高2024级高一下4月考试
数学试题
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2．答卷前.考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 已知复数，则的虚部为（）
A B. 1 C. D. 3
2. 平面向量与的夹角为,则
A. B. 12 C. 4 D.
3. 设为两个非零向量，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为（）．
A. 5千米 B. 千米 C. 4千米 D. 千米
5. 已知，则在上投影向量为（）
A. B. C. D.
6. 中，三边之比，则等于（）
A. B. C. 2 D.
7. 为所在平面上动点，点满足, ,则射线过的
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
8. 如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9. 若复数，则（）．
A. B. z在复平面内对应的点位于第三象限
C. D. 复数满足，则的最大值为
10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则有两解
C. 若，则为钝角三角形
D. 若，则为等腰三角形或直角三角形
11. 已知中，，D在BC上，AD为的角平分线，E为AC中点，下列结论正确的是（）
A. B. 的面积为
C. D. P在的外接圆上，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，___________．
13. 已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是_________________．
14. 已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15. 已知向量，，
（1）若，求的值；
（2）若，求向量与夹角的余弦值.
16. 在中，角的对边分别为，且满足．
（1）求B的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
17. 记的内角的对边分别为，满足.
（1）求角；
（2）若，，是中线，求的长.
18. 在中，角所对的边分别为，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分）
①
②
③
（1）求的大小；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.
19. 在中，是边上靠近三等分点.
（1）若，证明：；
（2）若.
（i）求面积的最大值；
（ii）求最小值.高2024级高一下4月考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.【答案】A
2. 【答案】D
3. 【答案】A
4. 【答案】B
5. 【答案】A
6. 【答案】C
7. 【答案】B
8. 【答案】D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9. 【答案】ACD
10. 【答案】ACD
11. 【答案】AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 【答案】
13. 【答案】
14. 【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15. （1），由可得：，解得：，
；3
（2），由可得：，解得：，
.
16. （1）解：因为，可得，
由余弦定理得，
又由正弦定理得，
因为，所以，所以，所以，
又因为，所以.
（2）解：由三角形的面积公式，可得，可得，
又由余弦定理得，
因为，所以，解得，
所以的周长为．
17. （1）因为，由正弦定理可知：，
由，故，
∴
∴，
∴，又，
所以；
（2）根据数量积的定义，由，得，
又，在中由余弦定理得：
∵，∴，
所以
18. （1）选①：在中，由及正弦定理得，
则，又，于是，
而，解得，又，则，
所以；
选②：在中，，且，
则，即，
由正弦定理得，又，
于是，而，则，又，
所以；
选③：在中，由及正弦定理得，
得，即，
由余弦定理得，又，
所以；
（2）在中，由正弦定理，得，
由（1）知，即，由为锐角三角形，
得，即，于，
所以，即的取值范围为，
所以.
19. （1）
因为是边上靠近的三等分点，所以，
所以，
设内角的对边分别为，则，
所以，即，
在中，由余弦定理得，
所以，
化简得，
即.
（2）（i）在中，由余弦定理得，
又，
所以，
当且仅当，即为等边三角形时等号成立，
所以，
又是边上靠近的三等分点，
所以，
即的面积的最大值为.
（ii）在中，，
由正弦定理，得，
又，
所以，
因为，所以，
由余弦定理，得，
将代入上式，化简得，
所以
，其中，
当，即时，取得最小值，
的最小值为.
