山东省青岛市育才中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题（含答案）

2024-2025学年山东省青岛市崂山区育才中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是( )
A. 先向下平移2个单位，再向左平移3个单位 B. 先向上平移2个单位，再向右平移3个单位
C. 先向下平移2个单位，再向右平移3个单位 D. 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
3.用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程，正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地ABC上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在( )
A. 三边中线的交点 B. 三个角的平分线的交点
C. 三边高线的交点 D. 三边垂直平分线的交点
5.如图所示的几何体，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为( )
A. B.
C. D.
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCO的顶点O是坐标原点，顶点A在反比例函数的图象上，对角线OB在x轴上.若菱形ABCO的面积是，则k的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，四边形ABCD中，R是CD中点，E、F分别是AP、RP的中点，当动点P在CB上从C向B移动时，下列结论成立的是( )
A. 线段EF的长逐渐增大
B. 线段EF的长逐渐减小
C. 线段EF的长不变
D. 线段EF的长与点P的位置有关
9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是AC上任一点，于E，于F，若，，则的值为( )
A.
B. 5
C.
D. 10
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.已知，那么的值是______.
11.王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球，放回、搅匀，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的频率
袋中白球的个数约为______.
12.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点若，四边形ABCD的面积为27，则四边形EFGH的面积为______.
13.如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形位置，此时的中点恰好与D点重合，交CD于点若，则的面积为______.
14.如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转得到，再将绕点旋转得到，再将绕点旋转得到，…，按此规律进行下去，若点B的坐标为，则点的坐标为______.
15.如图，在正方形ABCD中，F在AB上，E在BC的延长线上，，连接DF、DE、EF，EF交对角线BD于点N，M为EF的中点，连接MC，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线MC是BD的垂直平分线；④若，则；其中正确结论的有______.
三、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题4分
请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
已知：，线段a如图所示.
求作：等腰，使得顶角，底边BC上的中线长为线段a的长度.
17.本小题8分
计算：
解不等式组：，并写出不等式组的非负整数解.
先化简：，然后从，，0，2中选一个合适的数作为a的值代入求值.
18.本小题6分
如图所示的转盘，被均分成5等份，分别标记数字1、2、3、4、5，小娟和小丽玩转盘游戏，转动转盘指针停在哪个区域就得相应分数指针停在分界线，则重转
如果约定游戏规则：小娟连续转两次，两次得分之积为奇数则小娟获胜；小丽连续转两次，两次得分之积为偶数则小丽获胜，试问这个游戏公平吗？请说明理由.
19.本小题6分
如图是苏州相门城墙的侧面示意图，城墙截面ABFE为正方形，相门最高点G位于城墙正上方，且到城墙顶端AE的距离等于城墙AB的高，CD为苏州护城河，宽为51m，若点C处的景观灯光线照到相门最高点G时，测得，点A处景观灯光线照到护城河边缘D处时，测得，求相门最高点G到地面的高度.
参考数据：
20.本小题8分
五一假期为旅游旺季，越来越多的人选择在假期外出旅游.为方便更多的游客在园区内休息，太白湖景区决定向某公司采购一批户外休闲椅.经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知弧形椅与条形椅的单价之比为4：3，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张.
求弧形椅和条形椅的单价分别是多少元；
已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进200张休闲椅，并保证至少增加800个座位，请通过计算说明，怎样安排购买方案，才能使购买费用最低.
21.本小题8分
如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，
求证：≌；
若BC平分，请判断并证明四边形BECD的形状．
22.本小题9分
如图1，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，已知
求反比例函数和一次函数的表达式；
一次函数的图象与x轴交于点C，点未在图中画出是反比例函数图象上的一个动点，若，求点D的坐标；
若点M是坐标轴上一点，点N是平面内一点，当四边形ABMN为矩形时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标______.
23.本小题10分
某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售.经市场调查发现：当销售单价为16元时，日销售量为48盒，销售单价每上涨2元，日销售量减少4盒.
请直接写出这种糖果的日销售量盒与销售单价元之间的函数关系式______.
若该超市每口最多用400元购进这种糖果，且规定销售单价不超过28元，求这种糖果的销售单价定为多少元时，所获日销售利润元最多，最多为多少元；求这种糖果的销售单价定为多少元时，所获日销售利润元最少，最少为多少元.
若该超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，求m的值为多少时，赠送礼品后这种糖果口销售获得的最大利润为392元.
24.本小题6分
某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.
自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 m 0 …
其中，______；
根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，“数学兴趣小组”的同学们画出了函数图象的一部分，请你补全这个函数图象并利用图象解决下列问题：
①方程有______个实数根；
②关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______；
③不等式的解集是______.
25.本小题10分
如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿方向绕行一周，同时动直线1从AC开始，以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交AB、BC于D、E两点.当点P运动到点A时，直线l也停止运动.
当点P在AC上运动时，
①求的值；
②把绕点E顺时针方向旋转，当点P的对应点落在ED上时，ED的对应线段恰好与AB垂直，求此时t的值.
当点P关于直线DE的对称点为F时，四边形PEFD能否成为菱形？若能，请求出t的值，若不能.请说明理由.
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.B
5.A
7.B
8.C
9.C
10.2
11.3
12.108
13.
14.
15.①②③④
16.解：如图，即为所求．

17.解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
所以不等式组的解集为，
所以不等式组的非负整数解为0，1；
原式
，
且且，
可以取，
当时，原式
18.解：此游戏不公平，理由如下：
列表如下：
1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25
由表知，共有25种等可能结果，其中积为奇数的有10种结果，积为偶数的有15种结果，
所以小娟获胜的概率为，小丽获胜的概率为，
，
此游戏不公平．
19.解：作于点M，交AE于点
四边形ABCD是正方形，
，
四边形ABMN是矩形，
，
相门最高点G位于城墙正上方，且到城墙顶端AE的距离等于城墙AB的高，
设GN长则
根据图形的对称性，可得
在中，，
，
在中，，
，
解得：
答：相门最高点G到地面的高度约为
20.解：设弧形椅的单价是x元，条形椅的单价是y元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
弧形椅的单价是160元，条形椅的单价是120元．
设购买弧形椅m张，则购买条形椅张．
根据题意，得，
解得；
设购买费用为w元，则，
，
随m的减小而减小，
，
当时，w值最小，张，
购买弧形椅和条形椅各100张才能使购买费用最低．
21.证明：四边形ABCD为平行四边形，
，，
，
又为BC的中点，
，
在和中，
，
≌；
解：四边形BECD是菱形；
证明：≌，
，，
四边形BECD是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
四边形BECD是菱形．
22.解：点是反比例函数与一次函数的交点，
，，
反比例函数和一次函数的表达式分别为：，；
一次函数中，当时，，
，
设，
，
，
，
点在上，
或1，
或；
存在点M，N，使得四边形ABMN是矩形，理由如下：
①当点M在x轴上时，如图，设点M的坐标为，
过点B作轴于点G，
，，
∽，
：：CB，
，，
，，
，
：：，
，
点M的坐标为；
②当点M在y轴上时，过点B作轴于点H，如图，
设点M的坐标为，
，
，
，
，
，，
∽，
：：BQ，
：：，
，
点M的坐标为，
存在点M，N，使得四边形ABMN是矩形，点M的坐标分别为或，
故答案为：或
23.解：由题意，当销售单价为16元时，日销售量为48盒，销售单价每上涨2元，日销售量减少4盒，
这种糖果的日销售量盒与销售单价元之间的函数关系式为：，即
故答案为：
由题意，设日销售利润为w元，
又该超市每口最多用400元购进这种糖果，且规定销售单价不超过28元，
，
当时，w取最大值为450；当时，w取最小值为
答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；糖果销售单价定为20元时，所获日销售利润最大，最大利润是400元．
最大利润为392元，
，
当时，，
每盒糖果的利润元
舍去．
答：
24.解：由题意，当时，，
故答案为：
根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示．
①观察函数图象可知：函数的图象与只有3个交点，
方程有3个实数根．
故答案为：
②观察图象可知：关于x的方程有4个实数根时，
的取值范围是
故答案为：
③由题意，不等式的解集就是的解集，
不等式的解集是函数图象在x轴上方部分对应的自变量的范围．
结合图象可得，或
故答案为：或
25.解：①当点P在AC上运动时，设运动时间为t s，则有，，
直线，
，
如图1，过点D作于点G，则四边形CEDG是矩形，
，，
，
，
，
，
，
即；
②，
，
，
，
直线，
直线，
，，
由旋转的性质，得：，
，
，
又，
∽，
，
即，
解得：；
四边形PEFD能成为菱形，理由如下：
点F是点P关于直线DE的对称点，
垂直平分PF，
当PF也垂直平分DE时，四边形PEFD为菱形．
直线，
∽，
，
即，
，
①当点P在AC上时，连接PF，如图2所示：
若PF垂直平分DE，则有，
，
解得：
②当点P在BC上时，P、F、E三点都在BC轴上，构不成四边形；
③当点P在BA上时，
若点P在直线l的右侧，连接PF，如图3所示：
类比①可得：，
解得：，
若点P在直线l的左侧，P、E、F、D四点构不成凸四边形；
综上所述，当t为或时，四边形PEFD为菱形．