6.2.4 向量的数量积 学历案（无答案）

6.2.4向量的数量积的应用
【学习目标】
1.通过合作探究，利用向量数量积的定义以及线性运算的运算律，证明数量积的重要运算性质，提升逻辑推理和数学运算素养；
2.通过对比分析，会用向量的数量积判断向量垂直的问题关系，体会类比归纳的数学思想，提升数学抽象和逻辑推理的数学素养；
3.通过典例分析，经历利用数量积解决实际问题的过程，理解向量数量积的运算性质，提升数学建模和数运算的核心素养.
【学习重难点】
1.通过合作探究，利用向量数量积的定义以及线性运算的运算律，证明数量积的重要运算性质，提升逻辑推理和数学运算素养；
2.通过对比分析，会用向量的数量积判断向量垂直的问题关系，体会类比归纳的数学思想，提升数学抽象和逻辑推理的数学素养；
【评价任务】
1.完成问题1，问题2：检测目标（1）是否达成；
2.完成问题3，问题4：检测目标（2）是否达成；
3.完成例1，例2：检测目标（3）是否达成．
【学习过程】
环节一 创设情境，提出问题
【问题1】两个非零向量相互平行或垂直时，向量在向量上的投影向量具有特殊性，这时，它们的数量积又有怎样的特殊性
环节二 小组合作，探索交流
【问题2】根据实数乘法的运算律,类比得出向量数量积的运算律,如下表,这些结果正确吗
【提示】
向量数量积的运算律
交换律 a·b＝b·a
对数乘的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c
特别提醒：数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．
【问题3】类比多项式的乘法公式，你能写出下表中的平面向量数量积的运算性质吗？
多项式乘法 向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2
(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
另外，设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e=e·a=|a|cos.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
(4)a·a＝a2=|a|2或|a|＝＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
(6)cos θ＝.
【辩一辩】判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.
环节三 例题练习，巩固理解
例1：已知，且与不共线，当为何值时，向量与互相垂直
例2：已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
【类题通法】1.求平面向量夹角的方法:
(1)利用公式cos θ＝，求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.
(2)求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.
2.非零向量a·b＝0 a⊥b是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中的有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．
例3：已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|的值．
【类题通法】根据数量积的定义a·a＝|a||a|cos 0°＝|a|2，得|a|＝，这是求向量的模的一种方法．即要求一个向量的模，先求这个向量与自身的数量积(一定非负)，再求它的算术平方根．对于复杂的向量也是如此．例如，求|a＋b|，可先求(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)，再取其算术平方根即为|a＋b|.
环节四 小结提升，形成结构
1.本节课学习了哪些数学知识？
2.在学习过程中我们学习了哪些数学思想方法呢？
3.通过本节课的学习，你发展了哪些数学素养呢？
【反馈练习】
A组
1.已知非零向量a，b满足(a＋b)⊥(a－b)，则(　　)
A.a＝b B.|a|＝|b|
C.a⊥b D.a∥b
2.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)
A.1 B.2 C.3 D.5
3.已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为________；
4.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________．
5.已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算：
(1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|.
B组
1.已知向量的夹角为，，则 ．
2.已知非零向量满足，且，则与的夹角为 (　　)
A. B. C. D.
3.设为单位向量，且，则______________．
4.已知正方形的边长为2，为的中点，则________．
5.已知 ，且 ，则向量在向量方向上的投影向量为________．
6.已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 ．
【学后反思】
1.通过本节课的学习你学到了哪些知识？
2.你体会到了哪些数学思想、解题方法？
3.需要老师提供什么帮助？
4.你有什么好的经验可以和大家一起分享？你对本学历案有什么建议和意见，都可以写在最后的空白区域.
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