2024-2025学年贵州省铜仁市思南中学高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年贵州省铜仁市思南中学高二（下）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，满足，则( )
A. B. C. D.
2.记等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.用、、、这四个数字，组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数是( )
A. B. C. D.
5.如图，在四面体中，是的中点，，则( )
A.
B.
C.
D.
6.直线与圆：相交于，两点，当时，的值为( )
A. B. C. D.
7.椭圆上的点到直线：距离的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线和平面，，则下列命题中正确的有( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10.若，则下列正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11.已知函数，有如下结论，其中正确的结论是( )
A. 当时，在区间上单调递减
B. 在点处的切线方程为
C. 当时，在上单调递减
D. 当时，有两个极值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在二项式的展开式中，含的项的系数是______．
13.已知椭圆与双曲线有相同的焦距，则实数 ______．
14.法国数学家拉格朗日年在著作解析函数论中给出一个定理：如果函数满足条件：
在闭区间是连续不断的；在区间上都有导数．
则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”．
函数在区间上的“拉格朗日中值” ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等比数列各项均为正数，且满足，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
位同学报名贵州省思南中学青年志愿者协会组织的个不同的志愿者活动记为，，，，每位同学限报个项目，且每个项目均有人参加．
当甲、乙两位同学报名参加同一个项目时，有多少种不同的报名方式？
求甲、乙两位同学报不同项目的概率为多少？
17.本小题分
如图，在三棱台中，平面，，，，，为的中点．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ求平面和平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，点为上的动点，的周长为．
求的标准方程．
延长线段，分别交于，两点，连接，并延长线段交于另一点，若直线和的斜率均存在，且分别为，，试判断是否为定值若是，求出该定值；若不是，说明理由．
19.本小题分
已知函数．
当时，函数的图像恒在的图像的下方，求实数的取值范围；
设函数的两个不同极值点分别为，，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：等比数列各项均为正数，且满足，．
设公比为，
由，，得，所以舍去，
所以；
由得，
所以．
16.解：位同学报名贵州省思南中学青年志愿者协会组织的个不同的志愿者活动，每位同学限报个项目，且每个项目均有人参加，
将甲乙两位同学报名参加同一个项目，选出一个活动参加，其余全排列，即种．
记甲，乙两位同学不报同一个项目为事件，
样本空间共有种，
甲乙两位同学不报同一个项目共有种；
则．
17.解：Ⅰ证明：如图，
连接，因为平面，所以，
又，，所以平面，所以，
因为平面平面，所以平面，所以，
又，，所以，
因为是的中点，所以，
因为，所以平面；
Ⅱ如图，
以为坐标原点，以直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，
由知平面的一个法向量为，
因为，
所以平面和平面夹角的余弦值为．
18.解：设椭圆：焦距，，
因为的周长为，
所以，即，
又椭圆的离心率为，所以，
所以，所以，，所以，
所以的标准方程为．
是定值．
由得，，
设，，，，
又，，三点共线，所以，
化简得，
则直线的方程为，直线的方程为，
由，
化简得，
则，
所以，
同理，
又
，
所以．
19.解：根据题可知，当时，恒有．
所以，
可得，
令函数，，
那么导函数，
令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因此，
因此，
所以．
由题可得，函数，定义域为，
导函数，
那么导函数有两个不等实根，，
令，那么函数有两个不同的零点．
导函数，令，则，
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增，
因此函数的极大值也是最大值为．
由于函数有两个不同的零点，因此，
即，即；
当时，当时，函数恒成立，
因此函数至多一个零点，不符合题意，
综上所述：．
下证：当时，函数有两个不同的零点．
因为函数在上单调递增，且，，
根据零点存在定理，知函数在内有唯一零点；
因为，所以，
，令，那么，
令，
那么，，
因此，
因为在区间上单调递减，且，
根据零点存在定理，知在区间内有唯一零点．
所以当时，有两个不同的零点．
综上所述，实数的取值范围为．
第1页，共1页