2024-2025学年江苏省常州市田家炳高级中学高二（下）调研数学试卷（3月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省常州市田家炳高级中学高二（下）3月调研
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某物体的位移米与时间秒的关系为，则该物体在时的瞬时速度是( )
A. 米秒 B. 米秒 C. 米秒 D. 米秒
2.下列式子正确的有( )
A. B. ，
C. D.
3.设，，向量，，，且，，则( )
A. B. C. D.
4.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
5.若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D.
6.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.如图：正三棱锥中，、分别在棱、上，：：：，且，则的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A. 有两个极值点
B. 为函数的极大值
C. 有两个极小值
D. 为的极小值
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若构成空间的一个基底，则，，必共面
B. 若空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 若空间向量、满足，则与夹角为钝角
D. 点关于平面对称的点的坐标是
11.已知函数，是自然对数的底数，则( )
A.
B. 若，则
C. 的最大值为
D. 若关于的不等式有正整数解，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数的导函数是偶函数，则在点处的切线方程为______．
13.已知函数，则的最小值为______．
14.已知，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极小值．
求实数，的值；
当时，求函数的值域．
16.本小题分
如图，正四面体四个面都是正三角形的棱长为，是棱的中点，点满足，点满足．
用向量表示；
求．
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若对任意的，，且，都有，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调区间；
当时，恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数其中实数为常数．
若不存在极值点，求实数的取值范围；
若存在两个极值点，，且，求的取值范围．
参考答案
1.
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4.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可知，
因为在处取极小值，所以，解得，
此时，
所以在上单调递减，在上单调递增
所以在时取极小值，符合题意
所以，，又，所以．
综上，．
由得，
所以，
列表如下：
递增 极大值 递减 极小值 递增
故时，的值域为．
16.解：是棱的中点，点满足，点满足，
；
四面体是正四面体，正四面体四个面都是正三角形的棱长为，
，，
，同理可得，，
，解得．
17.解：由函数，
可得，
若，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
若时，可得，所以在上递增，无递减区间；
若，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
若，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，当时，增区间为，减区间为；
当时，增区间为，无减区间；
当时，增区间为，，减区间为；
当时，增区间为，，减区间为．
由函数，
因为对任意的，，且，都有，
不妨设，则等价于，
设，等价于在上是增函数，
因为，可得，
依题意，对任意有恒成立，
又由，可得，即实数的取值范围为．
18.解：当时，，
则，
其中恒成立，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
由，可得．
令，则．
令，则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以．
所以，在上单调递增．
所以当时，的最小值为，所以．
故实数的取值范围是．
19.解：，
，
设，，
不存在极值点，
是定义域上的单调函数，而函数的图象为开口向上的抛物线，
在定义域上恒成立，即在上恒成立，
又二次函数图象的对称轴为，且图象过定点，
或，解得，
实数的取值范围为．
由知的两个极值点，满足，
所以，，，，
不妨设，
则当时，当时，当时，
所以在上是减函数，
，
，
令，则，又，即，
解得，，
设，
则，
在上单调递增，
，
即
所以的取值范围为．
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