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（苏科版） 2024-2025学年八年级下学期数学
期中测试卷
（测试范围：第七章---第九章）
（考试时间120分钟 满分120分）
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）
1．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．如意纹 B．冰裂纹
C．盘长纹 D．风车纹
2．下面调查中，所选择的调查方式合理的是（ ）
A．用普查的方式调查某种灯泡的使用寿命
B．用抽样调查的方式调查航天器零部件的安全性
C．用普查的方式调查全球中学生的视力情况
D．用普查的方式调查我们班学生早餐是否有喝牛奶的习惯
3．下列描述的事件为必然事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C．汽车累计行驶10000km，从未出现故障
D．从地面发射一枚导弹，未击中空中目标
4．某学校对八年级1班50名学生进行体能评定，进行了“长跑”、“立定跳远”、“跳高”的测试，根据测试总成绩划分体能等级，等级分为“优秀”、“良好”、“合格”、“较差”四个等级，该班级“优秀”的有28人，“良好”的有15人，“合格”的有5人，则该班级学生这次体能评定为“较差”的频率是（ ）
A．2 B．0.02 C．4 D．0.04
5．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．， B．AB＝CD，AO＝OC
C．AB∥CD，∠DAC＝∠BCA D．AB＝CD，BC＝AD
6．如图是某商品1﹣4月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最小的是（ ）
A．1月 B．2月 C．3月 D．4月
7．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝3cm，四边形AOBC的面积为12cm2，则OC的长为（ ）
A．5cm B．8cm C．10cm D．4cm
9．如图，在等边三角形ABC中，点D在边AC上，连接BD，将BD绕点B旋转一定角度，使得∠ABD＝∠CBD′，连接CD′．若∠ADB＝100°，则∠DD′C为（ ）
A．30° B．60° C．50° D．40°
10．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝4，平行四边形ABCD的面积为16，E，F分别为边AD，BC上的点，且AE＝CF，连接BE，AF，则AF+BE的最小值为（ ）
A．8 B． C．16 D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为 ．
12．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，若∠BCE＝70°，则∠EAD＝ ．
13．如图，已知，AC＝1，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AB的长是 ．
14．如图在△ABC中，点D、E为AB、AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°．若AB＝7，BC＝12，则EF的长为 ．
15．“手机阅读”已逐渐成了眼科病的主要病因，据调查表明在“中年人”中有“手机阅读”习惯的占比约达60%，若随机选择150名“中年人”进行调查，则估计有 人有此习惯．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，BE平分∠ABD，交AD于F，BE⊥DE，EG⊥AD于G，则下列说法：
①∠ADE＝∠ABE；②△BCD≌△BED； ③BF＝DE；④△BDF的面积为．
其中正确的有 ．（填序号）
三、解答题（本大题共8小题，满分共72分）
17．（8分）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25，
（1）请估计摸到白球的概率将会接近 ；
（2）计算盒子里白球有多少个？
（3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
18．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．求证：四边形ADCF是菱形．
19．（8分）本学期，市中区某中学开设了“心理健康疏导”课程，为了解学生的掌握情况，从七年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 名；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是 ，并把条形统计图补充完整；
（3）该校七年级共有学生1600名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为多少？
20．（8分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出将△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1．
（2）将△DEF绕点E顺时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1．
（3）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ．
21．（9分）如图，点B是∠MAN的边AM上的定点，点C是边AN上的动点，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，且点A的对应点D恰好落在边AN上，连结CE．当BC＝AC时．
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）若AB＝15，AD＝18，求AC的长．
22．（9分）某市为了解初中生每周锻炼身体的时长t（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：A组（3≤t＜4）；B组（4≤t＜5）；C组（5≤t＜6）；D组（6≤t＜7）；E组（7≤t＜8）进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）求出这次抽样调查的学生总人数；
（2）补全频数分布直方图；
（3）C组所在扇形的圆心角的度数为 度；
（4）根据样本估计全市12000名初中生中，每周锻炼身体的时长不少于5小时的有多少名．
23．（10分）定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β＝180°时，我们称是△A′B′C′，△ABC的“旋补三角形”，边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：（1）在图2，图3中，是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系AD＝ BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 ．
猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
24．（12分）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积．
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（苏科版） 2024-2025学年八年级下学期数学
期中测试卷
（测试范围：第七章---第九章）
（考试时间120分钟 满分120分）
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）
1．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．如意纹 B．冰裂纹
C．盘长纹 D．风车纹
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可．
【解答】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意；
B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则B不符合题意；
C是轴对称图形，也是中心对称图形，则C不符合题意；
D不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．下面调查中，所选择的调查方式合理的是（ ）
A．用普查的方式调查某种灯泡的使用寿命
B．用抽样调查的方式调查航天器零部件的安全性
C．用普查的方式调查全球中学生的视力情况
D．用普查的方式调查我们班学生早餐是否有喝牛奶的习惯
【分析】选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此求解即可．
【解答】解：A．调查某种灯泡的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，故本选项不合题意；
B．调查航天器零部件的安全性，适合采用全面调查的方式，故本选项不合题意；
C．调查全国中学生的视力情况，适合采用抽样调查的方式，故本选项不合题意；
D．调查我们班学生早餐是否有喝牛奶的习惯，适合采用全面调查的方式，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，正确记忆相关知识点是解题关键．
3．下列描述的事件为必然事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C．汽车累计行驶10000km，从未出现故障
D．从地面发射一枚导弹，未击中空中目标
【分析】根据随机事件的概念解答即可．
【解答】解：A、明天太阳从东方升起，是必然事件，符合题意；
B、随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，是随机事件，不符合题意；
C、汽车累计行驶10000km，从未出现故障，是随机事件，不符合题意；
D、从地面发射一枚导弹，未击中空中目标，是随机事件，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
4．某学校对八年级1班50名学生进行体能评定，进行了“长跑”、“立定跳远”、“跳高”的测试，根据测试总成绩划分体能等级，等级分为“优秀”、“良好”、“合格”、“较差”四个等级，该班级“优秀”的有28人，“良好”的有15人，“合格”的有5人，则该班级学生这次体能评定为“较差”的频率是（ ）
A．2 B．0.02 C．4 D．0.04
【分析】求出：“较差”的人数，再根据频率 定义求解即可．
【解答】解：“较差”的人数＝50﹣28﹣15﹣5＝2，
∴能评定为“较差”的频率0.04，
故选：D．
【点评】本题考查频数与频率，解题的关键是理解频率的定义，属于中考常考题型．
5．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．， B．AB＝CD，AO＝OC
C．AB∥CD，∠DAC＝∠BCA D．AB＝CD，BC＝AD
【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵OAAC，OBBD，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、AB＝CD，AO＝OC，当∠BAC≠∠DCA时，四边形ABCD不是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵∠DAC＝∠BCA，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB＝CD，BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
6．如图是某商品1﹣4月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最小的是（ ）
A．1月 B．2月 C．3月 D．4月
【分析】根据利润＝售价﹣进价和图象中给出的信息即可得到结论．
【解答】解：由图可知：
1月，利润是5﹣4＝1；
2月，售价＞4，进价是2，此时利润大于2；
3月，售价小于4，进价是3，此时利润小于1；
4月，利润是3﹣2＝1
综上3月份的利润小于1，最小，
故选：C．
【点评】本题考查了折线统计图，有理数大小的比较，正确的把握图象中的信息，理解利润＝售价﹣进价是解题的关键．
7．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立秋”，进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立秋”，
∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为，
故选：B．
【点评】本题考查了根据概率公式求概率，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题关键．
8．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝3cm，四边形AOBC的面积为12cm2，则OC的长为（ ）
A．5cm B．8cm C．10cm D．4cm
【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：根据作图，AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB＝3cm，四边形OACB的面积为12cm2，
∴AB OC3×OC＝12，
解得OC＝8cm．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形OACB是菱形是解题的关键．
9．如图，在等边三角形ABC中，点D在边AC上，连接BD，将BD绕点B旋转一定角度，使得∠ABD＝∠CBD′，连接CD′．若∠ADB＝100°，则∠DD′C为（ ）
A．30° B．60° C．50° D．40°
【分析】根据∠ABD＝∠CBD′，以及∠ABC＝60°可证∠DBD′＝60°，进而证得△BDD′为等边三角形，有∠BD′D＝60°，再根据SAS证△ABD≌△CBD′，可得到∠BD′C＝∠BDA＝100°，即可求出∠DD′C为40°．
【解答】解：∵∠ABD＝∠CBD′，
∴∠ABD+∠DBC＝∠CBD′+∠DBC＝60°，
∴∠DBD′＝60°，
又∵BD＝BD′，
∴△BDD′为等边三角形，
∴∠BD′D＝60°，
在△ABD和△CBD′中，
，
∴△ABD≌△CBD′（SAS），
∴∠BD′C＝∠BDA＝100°，
∴∠DD′C＝∠BD′C﹣∠BD′D＝100°﹣60°＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，找到全等三角形是解答本题的关键．
10．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝4，平行四边形ABCD的面积为16，E，F分别为边AD，BC上的点，且AE＝CF，连接BE，AF，则AF+BE的最小值为（ ）
A．8 B． C．16 D．
【分析】先证四边形AECF是平行四边形，可得AF＝EC，由轴对称的性质可得EH＝EC，CN＝HN，AD⊥CH，则当点B，点E，点H三点共线时，AF+BE的最小值为BH的长，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，连接EC，作点C关于AD的对称点H，连接BH，EH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，AD∥BC，
又∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝EC，
∵点C，点H关于AD对称，
∴EH＝EC，CN＝HN，AD⊥CH，
∴EC＝AF＝EH，
∴AF+BE＝BE+EH，
∴当点B，点E，点H三点共线时，AF+BE的最小值为BH的长，
∵AD＝4，平行四边形ABCD的面积为16，AD⊥CH，
∴AD CN＝16，
∴CN＝4，
∴CH＝8，
∴BH4，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为 ．
【分析】设红球有x个，根据摸出一个球是蓝球的概率是，得出红球的个数，再根据概率公式即可得出随机摸出一个红球的概率．
【解答】解：∵在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球，
随机摸出一个蓝球的概率是，
设红球有x个，
∴，
解得：x＝3
∴随机摸出一个红球的概率是：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
12．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，若∠BCE＝70°，则∠EAD＝ ．
【分析】先根据SAS证出△AED≌△CED，可得∠EAD＝∠ECD，根据正方形的对角线性质以及∠BCE＝70°可求∠BEC的度数，再根据三角形外角与内角的关系可求∠ECD的度数，最终可求出∠EAD的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，
∵DE＝DE，
∴△AED≌△CED（SAS），
∴∠EAD＝∠ECD，
又∵∠BCE＝70°，
方法1：∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BCE＝20°．
方法2：∴∠BEC＝65°，
∵∠BEC＝∠CDE+∠ECD，
即65°＝45°+∠ECD，
∴∠ECD＝20°，
∴∠EAD＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题主要考查正方形对角线平分对角的性质，解题的关键还需要借助三角形外角与内角的关系，再灵活运用三角形全等进行转化．
13．如图，已知，AC＝1，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AB的长是 ．
【分析】直接利用中心对称的性质得出DC，DE的长，进而利用勾股定理得出答案．
【解答】解：∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，
∴DC＝AC＝1，DE＝AB，
∴AD＝2，
∴在Rt△EDA中，DE3，
∴AB＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了中心对称以及勾股定理，正确得出DC，DE的长是解题关键．
14．如图在△ABC中，点D、E为AB、AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°．若AB＝7，BC＝12，则EF的长为 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF，根据三角形中位线定理求出DE，计算即可．
【解答】解：在Rt△AFB中，D为AB的中点，AB＝7，
∴DFAB＝3.5，
∵DE为△ABC的中位线，BC＝12，
∴DEBC＝6，
∴EF＝DE﹣DF＝2.5，
故答案为：2.5．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15．“手机阅读”已逐渐成了眼科病的主要病因，据调查表明在“中年人”中有“手机阅读”习惯的占比约达60%，若随机选择150名“中年人”进行调查，则估计有 人有此习惯．
【分析】用总人数乘以有“手机阅读”习惯的百分比，据此可估计总体中有此习惯的人数．
【解答】解：根据题意知估计有此习惯的人数为150×60%＝90（人），
故答案为：90．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，BE平分∠ABD，交AD于F，BE⊥DE，EG⊥AD于G，则下列说法：
①∠ADE＝∠ABE；②△BCD≌△BED； ③BF＝DE；④△BDF的面积为．
其中正确的有 ．（填序号）
【分析】根据矩形的性质可得∠BAD＝90°，根据BE⊥DE，进一步可得∠ADE＝∠ABE，即可判断①选项；延长DE交BA的延长线于点M，过点E作EN⊥AM于点N，先证明四边形AGEN是矩形，再证明△BED≌△BEM（ASA），根据全等三角形的性质可得BM＝BD，ME＝DE，再证明△MNE≌△EGD（AAS），可得NE＝GD，MN＝GE，然后再证明△ABF≌△GDE（ASA），根据全等三角形的性质可得BF＝DE，AF＝GE，可判断③选项；根据AB＝CD，AB≠DE，可判断②选项；先根据勾股定理求出BD的长度，进一步可得AM的长度，根据AF＝GE＝AN＝MN，可得AF的长度，进一步可得DF的长度，根据△BDF的面积计算，即可判断④选项．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°．
∵BE⊥DE，
∴∠DEF＝∠BAD＝90°，
∵∠AFB＝∠DFE，
∴∠ADE＝∠ABE，
故①符合题意；
在矩形ABCD中，CD＝AB＝2，BC＝4，
延长DE交BA的延长线于点M，过点E作EN⊥AM于点N，如图所示：
则∠ENA＝∠ENM＝90°，
在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠NAG＝90°，
∵EG⊥AD，
∴∠AGE＝∠DGE＝90°，
∴四边形AGEN是矩形，
∴AN＝GE，NE＝AG，
∵BE⊥DE，
∴∠BED＝∠BEM＝90°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE，
在△BED和△BEM中，
，
∴△BED≌△BEM（ASA），
∴BM＝BD，ME＝DE，
∵∠MAG＝∠EGD＝90°，
∴AM∥EG，
∴∠M＝∠GED，
在△MNE和△EGD中，
，
∴△MNE≌△EGD（AAS），
∴NE＝GD，MN＝GE，
∴AG＝GD＝2，
∴AB＝GD，
在△ABF和△GDE中，
，
∴△ABF≌△GDE（ASA），
∴BF＝DE，AF＝GE，
故③符合题意；
∵AB＝CD，AB≠DE，
∴△BCD和△BED不全等，
故②不符合题意；
在Rt△BCD中，根据勾股定理，得BD2，
∴BM＝BD＝2，
∴AM＝22，
∴GE＝AN＝MN1，
∴AF＝GE1，
∴DF＝4﹣（1）＝5，
∴△BDF的面积5，
故④符合题意，
综上所述，符合题意的有①③④，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线，添加合适的辅助线是解题的关键．本题综合性较强，难度较大．
三、解答题（本大题共8小题，满分共72分）
17．（8分）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25，
（1）请估计摸到白球的概率将会接近 ；
（2）计算盒子里白球有多少个？
（3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
【分析】（1）用频率稳定于0.25，估计概率就是0.25；
（2）用60乘0.25，计算即得；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据摸到白球的概率为建立方程，解方程检验，即可得解．
【解答】解：（1）∵大量重复摸球试验，摸到白球的频率稳定于0.25，
∴摸到白球的概率接近0.25；
故答案为：0.25；
（2）60×0.25＝15（个），
答：盒子里白球有15个；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；
根据题意得：，
解得：x＝15，
经检验得：x＝15为所列方程的解，且符合题意，
∴x＝15，
答：需要往盒子里再放入15个白球．
【点评】本题主要考查了概率，熟练掌握用频率估计概率，概率的定义及计算公式，用概率还原事件，是解决问题的关键.
18．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．求证：四边形ADCF是菱形．
【分析】由直角三角形斜边上中线的性质可得ADBC＝BD＝CD，然后由全等三角形判定与性质可得AF＝BD＝CD，最后根据菱形的判定方法可得结论．
【解答】证明：在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴ADBC＝BD＝CD，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（ASA），
∴AF＝BD＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD＝DC，
∴四边形ADCF是菱形．
【点评】此题考查的是菱形的判定、直角三角形斜边上中线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
19．（8分）本学期，市中区某中学开设了“心理健康疏导”课程，为了解学生的掌握情况，从七年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 名；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是 ，并把条形统计图补充完整；
（3）该校七年级共有学生1600名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为多少？
【分析】（1）根据B级人数和所占的百分比，可以求得本次抽查的人数；
（2）根据条形统计图中的数据，可以求得扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数，再计算出C级的人数，即可将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，即可计算优秀的人数．
【解答】解：（1）本次抽样测试的有：12÷30%＝40（名），
故答案为：40；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是：360°54°，
故答案为：54°．
C级有：40﹣6﹣12﹣8＝14（人），
补全的条形统计图如图所示；
（3）1600240（人），
答：估计优秀的有240人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（8分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出将△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1．
（2）将△DEF绕点E顺时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1．
（3）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ．
【分析】（1）根据中心对称的性质即可画出△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质即可画出△D1EF1；
（3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得点P的位置．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
；
（2）如图，△D1EF1即为所求；
（3）根据旋转的性质可得，旋转中心为AD和CF垂直平分线的交点，图中点P即为旋转中心，
∴P（0，1），
故答案为：（0，1）．
【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
21．（9分）如图，点B是∠MAN的边AM上的定点，点C是边AN上的动点，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，且点A的对应点D恰好落在边AN上，连结CE．当BC＝AC时．
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）若AB＝15，AD＝18，求AC的长．
【分析】（1）证出∠ECD＝∠A＝∠BEC，得到AB∥CE，AC∥BE，即可得出结论；
（2）过点B作BH⊥AD，由勾股定理得AH＝12，设AC＝BC＝x，则CH＝x﹣9，在Rt△HCB中，利用勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵BC＝AC，
∴∠A＝∠ABC，
∴∠BCD＝∠A+∠ABC＝2∠A，
∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，
∴AB＝BD，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE，
∴∠BDA＝∠A，∠BCE＝∠BEC，
∴∠A＝∠BCE，
∵∠BCD＝∠BCE+∠ECD，
∴∠ECD＝∠A＝∠BEC，
∴AB∥CE，AC∥BE，
∴四边形ABEC是平行四边形；
（2）解：如图，过点B作BH⊥AD，垂足为H，
∵BD＝BA，BH⊥AD，
∴AHAD＝9，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：BH12，
设AC＝BC＝x，则CH＝x﹣9，
在Rt△HCB中，由勾股定理得：（x﹣9）2+122＝x2，
解得：x，
即AC的长为．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定、旋转的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的判定等知识，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程是解题的关键．
22．（9分）某市为了解初中生每周锻炼身体的时长t（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：A组（3≤t＜4）；B组（4≤t＜5）；C组（5≤t＜6）；D组（6≤t＜7）；E组（7≤t＜8）进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）求出这次抽样调查的学生总人数；
（2）补全频数分布直方图；
（3）C组所在扇形的圆心角的度数为 度；
（4）根据样本估计全市12000名初中生中，每周锻炼身体的时长不少于5小时的有多少名．
【分析】（1）由B组人数及其所占百分比可求出这次抽样调查的学生总人数；
（2）根据各组人数之和等于样本容量求出D组人数，然后补全图形即可；
（3）用360°乘以C组人数所占比例即可解答；
（3）用总人数乘以样本中C、D、E组人数和所占比例即可解答．
【解答】解：（1）这次抽样调查的学生总人数100÷20%＝500．
答：这次抽样调查的学生总人数为500．
（2）D组人数为500﹣（50+100+160+40）＝150（人），
补全图形如下：
．
（3）C组所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：115.2．
（4）估计全市12000名初中生中，每周锻炼身体的时长不少于5小时的有（人）．
答：估计全市12000名初中生中，每周锻炼身体的时长不少于5小时的有8400人．
【点评】本题主要考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体等知识点，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率＝频数÷总数是正确解答的关键．
23．（10分）定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β＝180°时，我们称是△A′B′C′，△ABC的“旋补三角形”，边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：（1）在图2，图3中，是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系AD＝ BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 ．
猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
【分析】（1）①根据含30°直角三角形的性质解答；②证明△AB′C′≌△ABC，根据全等三角形的性质得到B′C′＝BC，根据直角三角形的性质计算；
（2）证明四边形AB′EC′是平行四边形，得到B′E＝AC′，∠BAC′+∠AB′E＝180°，根据全等三角形的性质得到AE＝BC，得到答案．
【解答】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，
∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，
∴∠B′AC′＝120°，AB＝AB′，AC＝AC′，
∴AB′＝AC′，
∴∠AB′D＝30°，
∴ADAB′，
∴ADBC，
故答案为：；
②∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，
∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，AB＝AB′，AC＝AC′，
在△AB′C′和△ABC中，
，
∴△AB′C′≌△ABC（SAS），
∴B′C′＝BC＝8，
∵∠B′AC′＝90°，AD是△ABC的“旋补中线”，
∴ADB′C′＝4，
故答案为：4；
（2）猜想ADBC．
证明：如图，延长AD至点E使得AD＝DE，连接B′E、C′E，
∵AD是△AB′C’的中线，
∴B′D＝C′D，
∵DE＝AD，
∴四边形AB′EC′是平行四边形，
∴B′E＝AC′，∠B′AC′+∠AB′E＝180°，
∵α+β＝180°，
∴∠B′AC′+∠BAC＝180°，
∴∠EB′A＝∠BAC，
在△EB′A和△CAB中，
，
∴△EB′A≌△CAB（SAS），
∴AE＝BC，
∴ADBC．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键．
24．（12分）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积．
【分析】（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要证明△EMD≌△ENF即可解决问题；
（2）只要证明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解决问题；
（3）求出DF的长，由正方形的面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF（ASA），
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形；
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝3，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝6；
（3）解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB，
∴DF，
∴正方形DEFG的面积DF2（）2．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
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