四川省成都实验外国语学校2024-2025学年高一（下）第一次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省成都实验外国语学校高一（下）第一次段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2.正方形的边长为，则为( )
A. B. C. D.
3.““是“”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.向量化简后等于( )
A. B. C. D.
5.已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为( )
A. B. C. D.
6.在梯形中，设，，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知是第一象限角，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的图象的一部分如图所示，则图中的函数图象对应的函数解析式为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 零向量是没有方向的向量 B. 零向量的长度为
C. 相等向量的方向相同 D. 同向的两个向量可以比较大小
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 的对称中心为
C. 的对称轴为直线
D. 的单调递增区间为
11.如图所示，已知角，的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，，为线段的中点，点坐标为，记，则( )
A.
B. 若，则
C. 点的坐标为
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则______．
13.密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是密位制，即将一个圆周分成等份，每一等份是一个密位，那么密位等于______．
14.在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足，点为线段的中点，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量不共线，且．
若，求的值；
若，求证：，，三点共线．
16.本小题分
已知，且．
求的值；
求的值．
17.本小题分
一艘船从码头出发，计划向正北方向直线航行到对岸的点，距离为公里船在静水中的航速为公里小时，但河流以公里小时的速度持续向东流动．
若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与点的偏离距离；
若船需要准确到达正北方向的点，求船头应调整的方向即船头方向与正北方向的夹角，以及到达点所需时间．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为原点，且点坐标为，．
求函数的解析式；
将函数图象向右平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的最大值．
19.本小题分
已知函数，若的最小正周期为．
求的解析式；
若函数在上有三个不同零点，，，且．
求实数的取值范围；
求，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：向量不共线，且．
若，则，即，
可得，解得，，
所以．
若，则，
所以，，
所以，则，，三点共线．
16.解：由，两边平方并化简得，
又，
，，
，
；
．
17.解：若船头始终指向正北方向，则船的实际速度是静水速度与水流速度的矢量和，
过河时间为小时，
由于河流以公里小时的速度持续向东流动，
所以船到达对岸时实际停靠点与点的偏离距离为公里．
若船头方向与正北方向的夹角为，则，即，
而，所以，即船头方向与正北方向的夹角为，
此时，即船的实际速度是公里小时，
所以到达点所需时间为小时．
18.解：点坐标为，，
，，
则，则，
由，
由得，
得，
得
将函数图象向右平移个单位后得到函数的图象，则，
则
时，，
当，即时，函数取得最大值此时的最大值为．
19.解：，
因为的最小正周期为，所以，即，
所以．
由知，
由，可得，
令，则，，
若函数在有三个零点，
即在有三个不相等的实数根，
也就是关于的方程在区间有一个实根，另一个实根在上，
或一个实根是，另一个实根在，当一个根在，另一个实根在，
所以，即，解得：，
当一个根为时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意；
当一个根是，即，解得，
此时方程为，所以，不合题意；
当一个根是，另一个实根在，
由得，此时方程为，解得或，
这两个根都不属于，不合题意，综上的取值范围是．
设，为方程的两个不相等的实数根，则，
由知，，，所以，
即，，
所以，即，
由得，所以，
因为，，
所以，
所以，
所以，
又，且，所以，
所以，整理得，
因为，所以，
解得或，
又，所以．
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