10.1.3古典概型 教学设计（表格式）

教学设计
课题 10.1.3古典概型
课型 新授课
教学内容分析 本节课的主要内容是古典概型的定义与特征，古典概型中简单随机事件概率的计算等.1.古典概型是最简单的概率模型，也是高中阶段重点研究的概率模型，通过古典概型的学习，学生进一步理解随机事件和样本点的关系、事件和样本空间的关系、概率的意义，掌握研究概率模型的一般性思路.古典概型也为研究概率的基本性质提供了具体案例的支撑.2.除了自身的应用外，由于古典概型比较简单，便于解释相关概念，有利于学生体会概率的意义.通过本节课的学习，重要的是了解建立概率模型的一般方法，提高数学抽象及数学建模的素养，为后续学习条件概率，二项分布，正态分布等打好基础.本节课应高度关注：1.用列举法求基本事件的总数时，需做到不重不漏；2.在计算古典概型相关事件的概率时，要注意样本点的有限性和等可能性的判断；3.在列举样本空间的时候要注意顺序性，是有序还是无序
学习目标确定1.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率：2..通过观察类比，得出古典概型的特征以及概率计算公式，让学生感受归纳的思想，同时在计算随机事件概率的时候，多次使用了列举法以及分类讨论的思想。3.学生能对现实生活中的一些简单的概率模型进行思考和判断，体现了数学和生活的密切联系，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。
学习重难点重点：能计算古典概型中的简单随机事件的概率；难点：在计算古典概型相关事件的概率时，样本点等可能的判断.
学习评价设计针对我校学生的学习情况，我设计了三套评价表，主要从教师的课堂教学的评价、教师对学生课堂学习评价、学生课堂知识获得评价三个角度进行问卷调查来辅助敦师调整课堂教学.(1)学生对教师课堂教学的评价从学生角度对教师的课堂教学进行评价，例如概念讲解清晰度、讲课速度、提问频率、做题留白等方面设计学生对教师课堂教学的评价量表，以便于老师对课堂教学进行反思和改进.数学课堂教学评价表学习主题：10.1.3古典概型项 目分值1.老师提出的问题比较清晰，我能听得很明白 1 2 3 4 52.老师在课堂中给了我们足够的谈论和分析时间 1 2 3 4 53.老师在整个课堂中经常会叫同学来谈谈对问题的看法 1 2 3 4 54.老师会叫同学去讲台上展示自己设计的方案 1 2 3 4 55.老师在课堂中多次下台走动听取大家的设计意见，并给予指导 1 2 3 4 56.整个课堂很有逻辑，问题进阶的很好 1 2 3 4 5给老师的课堂教学建议: (2)学生课堂知识获得自我评价大部分学生对自己课堂的学习获得会有一个比较准确的判断，而学生自我知识获得判断会与老师的反馈存在一定的偏差，而这个偏差对于一线教师有效诊断学生知识获得非常关键.有必要通过问卷或者课堂观测对学生进行知识获得自我感知的知识获得偏差诊断.课堂学习评价项 目分值1.今天数学课堂中老师讲的都听得很明白，记笔记清楚 ；1 2 3 4 52.了解古典概型的概念及计算公式；1 2 3 4 53.掌握用列举法解决古典概型的计算；1 2 3 4 54.能够区分“有放回抽取”型和“无放回抽取”型古典概型的区别；1 2 3 4 55.能从课堂中体会研究古典概型的路径与方法，在探究过程中培养我的数学建模、数学抽象、数学运算素养.1 2 3 4 5小测1 1.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是多少？2.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是多少？3.在区间上任取一个数，这个数恰好大于3的概率是多少？这个概率模型属于古典概型么？
学习活动设计
教 师 活 动 学 生 活 动
环节一：创设情境 引入新课
问题1：（1）猜拳游戏中，除了心理因素外，还可以制定数学上的制胜策略，你知道是什么吗？（2）丢一枚质量均匀的骰子，丢出奇数的概率是多少？（3）丢一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是多少？问题2：数学老师到操场上去投篮，结果无非两种，投进和投不进，请问数学老师投进的概率是多少 问题3：通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，例如下表是历史上数学家做过抛硬币实验的数据.但是大量重复的试验工作量大，耗时长，且试验数据不稳定，仅得到概率的近似值，且有些时候试验带有破坏性，能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？本节课我们将在前面所学知识的基础上研究古典概型，进而解决上面的问题.对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率（probability），事件A的概率用P(A)表示. 学生活动一活动1：创设情境，激发学生本节课的学习兴趣.
环节二：古典概型的概念和计算公式
问题4：考虑下面3个随机试验，它们的共同特征有哪些？（1）抛掷一枚质地均匀硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间. Ω1＝{正面朝上，反面朝上}（2）抛掷一枚质地均匀骰子，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间. Ω2＝{1，2，3，4，5，6}（3）抛掷一枚质地均匀硬币2次，观察它落地时朝上的情况，写出试验的样本空间.Ω3＝{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}.这三个实验的共同特征是，样本空间的样本点只有有限个，每个样本点发生的可能性相等.考察这些试验的共同特征，就是要看他们的样本点积样本空间有哪些共性.可以发现，他们具有如下共同特征；（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.我们讲具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classical models of probability），简称古典概型.问题5：向一个圆面内随机地投射一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的。这是一个古典概型吗？为什么？生：不是古典概型.因为这个试验所有可能结果是圆内所有的点，样本点个数无限，不满足结果有限性．以及问题2中数学老师投篮，虽然样本空间只有两个，但它们发生的可能并不相等，所以也不是古典概型.问题6：在前面的三个随机事件中，如果在第一个问题中记事件A:“正面朝上”；在第二个问题中记事件B：“出现的点数不超过4”；在第三个问题中记事件C:“恰好一次正面朝上”.如何度量事件A,事件B和事件C发生可能性的大小？因为事件A包含一个样本点，而实验（1）的样本空间有两个样本点，所以事件A的概率P(A)=:事件B包含4个样本点,而实验（2）的样本空间有6个样本点，所以事件B的概率P(B）== :事件C包含2个样本点，而实验（3）的样本空间有4个样本点，所以事件C的概率P(c)=.一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.其中n(A)和n（Ω）分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点的个数.法国数学家拉普拉斯在1812年把该式作为概率的一般定义，现在我们称它为概率的古典定义.古典概型是一种理想化的概率模型，历史上利用古典概型确定事件发生概率的方法在十七世纪与十八世纪得到了长足的发展，而且现在也是一种非常重要的确定事件方法的概率的方法.一个随机试验是否能归结为古典概型，一定要关注这个实验是否具有古典概型的两个特征，有限性和等可能性，进而获得随机试验的样本空间和事件A所包含的样本点的个数，便可求出事件A的概率.值得关注的是，并不是所有的随机实验都能归结为古典概型.例如，抛掷一枚瓶盖，观察瓶盖落地后的状态就不能归结为古典概型. 学生活动二活动1：学生根据上述问题，探究古典概型的定义及特征.活动3：结合实例探究得出古典概型的可能性大小的计算。活动4：向学生介绍古典概率模型的历史，并强调其中的两个特征..
环节三：例题讲解
例7 单项选择题是标准化考试中常 用的题型，一般是从A, B, C, D四个选项中选择一个正确答案. 如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案， 答对的概率是多少 解：试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为Ω={A,B,C,D}.考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型.设M=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以n(M)=1.所以，考生随机选择一个答案，答对的概率P(M)=.问题7 ：在标准化考试中也有多选题，多选题是从A,B,C,D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有一个选项是正确的）.你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？如果至少有一个正确，所有可能的选择有15种：（A）,(B),(C),(D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),(A,B,C),(A,B,D),(A,C,D),(A,B,C,D),其中正确的选择只有一个，所以猜对的概率为.相比单选题猜对答案的概率要小得多，所以多选题猜对答案更难.例8、抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；（2）求下列事件的概率：A=“两个点数之和5”B=“两个点数相等”C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”分析：我们可以借助表格的行与列来表示1号骰子和2号骰子的结果，1号有6种可能的结果，2号也有6种可能的结果，所以该实验的样本空间共有36个样本点.1号骰子2号骰子1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）解：（1）该试验的样本空间Ω={（m,n）|m,n∈{1，2，3，4，5，6}}，其中共有36个样本点.由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.注：表格的形式有利于于我们分析，能清晰的呈现所有的样本点，但表达比较繁琐，集合的形式可以更简洁的表达出这36个样本点. （2）1号骰子2号骰子1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）在表格中我们可以很容易的找到这四个样本点，A={（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}所以n(A)=4，1号骰子2号骰子1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）从表格中很容易找到B={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）}所以n(B)=6， 1 1号骰子2号骰子1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）C={（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）}所以n(C)=15，从而问题7：在例8中，为什么要把两枚骰子标上记号？ 如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况？你能解释其中原因吗 如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点.这样，（1，2）和（2，1）的结果将无法区别.1号骰子2号骰子1234561（1，1）2（2，1）（2，2）3（3，1）（3，2）（3，3）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）那么这个实验的样本空间将变成包含21个样本点，这时事件A只包含（4，1）,（3，2）两个样本点，这时P(A)=,这个结果是否正确呢？答：错误，因为它不符合古典概型的特征.原因是实验的样本空间是36个样本点，这36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时，（1，1），（1，2）发生的可能性大小不等，这不符合古典概型等可能性的特征，所以不能用古典概型公式计算概率.归纳：求解古典概型问题的一般思路：（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；（3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.例9、袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出2个球，求下列事件的概率：（1）A=“第一次摸到红球”（2）B=“第二次摸到红球”（3）C=“两次都摸到红球”解：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5.第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能结果.将两次摸球的结果配对，组成20种等可能结果.用表格可以清晰表示出来.第一次第二次123451×（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）×（2，3）（2，4）（2，5）3（3，1）（3，2）×（3，4）（3，5）4（4，1）（4，2）（4，3）×（4，5）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）×（1）第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1，2行），即A=｛（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5）｝所以=（2）第二次摸到红球的可能结果有8种（表中第1，2列），即B=｛（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（1，2），（3，2），（4，2），（5，2）｝所以=（3）事件C=“两次都摸到红球”可以用事件A与事件B的积事件表示，从表格中可以看出事件C包含2个可能的结果，即C=AB=｛（1，2）,（2，1）｝所以=.问题8：如果同时摸出两个球，那么事件AB的概率是多少呢？答：第一次第二次1234512（2，1）3（3，1）（3，2）4（4，1）（4，2）（4，3）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）同时摸出两个球也就是将例9中的样本点两两合并，得到包括10个样本点的样本空间，这10个样本点仍然是等可能的，A与B的积事件两次都摸到红球只包含了1个样本点,所以P(A)=,与不放回依次摸出的两个球的概率没有差异.例题10：甲乙两人在进行“十五二十”游戏，假设双方出拳时都等可能的在“0”“5”“10”中任选一种。（1）请写出样本空间中所有的样本点并判断该试验是否为古典概型；（2）请问游戏时喊出哪一个数字获胜概率最高？解：（1）该试验的样本空间为Ω={（0,0），（0,5），（0,10），（5,0），（5,5），（5,10），（10,0），（10,5），（10,10）}，共9个样本点；（2）记事件A=“出现10点”=，所以喊出10获胜的概率最大。 学生活动三活动1:通过例7和问题2，让学生加强理解古典概型.活动2：通过例8，我们可以借助表格列举样本空间，更进一步的理解巩固古典概型活动2：设置一连串的思考题，让学生小组合作，交流讨论，对古典概型及其概率计算进一步进行探索。活动3：让学生归纳求解古典概型问题的一般思路形成知识体系，培养学生整体思考的能力。活动4：通过例 9提高学生解决问题的能力，增强学生的应用意识。活动5：解决本节开头留下的问题.
环节四： 归纳与小结
小结：1.古典概型的特征；（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.2.古典概型概率公式.一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.其中n(A)和n（Ω）分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点的个数.列举法和图表法是描述样本空间的两个重要方法.
板书设计
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10.1.3 古典概型
1.概率 例8 例9 例10
2.古典概型
特征
公式