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第十章 二元一次方程组
10.1 二元一次方程组的概念
通过用含有两个未知数的方程表示实际问题中的相等关系，理解二元一次方程（组）及其解的概念，发展抽象能力。
1.请举例说明什么是方程？
含有未知数的等式叫做方程，例如：2x+3=5，x+y=8等。
2.请举例说明什么是一元一次方程？
在方程中，一个只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程。例如2x+3=5，y+6=8等。
在解决一些问题时，经常会遇到求两个未知数的情形，例如：
新疆是我国棉花的主要产地之一。近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式。某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8 hm2棉田的
采摘。如果大型采棉机1h完成2
hm2棉田的采摘，小型采棉机1h
完成1 hm2棉田的采摘。那么这
个种棉大户租用了大、小型采
棉机各多少台
大型：x台 小型：y台
新疆是我国棉花的主要产地之一。近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式。某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8 hm2棉田的采摘。如果大型采棉机1h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1 hm2棉田的采摘。那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台
思考：列方程要先找到相等关系．本章引言中的问题包含了哪些必须同时满足的相等关系？若设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，你能用方程把这些相等关系表示出来吗？
大型采棉机台数＋小型采棉机台数＝总台数，
大型采棉机1h采摘面积＋小型采棉机1h采摘面积＝1h采摘总面积．
x＋y＝6
2x＋y＝8
观察：这两个方程有什么特点？它们与一元一次方程有什么不同？
x＋y＝6
2x＋y＝8
可以看出，在上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数 （x和y），且 含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程。
（1）都含有2个未知数x和y
（2）未知数的项的次数是1
（3）方程的左右两边都是整式
新疆是我国棉花的主要产地之一。近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式。某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8 hm2棉田的采摘。如果大型采棉机1h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1 hm2棉田的采摘。那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台
x＋ y＝6
2x＋ y＝8
未知数x，y必须同时满足这两个方程
这就组成了一个方程组．
①
②
这个方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组。
x 1 2 3 4 5
y 5 4 3 2 1
探究：满足方程①： x＋ y＝6 ，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中．
显然，x＝1，y＝5；x＝2，y＝4；…；x＝5，y＝1满足方程①，也就是使方程x＋y＝6两边的值相等，它们都是方程x＋y＝6的解。
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解．
x 1 2 3 4 5
y 5 4 3 2 1
探究：满足方程①： x＋ y＝6 ，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中．
如果不考虑方程x＋y＝6与上面实际问题的联系，那么x＝－1，y＝7；x＝0.1，y＝5.9；… 也都是这个方程的解．
一个二元一次方程有无数个解
x 1 2 3 4 5
y 5 4 3 2 1
探究：满足方程①： x＋ y＝6 ，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中．
上表中哪对x，y的值还满足方程②： 2x＋ y＝8 ？
公共解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解．
新疆是我国棉花的主要产地之一。近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式。某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8 hm2棉田的采摘。如果大型采棉机1h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1 hm2棉田的采摘。那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台
解：设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，根据题意可列方程组
这个方程组的解为
答：这个种棉大户租用了2台大型采棉机，4台小型采棉机。
例1：已知 3xm－1＋(n＋2)y＝10 是关于 x，y 的二元一次方程，求 m，n 的值．
分析：x 的指数必须是 1，y 的系数必须不等于 0，上述方程才是二元一次方程．
解：根据二元一次方程的概念，得
m－1＝1，且n＋2≠0，
所以m＝2，n≠－2．
例2：列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解．
加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件．现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？
解：设x位工人参加第一道工序，y位工人参加第二道工序，可列方程组：
这个方程组的解是
答：4位工人参加第一道工序，3位工人参加第二道工序.
【知识技能类练习】必做题：
1．下列是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
B
【知识技能类练习】必做题：
2．下列四组数是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
B
【知识技能类练习】必做题：
3．如果是二元一次方程组的解，那么a，b是（ ）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类练习】选做题：
4．已知是方程的解，
(1)求的值．
(2)请将方程变形为用的代数式表示．
解：（1）将代入原方程得：，
解得：，
的值为8；
（2）当时，原方程为，
．
【综合拓展类练习】
5．已知关于x，y的方程组．
(1)请直接写出方程的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求m的值；
解：（1）方程，
解得：，
当时，；
当，．
（2）联立得：，
解得： ，
代入得：，
解得：．
二元一次方程组
二元一次方程
二元一次方程组
二元一次方程的解
二元一次方程组的解
【知识技能类作业】必做题：
1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
A
【知识技能类作业】必做题：
2．下面4组数值中，是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
3．关于的二元一次方程组的解是，其中的值被盖住了，不过仍能求出．则的值是 ．
5
【知识技能类作业】选做题：
4．如果中的解x、y相同，求m的值．
解：方程组的解x、y的值相同，
联立方程组，解得，
把代入，得，
解得，．
【综合拓展类作业】
5．按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下：
, , , ……
, ……
(1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处．
(2)猜想第n个方程组和它的解并验证．
(3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律．
【综合拓展类作业】
解：（2）
把代入得，
所以成立．
（3）将代入，解得，
即方程组为，所以它不符合（1）中的规律．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第一课时《10.1 二元一次方程组的概念》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 方程是“数与代数”领域“方程与不等式”主题中的重要内容，描述的是现实中的相等关系，是有效刻现实世界的数学模型。学生在七年级上学期已经学习了一元一次方程，在此基础上，本章进一步讨论方程（组）的概念、解法和应用。本节内容是全章的开端。类比一元一次方程，学习二元一次方程（组）及其解的概念。相比于一元一次方程，二元一次方程组同时处理两个未知量的关系，引入了多元思维。从系统的角度看，二元一次方程组代表了一组约束条件，每个方程都构成一个约束，而方程组的解则同时满足所有约束条件。二元一次方程组还是一种数学模型，用于描述两个未知量之间的线性关系，它将复杂的实际问题简化为可以用数学语言表达的简洁形式。 本节课的内容既是一元一次方程有关知识的深化和应用，是对方程的再认识，也是学习二元一次方程组的解法和用二元一次方程组解决实际问题的基础，同时为今后学习多元方程组、线性代数等打下了基础。
学习者分析 在此之前，学生已学习了一元一次方程的有知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，另外，七年级学生思维活跃，好奇心强，希望平等交流研讨，厌烦空洞的说教。因此，在教学过程中，积极采用形象生动、形式多样的教学方法和学生广泛的、积极主动参与的学习方式，激发他们的兴趣，通过合作交流，培养学生学习的主动性、与人合作的精神，激发学生的兴趣和求知欲，感受成功的乐趣。
教学目标 通过用含有两个未知数的方程表示实际问题中的相等关系，理解二元一次方程（组）及其解的概念，发展抽象能力。
教学重点 二元一次方程（组）及其相关概念。
教学难点 二元一次方程（组）及其解的定义。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 通过用含有两个未知数的方程表示实际问题中的相等关系，理解二元一次方程（组）及其解的概念，发展抽象能力。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1.请举例说明什么是方程？ 预设：含有未知数的等式叫做方程，例如：2x+3=5，x+y=8等。 2.请举例说明什么是一元一次方程？ 预设：在方程中，一个只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程。例如2x+3=5，y+6=8等。 指出：在解决一些问题时，经常会遇到求两个未知数的情形，例如：新疆是我国棉花的主要产地之一。近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式。某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8 hm2棉田的采摘。如果大型采棉机1h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1 hm2棉田的采摘。那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台 引言：在这个问题中，要求的是两个未知数．如果用一元一次方程来解决，列方程时，要用一个未知数表示另一个未知数．能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢？我们从这个想法出发开始本章的学习．在本章中，我们将从实际问题出发，认识二元一次方程组，学习解二元一次方程组的方法，并运用二元一次方程组解决一些实际问题．在此基础上，学习三元一次方程组及其解法．通过本章的学习，你将对方程 （组）有新的认识．学生活动2： 学生积极回答问题，并认真思考活动意图说明： 先通过学生复习一元一次方程的内容，并通过实际问题引入，吸引学生的课堂注意力，由浅入深，激发学习兴趣。环节三：新知讲解教师活动3： 思考：列方程要先找到相等关系．本章引言中的问题包含了哪些必须同时满足的相等关系？若设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，你能用方程把这些相等关系表示出来吗？ 预设：大型采棉机台数＋小型采棉机台数＝总台数， 大型采棉机1h采摘面积＋小型采棉机1h采摘面积＝1h采摘总面积． 即：x＋y＝6 2x＋y＝8 观察：这两个方程有什么特点？它们与一元一次方程有什么不同？ 预设：（1）都含有2个未知数x和y （2）未知数的项的次数是1 （3）方程的左右两边都是整式 归纳：可以看出，在上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数 （x和y），且 含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程。 指出：未知数x，y必须同时满足这两个方程 方程x＋y＝6①和2x＋y＝8②这就组成了一个方程组 即： 归纳：这个方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组。 探究：满足方程①：x＋y＝6，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中． xy
上表中哪对x，y的值还满足方程②：2x＋y＝8？ 预设： x12345y54321
显然，x＝1，y＝5；x＝2，y＝4；…；x＝5，y＝1满足方程①，也就是使方程x＋y＝6两边的值相等，它们都是方程x＋y＝6的解。 归纳：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解． 预设：如果不考虑方程x＋y＝6与上面实际问题的联系，那么x＝－1，y＝7；x＝0.1，y＝5.9；… 也都是这个方程的解． 归纳：一个二元一次方程有无数个解 预设：我们还发现，x＝2，y＝4既满足方程①，又满足方程②．也就是说，x＝2，y＝4是方程①与方程②的公共解．我们把x＝2，y＝4叫作二元一次方程组的解，这个解通常记作 归纳：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解． 解决章前问题： 新疆是我国棉花的主要产地之一。近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式。某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8 hm2棉田的采摘。如果大型采棉机1h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1 hm2棉田的采摘。那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台 解：设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，根据题意可列方程组 这个方程组的解为 答：这个种棉大户租用了2台大型采棉机，4台小型采棉机。 例1：已知 3xm－1＋(n＋2)y＝10 是关于 x，y 的二元一次方程，求 m，n 的值． 分析：x 的指数必须是 1，y 的系数必须不等于 0，上述方程才是二元一次方程． 解：根据二元一次方程的概念，得 m－1＝1，且n＋2≠0， 所以m＝2，n≠－2． 例2：列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解． 加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件．现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？ 解：设x位工人参加第一道工序，y位工人参加第二道工序，可列方程组： 这个方程组的解是 答：4位工人参加第一道工序，3位工人参加第二道工序.学生活动3： 学生认真思考，并分组研讨，交流讨论后听老师讲解活动意图说明： 通过情境问题，对比一元一次方程引导学生总结归纳二元一次方程（组）及其解等相关概念，培养学生发现问题和解决问题的能力，发展学生的抽象能力。然后通过两道例题进行巩固，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：10.1 二元一次方程组的概念一、二元一次方程 二元一次方程的解 二、二元一次方程组 二元一次方程组的解教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列是二元一次方程组的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．下列四组数是二元一次方程的解的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 3．如果是二元一次方程组的解，那么a，b是（ ） A． B． C． D． 答案：B 4．选做题： 已知是方程的解， (1)求的值． (2)请将方程变形为用的代数式表示． 解：（1）将代入原方程得：， 解得：， 的值为8； （2）当时，原方程为， ． 【综合拓展类练习】 5．已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； 解：（1）方程， 解得：， 当时，；，． （2）联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．下面4组数值中，是二元一次方程的解的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 3．关于的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，不过仍能求出．则的值是 ． 答案：5 选做题： 4．如果中的解x、y相同，求m的值． 解：方程组的解x、y的值相同， 联立方程组， 解得， 把代入，得， 解得，． 【综合拓展类作业】 5．按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下： ．…… ．…… (1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处． (2)猜想第n个方程组和它的解并验证． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律． 解：（1） （2） 把代入得，所以成立． （3）将代入，解得， 即方程组为，所以它不符合（1）中的规律．
教学反思 本节课，在学习二元一次方程的相关概念的同时，引导学生自已去发现数学，研究数学，加强对数学思想、方法及科学研究方法的指导，引导学生不断从“学会数学”到“会学数学”，同时，在今后的教学中，要重视学生课堂的学习感受，营造民主、开放、合作、竞争的学习氛围，不断创新优化教学方法，科学、合理、灵活地处理课堂上生成的问题。
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同步探究学案
课题 10.1 二元一次方程组的概念 单元 第十章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 通过用含有两个未知数的方程表示实际问题中的相等关系，理解二元一次方程（组）及其解的概念，发展抽象能力。
重点 二元一次方程（组）及其相关概念。
难点 二元一次方程（组）及其解的定义。
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题1.请举例说明什么是方程？ 答：含有________的等式叫做方程，例如：_________，________等。 问题2.请举例说明什么是一元一次方程？ 答：在方程中，只含有____未知数(元)，并且未知数的指数是____(次)，这样的方程叫做一元一次方程。例如________，________等。
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助实际问题中的数量关系，研究二元一次方程（组）。 问题：新疆是我国棉花的主要产地之一。近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式。某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8 hm2棉田的采摘。如果大型采棉机1h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1 hm2棉田的采摘。那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台 思考：列方程要先找到相等关系．本章引言中的问题包含了哪些必须同时满足的相等关系？若设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，你能用方程把这些相等关系表示出来吗？ 答：大型采棉机台数＋_________台数＝总台数， 大型采棉机1h采摘面积＋_____________采摘面积＝1h采摘总面积． 即： x＋____＝6 _____＋y＝8 观察：这两个方程有什么特点？它们与一元一次方程有什么不同？ （1）都含有____个未知数x和y （2）未知数的项的次数是____ （3）方程的左右两边都是____ 归纳：可以看出，在上面两个方程中，每个方程都含有____个未知数（x和y），且含有未知数的式子都是____，含有未知数的项的次数都是____，像这样的方程叫作二元一次方程。 想一想：前面的问题中，未知数x，y必须同时满足这两个方程 这样方程x＋y＝6①和2x＋y＝8②这就组成了一个方程组 即： 归纳：这个方程组中含有___个未知数，且含有未知数的式子都是____，含有未知数的项的次数都是____，一共有____个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组。 探究：满足方程①：x＋y＝6，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中． xy
上表中哪对x，y的值还满足方程②：2x＋y＝8？ 归纳1：一般地，使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解． 想一想：如果不考虑方程x＋y＝6与上面实际问题的联系，那么x＝－1，y＝____；x＝____，y＝5.9；… 也都是这个方程的解．所以，一个二元一次方程有_______解 我们还发现，x＝____，y＝____既满足方程①，又满足方程②．也就是说，x＝2，y＝4是方程①与方程②的_____解．我们把x＝2，y＝4叫作二元一次方程组的____，这个解通常记作 归纳2：一般地，二元一次方程组的两个方程的____解，叫作二元一次方程组的解． 请你用所学知识解决前面的问题： 解：设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，根据题意可列方程组 ______________ 这个方程组的解为 ______________ 答：这个种棉大户租用了____台大型采棉机，____台小型采棉机。 例1：已知 3xm－1＋(n＋2)y＝10 是关于 x，y 的二元一次方程，求 m，n 的值． 分析：x 的指数必须是 1，y 的系数必须不等于 0，上述方程才是二元一次方程． 例2：列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解． 加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件．现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列是二元一次方程组的是（ ） A． B． C． D． 2．下列四组数是二元一次方程的解的是（ ） A． B． C． D． 3．如果是二元一次方程组的解，那么a，b是（ ） A． B． C． D． 选做题： 4．已知是方程的解， (1)求的值．(2)请将方程变形为用的代数式表示． 【综合拓展类练习】 5．已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值；
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A． B． C． D． 2．下面4组数值中，是二元一次方程的解的是（ ） A． B． C． D． 3．关于的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，不过仍能求出．则的值是 ． 选做题： 4．如果中的解x、y相同，求m的值． 【综合拓展类作业】 5．按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下： ．…… ．…… (1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处． (2)猜想第n个方程组和它的解并验证． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合(1)中的规律．
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