高考模拟练习卷（含解析）2024-2025学年江苏省南京市

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高考模拟练习卷-2024-2025学年江苏省南京市
一、单选题
1．复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．“函数的值域为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．展开式中的常数项为（ ）
A． B．
C． D．
5．故宫博物院收藏着一幅《梧桐双兔图》.该绢本设色画纵约，横约，挂在墙上最低点离地面，小兰身高(头顶距眼睛的距离为.为使观测视角最大，小兰离墙距离应为（ ）
A． B． C． D．
6．已知为锐角，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．设是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，令，则函数的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．设双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线的右支分别交于点、，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
9．有一组样本数据，另一组样本数据，，，，其中，2，，，为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据平均数相同
B．两组样本数据标准差相同
C．两组样本数据方差相同
D．两组样本数据极差相同
10．在棱长为的正方体中，，分别是，中点，则（ ）
A．平面
B．直线与平面所成的角为
C．平面平面
D．点到平面的距离为
11．设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．不等式的解集为
C．若恒成立，则
D．若，则
三、填空题
12．上海国际电影节影片展映期间，某影院准备在周日的某放映厅安排放映4部电影，两部纪录片和两部悬疑片，当天白天有5个时段可供放映（5个连续的场次），则两部悬疑片不相邻（中间隔空场也叫不相邻），且当天最先放映的一定是悬疑片的排片方法有 种（结果用数字表示）．
13．若函数在上恰有2个零点，则符合条件的a为 .
14．在现代网络通信中，为了确保信息安全，常需要对重要信息进行加密处理，对密钥序列进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列，现定义一个简单的加密算法，让其在第轮对密钥序列片段进行一次变换，变换规则如下：在第轮变换中，若为奇数，则将让序列的奇数项的值增加2，偶数项的值减少；若为偶数，则将让序列的奇数项的值增加，偶数项的值减少1．若初始密钥序列，，则
（1）加密序列的所有项之和为 ；
（2）加密序列的所有项之和为 ．（结果用含的式子表示）
四、解答题
15．已知在中，内角、、所对的边分别为、、，且三条边的长度、、是三个连续的正整数（）.
(1)若是直角三角形，且的角平分线交于点，求的长；
(2)若是钝角三角形，求的面积.
16．已知函数，其中.
（1）若为单调递减函数，求的取值范围；
（2）若有两个不同的零点，求的取值范围.
17．已知圆，点，P是圆M上一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q．
（Ⅰ）求点Q的轨迹方程C；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，，直线DA与直线DB的斜率之积为，求直线l斜率的取值范围．
18．如图，在三棱台中，平面平面，，，.

（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
19．某工厂生产一批机器零件，现随机抽取 100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表:
性能指标 66 77 80 88 96
产品件数 10 20 48 19 3
(1)求该项性能指标的样本平均数的值.若这批零件的该项指标 X 近似服从正态分布 ，其中近似为样本平均数的值，，试求的值.
(2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.03，现从这批零件中随机抽取一件.
①求这件零件是次品的概率；
②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率；
③在①的条件下，若从这批机器零件中随机抽取300件，每次抽取的结果相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则 ，，.
《高考模拟练习卷-2024-2025学年江苏省南京市》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B B C A A C BCD ACD
题号 11
答案 ACD
1．B
【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【详解】由，所以复数的虚部为.
故选：B
2．C
【分析】先解分式不等式得，再求函数的值域得，再求集合交集运算即可.
【详解】解：解分式不等式得，故，
再求函数的值域得，故.
所以.
故选：C
【点睛】本题考查分式不等式的解法，指数函数的值域求解，集合的交集运算，是基础题.
3．B
【分析】找出函数的值域为满足的条件，再根据充分条件、必要条件求解.
【详解】满足函数值域为，
则，
解得，
当 时，推不出成立，
当时，能推出成立，
所以“函数的值域为”是“”的必要不充分条件，
故选：B
4．B
【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】展开式通项为，
令，解得，因此，展开式中的常数项为.
故选：B.
5．C
【分析】由题意只需最大，设小兰眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，求出，，设，则，求出，，代入，利用基本不等式求解即可.
【详解】由题意可得为锐角，故要使最大，只需最大，
设小兰眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，如图，
则依题意可得（cm），（cm），，
设，则，且，
，
故
所以，当且仅当即时等号成立，
故使观赏视角最大，小兰离墙距离应为cm.
故选：C.
6．A
【分析】可先利用三角函数的两角和公式对已知条件进行化简，然后得到关于的表达式，最后利用基本不等式求出的最大值.
【详解】因为，
已知，则有：
，
移项可得：，
即，由于，
两边同时除以，得到，
则
令（，因为为锐角），则.
根据均值不等式对于有：
当且仅当，即时等号成立.
所以，即的最大值为.
故选：A.
7．A
【分析】求得在上的解析式，结合周期性以及图象求得的最大值.
【详解】依题意，是定义在上且周期为4的奇函数，
所以，
所以是周期为的周期函数.
当时，，.
当时，，.
所以，
所以
，
当时，，，
，
所以，
所以，
画出在区间上的图象如下图所示，
结合的周期性可知的最大值为.
故选：A
【点睛】本小题主要的难点在于求的解析式，采用的是结合函数的周期性、奇偶性来进行求解.利用函数的奇偶性求函数的解析式，要注意取值范围，还要注意结合奇偶性的定义.要合并两个函数，要注意自变量对应的范围要相同.
8．C
【解析】由题意求出直线方程，再根据，可得为的中点，根据中点坐标公式求出的坐标，代入双曲线方程可得，化简整理即可求出双曲线的离心率.
【详解】因为，所以为的中点，由题意可得直线方程为，
当时，,所以，因为，，
设，所以，，
所以，，所以，
所以轴，在中，，
所以，再由双曲线定义可得，
，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查了直线和双曲线的位置关系，以及直线方程，中点坐标公式，属于中档题.
9．BCD
【分析】根据数据之间的关系可得平均数的关系判断A，根据两个变量间的关系判断方差标准差相等可判断BC，根据变量之间的关系，可知极差的变化情况判断D.
【详解】设样本数据的平均数为，则样本数据，，，，其中，2，，的平均数为，故A错误；
设样本数据的方差为，则样本数据，，，，其中，2，，的方差为，故BC正确；
一组样本数据，另一组样本数据，，，，其中，2，，，为非零常数，则样本数据中最小值与最大值变化的量相同，故两组样本数据极差相同．
故选：BCD
10．ACD
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量关系证明，；利用向量法求线面角即可判断；根据点到面的距离公式即可判断.
【详解】在棱长为的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，，
对于，，，，
显然，
即平行于平面，而平面，
因此平面，正确；
对于，，，，，
所以，，即，，
又，平面，平面，
所以平面，所以是平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
，
所以，所以直线与平面所成的角为，错误；
对于，，，
而，显然，
，即，，
又，，平面，
于是平面，而平面，
因此平面平面，正确；
对于，，，
设平面的一个法向量，
则，
令，得，
，
又，
所以点到平面的距离，正确.
故选：.
11．ACD
【分析】构造函数，根据条件计算得，利用导数研究其单调性可判定A、B；分离参数结合函数的单调性与最值可判定C；由题意得出，结合的单调性得出，计算后即可判定D.
【详解】由可得，
设，则，所以（为常数），
所以因为，所以，即
对于A，因为，所以时，，单调递减；
时，，单调递增，所以在上单调递增.故A正确；
对于B，当时，，不合题意；
当时，，不合题意；
当时，，且由A可知，在单调递增.
所以，解得，故B不正确；
对于C，若即，当时，恒成立；
当时，等价于，即，
设，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，，
所以，故C正确；
对于D，，即，
因为当时，，当时，在单调递增，且，
所以，且，则，
又因为，所以，即，故D正确.
故选：ACD.
12．
【分析】按照第一场是否为空场分类，再根据分步计数原理得到两部悬疑片不相邻，且当天最先放映的一定是悬疑片的排片方法.
【详解】由题意当天最先放映的一定是悬疑片，若第一场是悬疑片，
从2个悬疑片中选1个安排到第一场有种排法，由两部悬疑片不相邻（中间隔空场也叫不相邻），可以从个场次中的后3场选1场安排另一部悬疑片有种排法，
所以排悬疑片有种排法，两部纪录片排在剩下的3个位置，有种排法，
共有种；
若第一场为空场，则第二场从2个悬疑片中选1个安排有种排法，
从后2场选1场安排另一部悬疑片有种排法，
所以排悬疑片有种排法，两部纪录片排在剩下的2个位置，有种排法，
共有种；
所以符合题意的排法一共有种排法.
故答案为：44
13．1
【分析】该函数零点可以转化为一个二次函数零点与正弦型函数零点的个数之和，再对、分类讨论，即可得取值.
【详解】令，则或，
由，
当时，在上没有零点，
则在上应有2个零点，
因为，所以，即，
与联立得，因为，所以a无解；
当时，在上有1个零点，
而在上有1个零点，满足题意；
综上得符合条件的为1．
故答案为：1．
14． 52
【分析】（1）根据变换规则，先求出，再求，在求和即可；
（2）设为奇数，则为偶数，记序列的所有项的和为，先求，再求，最后结合等差数列的求和公式求解.
【详解】（1）因为，
根据变换规则：在第轮变换中，若为奇数，则将让序列的奇数项的值增加2，偶数项的值减少；
若为偶数，则将让序列的奇数项的值增加，偶数项的值减少1.
所以，
所以，
所以的所有项之和为；
（2）设为奇数，则为偶数，，
记序列的所有项的和为，
则，，
所以的所有项之和为
.
故答案为：52；.
【点睛】关键点点睛：本题的关键时能根据题中“变换规则”先求出，，再设为奇数，求出，再求.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用勾股定理列方程，化简求得，进而求得，利用正弦定理求得.
（2）结合求得的可能取值，求得，进而求得三角形的面积.
【详解】（1）设三条边的长度分别为、、（且），
由勾股定理得：，解得（可取）或（舍去），
则三边长度分别为、、，
在中，、，
在中，
，
由正弦定理得：，
即.
（2）由题意得，整理得：，解得，
又且，∴或者，
当时，、，不符合，舍去，
当时，、，符合，可取，
∴、、，∴，
∵，∴，
∴.
16．（1）；（2）
【分析】（1）求出导函数，使，分离参数可得，设，利用导数求出的最小值即可求解.
（2），设，函数有两个不同的零点等价于函数有两个不同的零点，求出，分类讨论当、、或时，利用导数判断函数的单调性即可得出函数的零点个数，进而确定的取值范围.
【详解】解：（1）函数的定义域为.
∵，
∴.
若函数为单调递减函数，
则.
∴ 对恒成立.
设.
令，
解得.
∴.
令，解得，
令，解得，
函数在单调递减，在单调递增，
∴函数的最小值为.
∴，即的取值范围是.
（2）由已知，.
设，
则函数有两个不同的零点等价于函数有两个不同的零点.
∵，
∴当时，
函数在单调递减，在单调递增.
若函数有两个不同的零点，
则，即.
当时，
当时，.
当时，，
∵，
∴.
∴.
∴函数在，上各有一个零点.
故符合题意.
当时，
∵函数在单调递减，
∴函数至多有一个零点，不符合题意.
当时，
∵函数在单调递减，在单调递增，在单调递减，
∴函数的极小值为.
∴函数至多有一个零点，不符合题意.
当时，
∵函数在单调递减，在单调递增，在单调递减，
∴函数的极小值为.
∴函数至多有一个零点，不符合题意.
综上，的取值范围是.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的零点个数，考查了分类讨论的思想，属于难题.
17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）依题意得，根据椭圆定义即可求解轨迹方程；
（Ⅱ）设直线的方程为：代入椭圆方程，结合韦达定理计算化简，根据判别式列不等式即可求出结果．
【详解】（Ⅰ）由题意可知：，又点P是圆上的点，则，
且，则，由椭圆的定义可知，
点Q的轨迹是以MN为焦点的椭圆，其中：，，，
则点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）由已知得：直线的斜率存在，设直线的方程为：，联立方程，
消y得：，，解得：，
设，，则，
所以，化简得
当时，直线l的方程为：恒过，不符合题意；
当时，得，直线l的方程为：恒过
由得，即．
18．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由余弦定理知求出，从而可得，再利用面面垂直的性质定理可得平面，进而可得.
（2）方法一：直线与平面所成角即为直线与平面所成角，由（1）可得为所求角，在中，利用余弦定理可得，在中即可求解；方法二：以点为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求解.
【详解】（1）证明：设，则，又，
由余弦定理知：.
由勾股定理的逆定理知：，
又平面平面，平面平面，
平面，∴平面，
∵平面，∴.
（2）方法一：
解：直线与平面所成角即为直线与平面所成角，
由（1）知∴平面，∴为所求角.
，则，
又，，由余弦定理知：，
∴在直角三角形中，，
（2）方法二：
解：令，则，
又，，由余弦定理知：，
∴，∴，
∴平面，∴，
∴，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系

，，，
设点为，则
得到：.
∴，∴，
设平面的法向量为
，
得到，又，
∴.
【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、定义法求线面角、空间向量法求线面角，考查了考生的计算能力，属于基础题.
19．(1)；0.1359
(2)①；②；③1
【分析】（1）计算出平均数后可得，结合正态分布的性质计算即可得解；
（2）①借助全概率公式计算即可得；②借助条件概率公式计算即可得；③借助二项分布期望公式计算即可得.
【详解】（1），
因为，所以，
则
；
（2）①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件，
“抽取的零件为乙机床生产”记为事件，
“抽取的零件为次品”记为事件，
则，，，，
则；
②；
③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在内的概率，
且随机变量，
所以，
所以随机变量Y的数学期望为1.
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