2024-2025学年广东省佛山四中、南海一中高二（下）段考数学试卷（4月份）（含答案）

2024-2025学年广东省佛山四中、南海一中高二（下）4月段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列的前项和为，则等于( )
A. B. C. D.
2.已知函数在处可导，且，则( )
A. B. C. D.
3.数列满足，，其前项的积为，则( )
A. B. C. D.
4.已知是函数的导函数，且的图象如图所示，则函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的公差为，前项和为，且，则下列不正确的是( )
A. B. C. D.
6.若函数单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.数列满足，，数列的前项和为( )
A. B.
C. D.
8.设函数是定义在上的奇函数，为其导函数当时，，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染个人为第一轮传染，第一轮被传染的个人每人再传染个人为第二轮传染，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为天，初始感染者为人，则( )
A. 第三轮被传染人数为人
B. 前三轮被传染人数累计为人
C. 每一轮被传染的人数组成一个等比数列
D. 被传染人数累计达到人大约需要天
10.已知等比数列的前项和为，且，为等差数列，且，，记集合中元素的个数为，数列的前项和为，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若曲线在点处的切线方程为，则
B. 若，则函数在上单调递增
C. 若，则函数在上的最小值为
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.已知数列中，，，则 ______．
13.已知函数，则 ______．
14.已知关于的方程恰有三个不同的实数根，则当函数时，函数的极大值为______，实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的首项为，，正项数列满足．
求的通项公式；
求的前项积．
16.本小题分
已知函数在处取得极值．
求函数的解析式及单调区间；
求函数在区间的最大值与最小值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点．
求证：平面平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知数列满足，当时，．
证明数列是等差数列，并求的通项公式；
证明：．
19.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
若函数有个零点，求实数的取值范围；
若关于的方程有两个不相等的实数根，记其中一个实数根为，求证：．
参考答案
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15.解：等差数列的首项为，，正项数列满足．
由题意可得，
所以，
又，即，
化简可得，
所以的通项公式为．
由可得，
当时，，又，所以，
所以，
则．
16.解：由，得，
因为函数在处取得极值，
所以，解得，
故，定义域为，
，令，得或，
令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
显然为极小值点，故，
单调递增区间为，单调递减区间为，
由知，在上单调递增，在上单调递减，
表格如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又，
故的最大值为，最小值为．
17.解：证明：因为底面为矩形，，
所以，
设三棱锥的高为，又三棱锥的体积为，
所以，
所以，
又侧面是等边三角形，且，
取的中点，连接，可得，从而为三棱锥的高，
所以平面，又平面，
所以，又，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
取的中点，连接，
则，
故由可以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角标系，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：因为，
所以，即，
又，故是首项为，公差的等差数列，
所以，所以；
证明：因为，
所以
因为，所以．
19.解：因为，
所以，则，
，，
故切线方程为，
即
函数定义域为，
，
当时，，此时在上单调递减；
此时至多有一个零点，不符合题意，舍去，
当时，令，得，
所以在上，则在单调递增，
在上，则在单调递减，
当，，，，
故若有两个零点，则，
即，
解得，
所以实数的取值范围是；
证明：由，可得，
由可知，当时，才有两个不相等的实根，且，
要证，
只需证，
只需证，
而，则，否则方程不成立，
只需证，化简得，
令，
则，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以，而，所以，
所以，得证．
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