2025年四川省泸州市中考数学模拟试卷3（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025年四川省泸州市中考数学模拟试卷3
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．某机场2022年客流量达到4500万人次，4500万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．下列判断正确的是（ ）
A． B．的算术平方根是3
C．27的立方根是±3 D．正数a的算术平方根是
3．如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
4．下列说法中正确的是（ ）
A．不相交的两条直线叫平行线
B．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离
C．互相垂直的两条线段一定相交
D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．班主任为了解学生星期六、日在家的学习情况，家访了班内的六名同学，了解到他们在家的学习时间如表所示．那么，这六名同学学习时间的众数与中位数分别是（ ）
姓名 小丽 小明 小莹 小华 小乐 小凯
学习时间（小时） 5 3 6 4 4 8
A．4小时和小时 B．小时和4小时
C．4小时和5小时 D．5小时和4小时
7．已知，则实数m的范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位长度，再向下2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
9．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，的半径为2，点为上一点，半径弦于，如果，，那么的长是（ ）
A．2 B． C．1 D．
11．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（　　）

A． B． C． D．
12．如图，在矩形中，，平分交于点，交于点，过作于点，交于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）.
13．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为 ．
14．已知，则的平方根是 ．
15．已知a和b两个有理数，规定一种新运算“*”为：（其中），若，则 ．
16．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，且，直线与的平分线交于点，则点坐标为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，17-19每小题6分，20-21每小题7分，22-23每小题8分，24-2每小题12分，共72分。）
17．（1）计算：
（2）解方程：．
18．如图，菱形的对角线和相交于点，过点作的平行线并在其上截取，连接．求证：四边形是矩形．
19．（1）分解因式：
（2）化简：．
20．2024年6月29日至7月3日在成都举办了中国西部国际博览会．某校学生利用周末时间（6月30日）去体验参观，为了解该校学生去博览会体验参观时的出行方式，在当日参观的学生中随机抽取了若干名进行问卷调查，问卷给出了四种出行方式供学生选择，（A：地铁，B：步行，C：公交车，D：其他）每人只能选一项，并且必选一项，将调查得到的结果绘制成统计图，部分信息如图所示：
(1)被抽样调查的学生有 人，补全条形统计图；
(2)假设该校当日共有3000名学生去博览会体验参观，请估计该校选择公交车出行的学生共有多少人？
21．“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解3棵A种树木、4棵B种树木的售价共计155元；4棵A种树木、3棵B种树木的售价共计160元．
(1)求A、B两种树木每棵的售价分别为多少元？
(2)若该学校计划用400元购进以上两种树木（两种树木均要购买，且400元全部用完），问该学校有哪几种购买方案，请通过计算列举出来．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集；
(3)连接、，求的面积．
23．如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线，已知甲山与地面的夹角，乙山的坡比为，甲山上A点的高度米，从A处看B处的俯角为．（参考数据：，，，，，）
(1)若之间电线的长度为米，求河宽的长度：（结果精确到1米）
(2)若在河边点F处有一个信号接收站，信号站附近480米内有电流会影响信号接收，请问电线安装完成后，是否会影响信号接收站的正常工作，并说明理由．
24．如图，点A，C在的同侧，于点B，于点D，E，F是直线上的两点，交于点H，且于点P．已知，，．
(1)当点P在线段上时(B，D两点除外)，如图①所示．
①若，求的长．
②试猜想的长是一个确定的值吗？如果是，请将这个值求出来；如果不是，请说明理由．
(2)若点P是延长线上任意一点，如图②，的长同(1)中相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，求的长．
25．如图1所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最小值．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)设点P是直线上一点，且，求点P的坐标；
(3)若直线与（1）中所求的抛物线交于M、N两点．
①问：是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
②猜想当时，请直接写出a的取值范围．
参考答案
1．【考点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．根据科学记数法的表示形式解答即可．
解：4500万．
故选：B．
2．【考点】求一个数的算术平方根、立方根概念理解、求一个数的立方根
【分析】根据算术平方根、立方根的定义依次判断即可得．
解：A．，此选项错误，不符合题意；
B．9的算术平方根是3，此选项错误，不符合题意；
C．27的立方根是3，此选项错误，不符合题意；
D．正数a的算术平方根是，此选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查立方根、算术平方根，解题的关键是掌握立方根、算术平方根的定义．
3．【考点】判断简单组合体的三视图
【分析】本题考查了简单组合体的俯视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
解：从上边看，一共有三列，从左到右正方形的个数分别为1、1、2．
故选：B．
4．【考点】相交线、点到直线的距离、垂线的定义理解
【分析】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理、点到直线的距离的概念、平面内两直线的位置关系等是解题的关键．根据平行线的判定、点到直线的距离、平面内两直线的位置关系等求解判断即可．
解：A．在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故A说法不符合题意；
B．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故B说法不符合题意；
C．平面内，互相垂直的两条直线一定相交，而平面内，互相垂直的两条线段不一定相交，故C说法不符合题意；
D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D说法符合题意；
故选：D．
5．【考点】合并同类项
【分析】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则．根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项即可求解．
解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误．
故选：B．
6．【考点】求中位数、求众数
【分析】本题主要考查了求众数和中位数，熟知二者的定义是解题的关键．
根据中位数和众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，一组数据中处在最中间的一个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数进行求解即可．
解：由表格可知学习时间为4小时出现了两次，出现的次数最多，
∴这六名同学学习时间的众数为4小时，
把这组数据从小到大排列为，处在最中间的两个数据为4小时，5小时，
∴这组数据的中位数为小时，
故选：A．
7．【考点】无理数的大小估算
【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出，即可得出答案，正确估算出的范围是解此题的关键．
解：∵，
∴，即，
∴，
故选：B．
8．【考点】二次函数图象的平移
【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握“自变量左加右减，函数值上加下减”是解题关键
解：将抛物线 向左平移1个单位长度，再向下2个单位长度,所得抛物线的解析式为： ，
故选：B．
9．【考点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有没有实数根；列出方程，求解即可．
解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故选：C．
10．【考点】圆周角定理、利用垂径定理求值、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理的应用；根据三角形内角和定理得出，根据圆周角定理以及垂径定理得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．
解：∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴，
故选：C．
11．【考点】含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求线段长、正方形性质理解
【分析】根据菱形的性质可知，过点作，交的延长线于点，根据等边三角形的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再根据的面积求解即可．
解：连接，
菱形中，，，
，
是等边三角形，
对角线，
，
，
过点作，交的延长线于点，
是等边三角形，
，
，
，
的面积，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
12．【考点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，利用一元二次方程解几何问题等考点，解题的关键是熟练掌握各性质，并灵活应用．
根据条件先证明出四边形是正方形，再根据给出边的数量关系假设出未知数，利用相似三角形的性质，找出对应边成比例，列出一元二次方程，然后求出的长度，最后求出所需边的长度，进而求出角的正弦值即可．
解：如图，过点作于点，
矩形，
，，
，
，
四边形是矩形，
平分，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
设，，则，，
，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
解得，
，
整理得，
解得或（舍去），
，
在中，由勾股定理得，
根据三角形等面积法可得，
在中，由勾股定理得，
故选：C．
13．【考点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
解：点关于原点的对称点的坐标为，
故答案为：．
14．【考点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根
【分析】本题考查求一个数的平方根．解题的关键是掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，求出的值．根据非负性，求出的值，再进行计算即可．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
则的平方根是；
故答案为：．
15．【考点】解分式方程
【分析】此题考查了解分式方程，已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出的值．
解：根据新定义可得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
故答案为：．
16．【考点】用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数与几何综合
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．先求出点A和点B的坐标，再求出的长，利用面积法求出边上的高，结合得出，过点D作的垂线，垂足为H，证，求出，设，则，列方程求出m值，进而求出点D坐标，即可解决问题．
解：将代入得，，
点的坐标为，
同理可得，点的坐标为，
，
则，
令边长的高为，
则，
则，
点在线段上，且，
，
，
过点D作的垂线，垂足为H，
，平分，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
解得：，
即点的坐标为，
故答案为：．
17．【考点】求一个数的算术平方根、利用平方根解方程、求一个数的立方根、实数的混合运算
【分析】本题以考查实数的运算，平方根，立方根，绝对值的性质．
（1）分别计算各项根式的值，再根据绝对值性质化简，最后进行加减运算；
（2）对等式两边直接开平方，得到两个一元一次方程，再分别求解．
解：（1）
；
（2）
．
当时，，
当时，，
综上，方程的解为．
18．【考点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明
【分析】根据菱形的性质，得出，，再根据等量代换，得出，再根据平行四边形的判定定理，得出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理，即可得出结论．
证明：∵四边形是菱形，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
19．【考点】综合提公因式和公式法分解因式、分式加减乘除混合运算
【分析】（1）首先提取公因式（x-y），进而利用平方差公式法分解因式得出即可；
（2）先算括号里面的，把除法转化为乘法，最后进行计算即可．
解：（1）原式=(x-y)-(x-y)
= (x-y)(-1)
= (x-y)(x+1)(x-1)；
（2）原式=
=
=
＝．
【点评】题目主要考查提公因式法与公式法分解因式，分式的化简，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
20．【考点】条形统计图和扇形统计图信息关联、画条形统计图、由样本所占百分比估计总体的数量
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解统计图中的数量关系是正确解答的关键．
（1）本题考查求样本容量，根据图形中地铁数量及占比求解即可得到答案；
（2）本题考查利用样本估算总体，利用总人数乘以选择公交车出行占比即可得到答案；
（1）解：由图象可得，
样本容量为：（人），
∴步行的人数为：（人），
∴条形统计图如下图，
（2）解：由题意可得，
估计该校选择公交车出行的学生的有：（人），
答：估计该校选择公交车出行的学生共有人．
21．【考点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程整数解和二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意设未知数，列出方程或方程组；
（1）设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设A，B两种树木分别购进a棵和b棵，列出方程，再求正整数解即可．
（1）解：设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元，
根据题意，得，
解得；
答：A，B两种树木每棵的售价分别为25元，20元．
（2）解：设A，B两种树木分别购进a棵和b棵，
根据题意，得，即，
∵两种树木均要购买，且a，b均为正整数，
∴或或，
答：共有以下3种购买方案：
方案1：A种树木购进4棵，B种树木购进15棵；
方案2：A种树木购进8棵，B种树木购进10棵；
方案3：A种树木购进12棵，B种树木购进5棵．
22．【考点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）由（）得到点坐标，再根据图象解答即可；
（）设直线与的交点为，可得，再根据计算即可求解；
本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何图形，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）解：把代入得，，
∴，
∴一次函数的表达式为，，
把代入得，，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵，，
∴，，
由函数图象可知，当或时，，
∴不等式的解集为或；
（3）解：设直线与轴的交点为，
∵，
∴，
∴，
∴．
23．【考点】方位角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】（1）根据三角函数及矩形的性质得出，，确定，，再由坡度确定，即可求解
（2）过F作于点E，连接，利用三角形等面积法求解即可．
（1）：根据题意得四边形为矩形，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∵乙山的坡比为，
∴，
∴米；
（2）解：过F作于点E，
∵，，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴．
在中，，
∴≈（米）＞（米）
∴不会影响信号接收站的正常工作．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24．【考点】相似三角形的判定与性质综合、根据平行线判定与性质证明
【分析】（1）①根据，得到，于是得到，结合已知，列出比例式解答即可．
②仿照①的解法，分别表示出，，后根据，计算解答即可．
（2）仿照②的解答证明即可．
本题考查了平行线的判定，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
（1）①解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得．
②解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
∵，，，
∴，
∵，
∴，
解得．
故的长是定值，且为．
（2）解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
∵，，，
∴，
∵，
∴，
解得．
故的长是定值，且为．
故保持不变．
25．【考点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)
【分析】（1）先根据抛物线，当时，y取最小值，得到抛物线的顶点坐标为，可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出的坐标，然后将的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是，即，可先求出的长，然后分情况讨论：①当在线段上时，过点作轴，点为垂足．由，根据相似三角形的性质定理求出的长，进而求出点的坐标；②当在的延长线上时，由，根据相似三角形的性质定理求出的长，进而求出点的坐标；
（3）联立两函数的解析式，设直线与抛物线的交点为在左侧 ），则是方程的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，，进而求出．
①由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的方程，解方程即可求出的值；
②由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的不等式，解不等式即可求出的范围．
（1）解：∵抛物线，当时，取最小值，
∴抛物线的解析式是：，即；
当时，，
即点坐标是，
当时，，
解得：或2，
即点坐标是点坐标是．
将代入直线的解析式，
得，
解得：，
则直线的解析式是：；
（2）解：过点作为垂足，
，
，
，
由勾股定理，得，
当点为线段上一点时，过点作轴，点为垂足，
，
，
，
∴，
，
，
∴点；
②当点在延长线时，作轴，点为垂足，
，
，
，
，
，
解得：，
；
综上，或；
（3）解：①存在的值，使得，
设直线与抛物线的交点为在左侧 ）．
则为方程组的解，
由方程组消去整理，得：，
∴是方程的两个根，
∴，
∴．
∵，
∴，
即，
化简得，
∴，
整理，得，
解得：，
∴存在值，使得，其值为或；
②∵，
∴，即，
化简得，
∴，
整理，得，
解得：或，
∴当时，的取值范围是或．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，图形面积的计算方法，相似三角形的性质和判定，函数图象交点，一元二次方程根与系数关系等重要考点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)