2025年四川省泸州市中考数学模拟试卷2（含解析）

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2025年四川省泸州市中考数学模拟试卷2
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．下列比较大小正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（　　）
A．2.15×107 B．0.215×108 C．2.15×106 D．21.5×106
3．下列说法中正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线 B．连接两点的线段叫两点间的距离
C．两点之间线段最短 D．相等的角是对顶角
4．用3个同样的小正方体摆出的几何体，从正面看到的形状图如图所示，则这个几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，则下列说法错误的是（　　）
A．样本的平均数是3 B．样本的中位数是3
C．样本的众数是3 D．样本的方差是3
7．已知关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．总有两个不相等的实数根 B．总有两个相等的实根
C．无实根 D．总有实数根
8．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．4，5，
C．，， D．7，24，25
9．如图，是圆锥的轴截面图形，是圆锥的高．若，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，交对角线于点E．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，的两个外角的平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数的图象上，则k的值是（　　）
A．36 B．48 C．49 D．64
12．已知，是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，同一坐标系中有，，且抛物线与线段有两个不相同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）.
13．若x3＝﹣，则x＝ ．
14．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是 ．
15．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
16．如图，四边形是矩形，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交和于点；分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交边于点；作射线，交于点．交射线于点，连接．若，，则 ．
三、解答题（本大题共9个小题，17-19每小题6分，20-21每小题7分，22-23每小题8分，24-2每小题12分，共72分。）
17．（1）计算：；
（2）求不等式组的整数解．
18．如图，菱形中，点E，F分别是，边上的点，．求证：．
19．先化简，后求值：，其中x =．
（2）解方程：
20．为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛．所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为分，分，分和分．现分别从七、八年级各随机抽取名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图：
两组样本数据的平均数、中位数、众数及优秀率如表所示：
年级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 优秀率
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中______，______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由；
(3)若该校七年级共有学生人，请估计该校七年级成绩不低于分的学生人数．
21．近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了亿（含预售及海外票房），商家推出了两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件种娃娃和购进5件种娃娃的费用相同，购进6件种娃娃和4件种娃娃一共需要元．且种娃娃售价为元/个，种娃娃售价为元/个．
(1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？
(2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进、两种娃娃共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
22．如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点处看塔顶的仰角为．
(1)求点D与塔顶P的距离；
(2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求古塔的高度（参考数据：，，，，结果精确到米）．
23．如图，矩形在平面直角坐标系中，点A、点C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，于点D，交于点E，反比例函数的图象经过点E，且与交于点F．
(1)求k的值；
(2)连接，P为线段上一动点，求的面积．
24．如图，的顶点A，D在上，边切于点M，连接，，交于点N．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若圆心O在边上，连接，，若，，，求的半径．
25．如图1所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最小值．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标；
(3)若直线与（1）中所求的抛物线交于M、N两点．
①问：是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
②猜想当时，请直接写出a的取值范围．
参考答案
1．【考点】求一个数的绝对值、有理数大小比较
【分析】本题考查有理数比较大小．熟练掌握负数小于零，小于正数，两个负数，绝对值大的反而小，是解题的关键．根据负数小于零，小于正数，两个负数，绝对值大的反而小，进行判断即可．
解：A．，故本选项正确；
B．，故本选项错误；
C．，故本选项错误；
D．，故本选项错误；
故选：A．
2．【考点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定a和n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此即可获得答案．
解：．
故选：A．
3．【考点】两点确定一条直线、两点之间线段最短、两点间的距离、对顶角相等
【分析】本题考查直线，线段和对顶角，根据直线的性质，两点间的距离，线段的性质以及对顶角的性质，逐一进行判断即可．
解：A、过两点有且只有一条直线，原说法错误，不符合题意；
B、连接两点的线段的长叫两点间的距离，原说法错误，不符合题意；
C、两点之间线段最短，原说法正确，符合题意；
D、对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意；
故选C．
4．【考点】由三视图还原几何体
【分析】本题考查了三视图，根据题意即可得；掌握三视图是解题的关键．
解：从正面看到的形状图如图所示，
则这个几何体可能是
故选：A．
5．【考点】合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查了合并同类项、单项式除法与乘法、积的乘方等知识，根据运算法则计算后即可得到答案．
解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
6．【考点】求中位数、求众数、 利用方差求未知数据的值
【分析】本题考查了中位数与众数的定义、平均数与方差的计算公式等考点．先根据方差的计算公式得出样本数据，样本平均数，方差，再根据中位数与众数的定义逐项判断即可得．
解：由方差的计算公式得：这组样本数据为1，2，3，3，6，
∴样本的平均数是，故A正确，不符合题意；
样本的中位数是3，故B正确，不符合题意；
样本的众数是3，故C正确，不符合题意；
∴
，故D错误，符合题意；
故选：D．
7．【考点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，涉及一元二次方程判别式的正负确定其根的情况，计算，即可得到答案，熟记一元二次方程根与判别式的关系是解决问题的关键．
解：关于的一元二次方程，
，
关于的一元二次方程总有实数根，
故选：D．
8．【考点】勾股树（数）问题
【分析】本题主要考查了勾股数的知识，掌握满足的三个正整数称为勾股数，是解答此题的关键．
三个正整数，当其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方时，则这三个数就是勾股数．根据勾股数的定义逐项分析即可．
解：A．∵，∴这组数不是勾股数，不符合题意；
B．4，5，不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
C．0.6，0.8，0.9都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
D．∵，∴这组数是勾股数，符合题意．
故选：D．
9．【考点】用勾股定理解三角形、求圆锥侧面展开图的圆心角
【分析】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角度数，勾股定理求出母线长，根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的弧长，进行求解即可．
解：由图可知：，
∴，
设展开图的圆心角的度数为，则：，
∴；即：展开图的圆心角的度数为；
故选：C．
10．【考点】三角形的外角的定义及性质、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形的外角和等考点，解题的关键是熟练掌握以上考点．由平行四边形的性质得，再由平行线的性质得，易证，然后由三角形的外角性质即可得，由此即可求解．
解：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
∴，
∴
∴，
故选：C．
11．【考点】求一次函数自变量或函数值、求反比例函数解析式、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查角平分线的性质，一次函数的性质，求反比例函数解析式，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，过P分别作、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，求出，，勾股定理，根据角平分线的性质得出，设，则，根据等积法得出求出t的值，即可得出答案．
解：过P分别作、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图所示：
把代入得：，
把代入得：，
解得：，
∴，，
∴，，
∴，
∵的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴，，
∴，
设，则，
∵
∴
解得，
∴，
把代入得．
故选：A．
12．【考点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，解一元一次不等式，熟练掌握以上考点是解答本题的关键．
根据待定系数法求出直线的解析式，然后根据题意得出，再根据抛物线与线段有两个不相同的交点得到时，，且抛物线与直线有交点，所以，联立直线和二次函数的解析式，由即可求出，解出两个关于不等式的解集，求公共部分即可．
解：设直线的解析式为，
将，代入上式得，
解得：，
直线的解析式为，
，是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，
，
抛物线与线段有两个不相同的交点，
时，，且抛物线与直线有交点，
，
，
令，整理得：，
，
，
，
故选：C．
13．【考点】立方根概念理解、求一个数的立方根
【分析】直接利用立方根的定义计算得出答案．
解：∵x3＝﹣，
∴x＝．
故答案为：．
【点评】本题考查求一个数的立方根，掌握立方根的概念正确计算是解题关键．
14．【考点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标的特征，即可求解．
解：点关于原点的对称点的坐标是．
故答案为：
15．【考点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件．直接利用二次根式有意义则被开方数大于或等于零即可得出答案．
解：在实数范围内有意义，
故，
解得：．
故答案为：．
16．【考点】作角平分线(尺规作图)、根据矩形的性质求面积、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了尺规作图、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．利用矩形的性质得到，，，，由作图可知是的角平分线，推出，，通过证明得到，再结合得到，利用比例的性质即可求解．
解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
由作图可知，是的角平分线，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
又，
，
．
故答案为：．
17．【考点】实数的混合运算、负整数指数幂、求一元一次不等式组的整数解、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查实数的混合运算、解一元一次不等式组，涉及负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．
（1）先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂及绝对值，再加减运算即可求解；
（2）先求得每个不等式的解集，再求得公共部分得到不等式组的解集，进而可求得整数解．
解：（1）
；
（2）
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴该不等式组的解为，
∴该不等式组的整数解为．
18．【考点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、利用菱形的性质证明
【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质．先证明，根据性质得出即可证明结论．
证明：在菱形中，，
又，
，
，
．
19．【考点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值、解分式方程
【分析】(1)先化简式子，得x+5，再代入x =可得；
(2) 方程两边乘2（x-3）,去分母，解一元一次方程，最后经验即可.
（1）
原式=
=x+5
当时，原式=；
（2）方程两边乘2（x-3）,得：
2（x-2）=x-3+2
解方程得，x=3,
检验，当x=3时，2（x-3）=0，
所以，原方程无解.
【点评】此题考核考点：分式乘法运算，分式加减法,解分式方程.解题的关键是：借助因式分解化简式子.解分式方程要注意验根.
20．【考点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、求众数、利用合适的统计量做决策
【分析】本题考查中位数、众数、平均数、优秀率以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的计算方法和意义是正确解答的关键．
（1）根据平均数、众数的计算方法进行计算即可；
（2）比较平均数、中位数、众数、优秀率得出答案；
（3）求出七年级不低于分的人数所占的百分比即可解答．
（1）解：由扇形统计图可得（分，
由条形统计图知七年级分出现的次数最多，
．
故答案为：，；
（2）解：七年级学生的安全知识竞赛成绩更好，理由如下：
因为两班平均数相同，而七年级的中位数和众数均高于八年级，
所以七年级学生的安全知识竞赛成绩更好；
或八年级学生的安全知识竞赛成绩更好，理由如下：
因为两班平均数相同，而八年级的优秀率高于七年级，
所以八年级学生的安全知识竞赛成绩更好；
（3）解：（人，
答：估计该校七年级成绩不低于分的学生人数为人．
21．【考点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．
（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元；
（2）根据题意，可以得到利润与购进A种娃娃数量的函数关系，然后根据该商家计划用不超过元的资金购进A、B两种娃娃共个，可以求得购进A种娃娃数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少
（1）解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，
根据题意得：
解得：．
答：每个A种娃娃的进价是元，每个B种娃娃的进价是8元；
（2）解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，
根据题意得：，
解得：．
设这个娃娃全部售完获得的总利润为w元，则，
即．
，
随m的增大而增大，
当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）．
答：当购进个A种娃娃，个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是元．
22．【考点】根据等角对等边证明边相等、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，三角函数的定义，熟练运用三角函数求出，的值是解题的关键，
（1）根据，，可得，利用等腰三角形的判定定理“等角对角边”即可得到，从而即可得到答案；
（2）过点作的垂线，分别交的延长线于点，在中易得的长，在中，根据三角函数可得的长，进而即可得到的高度．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
答：点D与塔顶P的距离为．
（2）解：过点作的垂线，分别交的延长线于点，如图
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：古塔的高度为．
23．【考点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的性质等知识，解题的关键是：
（1）证明，求出，即可求解；
（2）先求出F的坐标，则可求出，证明，得出，则，进而得出，即可求解．
（1）解：在矩形中，点A、点C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，
∴，，，
∵，
∴，
∴
∴，
又，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴；
（2）解：连接，
由（1）知：，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．【考点】已知圆内接四边形求角度、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）连接，并延长交于点E，根据相切有，在中，有，即有，可得垂直平分线段，问题得解；
（2）由，，可得，根据（1）的证明方法，同理可得：，即有，根据四边形内接于，有，，进而可得，，，根据，有，，进而有，，即可证明，即有，即，再证明，即有，可得，在中，有：，在中，有：，进而可得方程，解方程即可求解．
（1）连接，并延长交于点E，
∵边切于点M，
∴，
∵在中，有，
∴，
∴，
∴垂直平分线段，
∴；
（2）在中，有，，
∵圆心O在边上，
∴为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
根据（1）的证明方法，同理可得：，
∴，
∵四边形内接于，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵在中，有，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，有：，
∴，
在中，有：，
∵，，
∴，
∴，
整理：，
解得：，或者，
∵在钝角中，，
∴，
∴，
故不符合题意，舍去，
∴，
∴，
∵，
∴的半径为：．
【点评】本题是一道圆与三角形的综合题，主要考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质，平行四边形的性质，圆周角定理，勾股定理以及解一元二次方程等知识，证明和是解答本题的关键．
25．【考点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)
【分析】（1）先根据抛物线，当时，y取最小值，得到抛物线的顶点坐标为，可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出的坐标，然后将的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是，即，可先求出的长，然后分情况讨论：①当在线段上时，过点作轴，点为垂足．由，根据相似三角形的性质定理求出的长，进而求出点的坐标；②当在的延长线上时，由，根据相似三角形的性质定理求出的长，进而求出点的坐标；
（3）联立两函数的解析式，设直线与抛物线的交点为在左侧 ），则是方程的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，，进而求出．
①由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的方程，解方程即可求出的值；
②由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的不等式，解不等式即可求出的范围．
（1）解：∵抛物线，当时，取最小值，
∴抛物线的解析式是：，即；
当时，，
即点坐标是，
当时，，
解得：或2，
即点坐标是点坐标是．
将代入直线的解析式，
得，
解得：，
则直线的解析式是：；
（2）解：过点作为垂足，
，
，
，
由勾股定理，得，
当点为线段上一点时，过点作轴，点为垂足，
，
，
，
∴，
，
，
∴点；
②当点在延长线时，作轴，点为垂足，
，
，
，
，
，
解得：，
；
综上，或；
（3）解：①存在的值，使得，
设直线与抛物线的交点为在左侧 ）．
则为方程组的解，
由方程组消去整理，得：，
∴是方程的两个根，
∴，
∴．
∵，
∴，
即，
化简得，
∴，
整理，得，
解得：，
∴存在值，使得，其值为或；
②∵，
∴，即，
化简得，
∴，
整理，得，
解得：或，
∴当时，的取值范围是或．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，图形面积的计算方法，相似三角形的性质和判定，函数图象交点，一元二次方程根与系数关系等重要考点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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