2.2 基本不等式 教学设计（表格式）

教学设计
课题 基本不等式
课型 新授课 章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□
教学内容分析
相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础.基本不等式是一种重要且基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容.基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关。从数与运算的角度，是两个正数a，b的“算术平均数”，是两个正数a，b的“几何平均数”因此，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算.从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”“等圆中，弦长不大于直径”等，都是基本不等式的直观理解.基本不等式的证明或推导方法很多，上面的分析也是基本不等式证明方法的来源。利用分析法，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式;从几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究不等式的几何解释;从函数的角度，通过构造函数，利用函数性质来证明基本不等式;等等.这些方法也是代数证明和推导的典型方法.基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广至n个正数的几何平均值不大于算术平均值。基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值。同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法.因此，基本不等式内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养.基于以上分析，确定本节课的教学重点:基本不等式的定义、几何解释和证明方法，用基本不等式解决简单的最值问题。
学习者分析
本课是在了解了等式的性质和不等式性质之后的一节课，在梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要不等式——基本不等式，这对初入高中阶段的学生要求较高，教师需详细讲解
学习目标确定
(1)理解基本不等式：(a>0,b>0）发展逻辑推理素养。(2)结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数 学建模素养.
学习重点难点
学习重点是能够证明基本不等式，并能说出成立的前提条件及取等的条件。学习难点是运用基本不等式比较代数式的大小和证明不等式。
学习评价设计
通过完成问题 2、问题3 和问题 4 来评价目标 1 的达成情况通过完成例 1、例2 来评价目标 2 的达成情况
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情景引入，复习回顾情景：十一黄金周，他去黄金店购买黄金，金店老板拿出一台天平（左右两臂长略有不等），将黄金放在天平上称了一下，得到质量为ag，交换一下位置重新称量，得到质量为bg，老板说将称量结果相加后除以2就是黄金的真实重量。 问题1：如果以此重量购买他赚了还是陪了？ 生1：用初中物理知识—杠杆原理得 生2：现在问题转化为比较这两个式子的大小。生3：从形状上来看，与上节课学的重要不等式很相似，试着利用重要不等式比大小。 活动意图说明：问1意图在于利用实际问题中存在的数量关系，计算出两个式子。 在此基础上，引导学生认识基本不等式。环节二：基本不等式的定义问提2：在上一节，我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：对于任意实数a、b，有，当且仅当a=b时，等号成立.特别地，如果a>0,b>0时，我们用分别代替上式中的a、b，可以得到什么样的式子？教师总结：我们把称为基本不等式，其中叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数。归纳：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。教师抽学生上黑板板书：并讲解得出：注意：等号成立条件是当且仅当。活动意图说明：通过上一节课得到的不等式的特殊形式，得到基本不等式，同时在两个不等式之间建立联系.通过分析基本不等式的代数结构特征，得到基本不等式的代数解释，加深对基本不等式的认识.环节三： 基本不等式的证明问提3：前面考察的特殊情形获得了 基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导基本不等式呢？师：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.适用于当我们看不出证明思路时。师生共同完成：要证只要证 只要证只要证只要证等号成立条件是当且仅当活动意图说明：根据不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略.环节四：基本不等式的几何解释问题4：如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？师；借助几何画板演示图1学生思考后回答，教师引导学生总结:从条件和基本不等式出发，发现圆的半径长等于，CD=，所以基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”得到解释。当且仅当弦过圆心时，二者相等.活动意图说明：让学生自己寻找基本不等式的几何解释是非常困难住的，因此这里给出了几何图形，引导学生将和与图中的几何元素建立起联系，再观察 这些几何元素在变化中表现的大小关系的规律，从而获得基本不等式的几何解释.环节五：基本不等式的简单应用例1：已知的最小值。例2：已知都是正数，求证：如果积等于定值，那么当时，和有最小值；(2)如果和等于定值S，那么当时，积有最大值。学生独立完成，教师分步讲解活动意图说明：例一的设计，引导学生根据所求代数式的形式，判断是否能利用基本不等式解决问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范. 例2的设计，在例1的基础上，再利用一道例题示范如何直接利用基本不等式解决问题，同时借此题的题干指出用基本不等式能够解决的两类问题，为用基本不等式解决实际问题创造了条件.课堂小结教师引导学生回顾本单元的内容，并回答下面的问题:(1)什么是基本不等式 如何推导得到基本不等式 (2)基本不等式的代数特征是什么 如何从几何图形上解释 (3)基本不等式的使用条件是什么 如何利用基本不等式解决最值问题 需要注意什么 (4)本节课有哪些数学思想方法 学生概括总结学生独立完成，教师分步讲解活动意图说明：引导学生回顾总结本单元的学习内容和学习方法，在小结中，要注意引导学生体会研究一个特殊代数对象的一般过程.
板书设计
2.2基本不等式1.基本不等式 例1：2.证明 例2：3.几何解释
作业与拓展学习设计
必做题：1.教科书习题2.2第 1，2，3 ，6题。2.拓展作业： 已知0教学反思与改进
本节课，我觉得基本上完成了教学目标，在重点的把握上，难点的突破上也基本把握得不错。在教学过程中，学生参与的积极性较高，课堂气氛活跃。不过也存在不少问题，板书可能有些简单，多媒体运用还需加强。我会在以后的教学中，努力提高教学技巧，逐步完善自己的课堂教学水平，扬长避短，不断转变观念，改进教学。