；
证明：∵AB∥CD，
∴∠ODN＝∠OBM，∠OND＝∠OMB，
∵点O是对角线BD的中点，
∴OD＝OB，
在△ODN和△OBM中，
，
∴△ODN≌△OBM（AAS），
∴DN＝BM，
∴四边形BMDN是平行四边形，
又∵DM⊥AB，
∴四边形BMDN是矩形，
∴BD＝MN，
根据现有条件无法证明DM＝BM，BD⊥MN．
19．（8分）如图，某校实验楼前有一块大型的LED显示屏，小亮想测量该显示屏的高度CD，便拿上测量工具来到实验楼前．首先，小亮站在点A处抬头从A′处观察显示屏的最底端D，测得此时的仰角为34°，然后向前直走6米到达点B处，抬头从B处观察显示屏的最顶端C，测得此时的仰角为45°，最后小亮测得点B到实验楼底端E的水平距离为21.5米，已知图中所有点均在同一平面内，点C，D，E在同一直线上，点A，B，E在同一直线上，请帮助小亮求出LED显示屏的高度CD．（结果保留整数．参考数据：sin34°≈0.6，cos34°≈0.8，tan34°≈0.7）
【分析】延长A'B'交CE于点F，则B'F＝BE＝21.5米，由锐角三角函数的定义可求出CF，DF的长，则可求出答案．
【解答】解：延长A'B'交CE于点F，则B'F＝BE＝21.5米，
∴A'F＝AE＝21.5+6＝27.5米．
∵CF＝B'F tan∠CB'F＝21.5 tan45°＝21.5×1＝21.5（米），
DF＝A'F tan∠DA'F＝27.5 tan34°≈19.25（米），
∴CD＝CF﹣DF＝21.5﹣19.25≈2（米）．
答：LED显示屏的高度为2米．
20．（8分）深圳某学校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生共有 100 人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数 72° ；
（2）若该年级共有800名学生，估计最喜欢去C地研学的学生人数为 320 ；
（3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率．
【分析】（1）利用“选择地点B的学生人数其÷其占比15%”求解即可；利用“360°×选择地点A的学生占比”求解即可；
（2）利用“该校学生总数×选择地点C的学生占比”，即可求得答案；
（3）根据题意列表，结合表格即可获得答案．
【解答】解：（1）此次被调查的学生共有15÷15%＝100（人）；
研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：100；72°；
（2）（40÷100）×100%×800＝320（人），
答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人，
故答案为：320；
（3）列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 男1男2 男1女1 男1女2
男2 男2男1 男2女1 男2女2
女1 女1男1 女1男2 女1女2
女2 女2男1 女2男2 女2女1
由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种，
∴刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：P（一男一女），
答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为．
21．（8分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件） 30 34 38 40 42
销量（件） 40 32 24 20 16
（1）分析表格中的数据发现销量y与单价x之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式．
（2）若该产品的成本是20元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）根据二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
则：，
解得：，
∴y＝﹣2x+100；
（2）设产品的利润为y元，则：y＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2（x﹣35）2+450，
∵﹣2＜0，20＜x＜50，
∴当x＝35时，y取最大值为450元，
答：为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为35元．
22．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点．
（1）如图，E是AB的中点，，CE＝5，，求线段BD的长度；
（2）如图，AC＝BC，点F在线段AD上，将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG，连接BG，交AC于点H，当∠CAD＝2∠ABG时，猜想并证明AF与CH的关系．
【分析】（1）过点E作EG⊥BC交BC于点G，由题意得到EGCG，利用勾股定理得到EG，CG，根据E是AB中点，∠ACB＝90°，得到CE＝BE＝AE＝5，推出△BCE是等腰三角形，即得到BC＝2BG＝2CG＝8，利用勾股定理求出AC，CD，即可求出BD的长；
（2）延长BC，在BC延长线上截取CB′＝CB，取BG的中点Q，连接CQ，B′G，证明△ACF≌△B′CG（SAS），得到∠B′＝∠CAD，AF＝B′G，设∠ABG＝α，则∠CAD＝∠B′＝2α，根据点C，Q分别为BB′，BG的中点推出CQ∥B′G，得到∠BCF＝∠B′＝2α，由三角形外角的性质得到∠CQG＝45°+α，∠BHC＝45°+α，推出△CQH是等腰三角形，故得到CQ＝CHB'G，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点E作EG⊥BC交BC于点G，
∵tan∠BCE，EG⊥BC，
∴，即EGCG，
∵CE＝5，
∴CE2＝CG2+EG2，即CG2＝25，
∴CG＝4，EG＝3，
∵E是AB中点，∠ACB＝90°，
∴CE＝BE＝AE＝5，AB＝2BE＝10，
∴△BCE是等腰三角形，
∴BC＝2BG＝2CG＝8，
∵AC，
∴AC＝6，
∴AD＝3，
∴CD3，
∴BD＝BC﹣CD＝5；
（2）AF＝2CH，理由如下：
如图2，延长BC，在BC延长线上截取CB′＝CB，取BG的中点Q，连接CQ，B′G，
∵线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG，
∴CF＝CG，∠FCG＝90°，
∵∠ACB'＝∠B'CG+∠ACG＝90°，∠FCG＝∠ACF+∠ACG＝90°，
∴∠B'CG＝∠ACF，
∵CB＝CA，CB'＝CB，
∴CA＝CB′，
∴△ACF≌△B'CG（SAS），
∴∠B'＝∠CAD，AF＝B'G，
设∠ABG＝α，则∠CAD＝∠B'＝2α，
∵点C，Q分别为BB'，BG的中点，
∴CQ∥B'G，
∴∠BCF＝∠B'＝2α，
∵∠CQG＝45°+α，∠BHC＝45°+α，
∴△CQH是等腰三角形，
∴CQ＝CHB'G，
∵AF＝B'G，
∴CHAF，
即AF＝2CH．
23．（10分）已知AB是⊙O的直径，P是⊙O上的一点，∠APB的平分线交⊙O于点D，C是AB延长线上一点，满足CP2＝CB CA．
（1）如图（1），求证：PC与⊙O相切；
（2）试判断CE2﹣CB2＝CB BA与CE2﹣CB2＝CB+BA，哪个式子成立？并说明理由．
【分析】（1）连接OP，证明△PCB∽△ACP，由相似三角形的性质得出∠BPC＝∠A，证出∠OPC＝90°，则可得出结论；
（2）证出PC＝CE，由①得出CE2＝CB CA，则可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OP，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∵OA＝OP，
∴∠A＝∠OPA，
∴∠A+∠OPB＝∠OPA+∠OPB＝90°，
∵CP2＝CB CA．
∴，
∵∠PCB＝∠ACP，
∴△PCB∽△ACP，
∴∠BPC＝∠A，
∴∠BPC+∠OPB＝90°，
即∠OPC＝90°，
∴OP⊥PC，
∵OP为半径，
∴PC与⊙O相切；
（2）解：CE2﹣CB2＝CB BA，理由如下：
∵PD平分∠APB，
∴∠APD＝∠BPD，
∵∠PEB＝∠A+∠APD，
∴∠PEB＝∠A+∠BPD，
∵∠A＝∠BPC，∠EPC＝∠BPD+∠BPC，
∴∠PEB＝∠CPE，
∴PC＝CE，
∵CP2＝CB CA，
∴CE2＝CB CA，
∵CA＝CB+AB，
∴CE2＝CB（CB+AB），
∴CE2﹣CB2＝CB BA．
24．（12分）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．
（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；
（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求抛物线C的表达式；
（3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝3．在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD（包括端点）上，求点B横坐标的取值范围．
【分析】（1）由题意台阶的左边端点T（4.5，7），右边端点的坐标（6，7），求出x＝4.5，6时的y的值，即可判断；
（2）由题意抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过R（5，7），最高点的纵坐标为11，构建方程组求出b、c，即可得到答案；
（3）求出抛物线与轴的交点，以及y＝3时点的坐标，判断出两种特殊位置点B的横坐标的值，即可得到答案．
【解答】解：（1）如图所示，
由题意T4台级左边端点T（4.5，7），右边端点的坐标（6，7），
对于抛物线y＝﹣x2+4x+12，令y＝0，即：0＝﹣x2+4x+12，
解得x＝﹣2或6，
∴A（﹣2，0），
∴点A的横坐标为﹣2，
当时x＝4.5时，y＝9.75＞7，
当x＝6时，y＝0＜7，
当y＝7时，7＝﹣x2+4x+12，
解得x＝﹣1或5，
∴抛物线与T4台级有交点（5，7），
∴点会落在T4台阶上；
（2）由题意抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（5，7），最高点的纵坐标为11，
∴，
解得或（舍去），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+14x﹣38，
（3）对于抛物线y＝﹣x2+14x﹣38，
令y＝0，得到0＝﹣x2+14x﹣38，
解得，
∴抛物线交轴的正半轴于，
当y＝3时，3＝﹣x2+14x﹣38，
解得x＝7+2或7﹣2，
∴抛物线经过（7+2，3）
在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，DE＝1，BE＝3，
∴当点D与重合时，点B的横坐标的值最大，最大值为，
当B点与（7+2，3）重合时，点B的横坐标最小，最小值为7+2
∴点横坐标的横坐标的取值范围：7+2．
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数学·答题卡
(
准考证号：
姓 名：
_________________________________________
贴条形码区
此栏考生禁填
缺考
标记
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。
2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
5．正确填涂
注意事项
)满分120分
第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂）
(
一、选择题（每小题
3
分，共
30
分）
1
[A] [B] [C] [D]
2
[A] [B] [C] [D]
3
[A] [B] [C] [D]
4
[A] [B] [C] [D]
5
[A] [B] [C] [D]
6
[A] [B] [C] [D]
7
[A] [B] [C] [D]
8
[A] [B] [C] [D]
9
[A] [B] [C] [D]
10
[A] [B] [C] [D]
二、填空题（每小题
3
分，共
18
分）
11.（3分）
________________
12.（3分）
________________
13.（3分）
________________
14.（3分）
________________
15.（3分）
________________
1
6.（3分）
________________
三、解答题（共
72
分，
解答应写出文字说明
、
证明过程或演算步骤
）
17．（
8
分）
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
) (
18．（
8
分）
19．（
8
分）
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
) (
2
0
．（8分）
2
1
．（
8
分）
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
2
2
．（10分）
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
) (
2
3
．（1
0
分）
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
) (
2
4
．（12分）
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2025年中考数学考前信息必刷卷02
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本卷满分120分，考试时间120分钟。
5．本考试配有答题卡，请务必在答题卡上进行作答。
（本试卷由10年以上教学经验一线名师制作，命题符合当下中考新趋势）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．2025的绝对值是（ ）
A．2025 B．﹣2025 C． D．
2．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．如意纹 B．冰裂纹
C．盘长纹 D．风车纹
3．下列运算正确的是（ ）
A．a a2＝a2 B．（2a）3＝6a3
C．（a2）3﹣（a3）2＝0 D．a6÷a3＝a2
4．如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束AB与DC平行射入接收天线，经反射聚集到焦点O处．若∠ABO＝38°，∠DCO＝45°，则∠BOC的度数为（ ）
A．90° B．83° C．76° D．73°
5．sin45°cos60°﹣cos45°的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）的图象上三个点的坐标分别为A（3，y1），，C，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
7．5G网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到2030年中国5G直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据如图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）
A．2024年5G直接经济产出比5G间接经济产出少3万亿元
B．2020年到2030年，5G直接经济产出和5G间接经济产出都是逐年增长
C．2030年5G间接经济产出大约为2020年5G间接经济产出的9倍
D．2024年到2025年，5G间接经济产出的增长率和5G直接经济产出的增长率相同
8．如图，在扇形AOB中，以点A为圆心，AO为半径画弧，交于点C．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，以此类推，则a2024等于（ ）
A． B． C． D．3
10．已知反比例函数y（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．因式分解：ab3+4ab﹣4ab2＝ ．
12．如果一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的边数是 ．
13．若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则m2+n2的值为 ．
14．如图，正六边形的边长为1，顶点A与原点重合，将对角线AB绕点A顺时针旋转，使得点B落在数轴上的点C处，则点C表示的数是 ．
15．如图，双曲线y（k≠0）与线段AB交于点A（1，a）、C两点，点B坐标为（a+1，0），连接OA，△OAB的面积为6，则 ．
16．已知E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的点，若∠EAF＝45°．那么的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）定义，求f（1）+f（3）+…+f（2k﹣1）+…+f（215）的值．（k为整数k＞0）
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD于点M、N，且DM⊥AB，求证：
给出下列信息：①DM＝BM；②BD⊥MN；③BD＝MN，请从中选择适当的信息，将对应序号填入横线上方，并写出证明过程．
19．（8分）如图，某校实验楼前有一块大型的LED显示屏，小亮想测量该显示屏的高度CD，便拿上测量工具来到实验楼前．首先，小亮站在点A处抬头从A′处观察显示屏的最底端D，测得此时的仰角为34°，然后向前直走6米到达点B处，抬头从B处观察显示屏的最顶端C，测得此时的仰角为45°，最后小亮测得点B到实验楼底端E的水平距离为21.5米，已知图中所有点均在同一平面内，点C，D，E在同一直线上，点A，B，E在同一直线上，请帮助小亮求出LED显示屏的高度CD．（结果保留整数．参考数据：sin34°≈0.6，cos34°≈0.8，tan34°≈0.7）
20．（8分）深圳某学校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生共有 人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数 ；
（2）若该年级共有800名学生，估计最喜欢去C地研学的学生人数为 ；
（3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率．
21．（8分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件） 30 34 38 40 42
销量（件） 40 32 24 20 16
（1）分析表格中的数据发现销量y与单价x之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式．
（2）若该产品的成本是20元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
22．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点．
（1）如图，E是AB的中点，，CE＝5，，求线段BD的长度；
（2）如图，AC＝BC，点F在线段AD上，将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG，连接BG，交AC于点H，当∠CAD＝2∠ABG时，猜想并证明AF与CH的关系．
23．（10分）已知AB是⊙O的直径，P是⊙O上的一点，∠APB的平分线交⊙O于点D，C是AB延长线上一点，满足CP2＝CB CA．
（1）如图（1），求证：PC与⊙O相切；
（2）试判断CE2﹣CB2＝CB BA与CE2﹣CB2＝CB+BA，哪个式子成立？并说明理由．
24．（12分）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．
（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；
（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求抛物线C的表达式；
（3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝3．在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD（包括端点）上，求点B横坐标的取值范围．
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